Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Из-за присутствия приборных ошибок будет существовать неопределенность, связанная с засечкой положения. Наилучший выбор измерений в любой момент времени зависит от геометрического расположения космического корабля в солнечной системе. Для того чтобы наглядно продемонстрировать эффективность различных систем измерений, выведем аналитические выражения для среднеквадратичных ошибок, порождаемых разными совокупностями замеров. При этом потребуется отличать друг от друга измеренные и истинные значения величин ба, а также 'оцениваемые и истинные значения вариаций положения бР. Для измеренного отклонения ф от номинала будет использоваться обозначение бп, а для истинного отклонения оставим символ бд.
Аналогично оценку или предполагаемое значение отклонения г от номинальной величины будем обозначать через бг, в то время как 6Р будет означать истинное отклонение. Теперь можно записать о,У=3~7-) а, Здесь а и е представляют собой ошибки, сделанные при измерениях и при оценке. Истинные отклонения бд и бг, очевидно, удовлетворяют уравнению (7. 10). Тогда, если рассматривать только достаточное число измерений, то для несмещенной оценки должно выполняться со. отношение (7.11) 6г=-О-' Ь~у. Следовательно, векторы ошибок а и е также должны быть связаны через зту матрицу =-=- О-' а. (7. 12) Модуль вектора ошибки е является просто квадратным корнем из величины аз.=еге=агйг — 'Й вЂ” ' а, ~7АЗ1 Измерение «планета — звезда, планета — звезда, диаметр планеты» Выберем для удобства выкладок систему координат х, у, а, свя. ванную с космическим кораблем, и направим ее ось г в сторону планеты, как показано на рис. 7.
6. Обозначим через й~ единичный х вектор, лежащий в плоскости измерения угла между первой звездой н планетой, а через йз — единичный вектор в пло. скости второго измерения, причем оба они нормальны к направлению от корабля к планете. Эти векторы будут лежать в плоскости ху, причем й1 можно взять вдоль положительного направления оси х.
Тогда, если гй — угол между й1 и пм имеем О О соз В а — О а О Рис. 7.6. Геометрия намерения «пла. нета †звез, планета †звез, дна. метр планеты» где О гз 8=— сз сов — = — 1 '4хз — 1у. А 2 277 Обратная матрица имеет вид О О Й вЂ” 1 — хсВд0 хсозес0 О О О з в которой нетрудно узнать положительно определенную кеадрагич. ную форму из составляющих вектора измерительных ошибок а. Мы сейчас рассмотрим три различные комбинации измерений и найдем ошибку оценки, получающейся в результате применения каждой из них.
и поэтому можно переписать уравнение (7.13) следующим образом: Матрица этого уравнения момсет быть приведена к диагональному виду поворотом системы координат на 45' вокруг оси г. Обозначив через а' вектор ошибок в повернутой системе, получим Таким образом, выражение для квадрата ошибки, получающейся в результате трех измерений, принимает вид 5'-'.=аз совес 9(совес В+с(д 9) а'!+аз совес В(совес 9— — с(дВ)а'2+взс! з Ясно, что ошибка будет минимальной, если удастся найти такие две звезды, для которых й! и йз взаимно ортогональны.
В этом случае пни 52 =- хз ~а!+ аз + ~ — — — ~ а з ~ . (7. 14) Отметим в заключение, что ошибка уменьшается, по мере того как сокращается расстояние между космическим кораблем и планетой. Измерение «планета — звезда, планета — звезда, Солнце — звезда» Выберем ориентированную, как в предыдущем случае, систему координат, которая показана на рис. 7.7. Пусть й! и йз — единичные векторы, определенные так же, как и в предшествующей системе измерений, и пусть йз — единичный вектор в плоскости измерения «Солнце — звезда», нормальный к направлению от космического корабля к Солнцу.
Тогда из геометрических соотношений имеем О СОП В х з!и В х СО 5 т СО5 В сззтз!п9 5!и т 249 хзСОВЕС29 52 ат — 'азСОВЕС 9 С(ПВ О -- хз совес В с(д В О хз совес'В О а О вз Обратив матрицу, получим О О Н-' = — с(н0 н совес 0 О зс1я 7 совес0в1п(р' — О) — ас1ц7 совес 0 в1п р' г совес 7 Хотя всегда существует возможность повернуть координатные оси таким образом, чтобы матрицы Йг ' и Й вЂ” ' стали диагональными, тем не менее необходимые выкладки в данном случае являд ются слишком громоздкими. Однако можно получить легко обозримый результат, если вместо абсолютных ошибок ое иметь дело с осредненными ошибками. Допустим, что средняя приборная ошибка равна нулю и что каждая ошибка измерений не зависит от другой, т.
е. а=О, а,а,—..а,аз — азпз — О. Тогда, как нетрудно видеть, средний квадрат ошибки засечки будет выражаться соотно- шением ее=аз совеса0 11+с1яз7 в!и';с л'(р--0))аз+ д' совесз 0(1+ Рис, 7.7. Геометрия измерения «планета †заез, планета †звез, Сола. не †звез» -'с с1кттв1пзр) аз+ гзсовесз7а3з, 250 Очевидно, что наилучшей звездой, которую надлежит выбрать для измерения совместно с Солнцем, будет такая звезда, которая лежит в одной плоскости с кораблем, Солнцем и планетой — для нее угол у примет свое максимальное значение, равное углу А между линиями визирования планеты и Солнца. Оптимальную величину р для минимизации из найдем, требуя, чтобы частная производная н' по )з равнялась нулю. Если а', = о-.', то отсюда следует, что угол ~0 должен составлять ровно половину в.
Поэтому, если звезда для измерения «Солнце †звез» выбрана оптимально, то две наилучшие звезды для измерений «звезда — планета» должны быть такими, чтобы угол между их плоскостями измерений делился пополам плоскостью измерения «Солнце †звез>. В результате использования такой совокупности измерений ошибка станет функцией только угла 0 и выражение для нее примет вид ~т~1пет(0)=-нзсовесз0[2+с1дзА (1 — сов О)) а~+ге совесзА вяз. 'Оптимальная величина 0, которую обозначим через Ом определяется как решение уравнения с озг Оо 2 !1+ 2!пг А) соз йо+ 1 = О откуда можно найти угол 1 — $!и А соз 6„=— 1 -!- »!и А (7.15) Измерение «планета — звезда, планета — звезда, планета — Солнце» Особый интерес представляет совокупность трех наблюдений, состоящая в измерении углов между линиями визирования ближайшей планеты и !) звезды, 2) другой звезды и 3) Солнца.
Как мы увидим впоследствии, если планета находится гораздо ближе к космическому кораблю, чем Солнце, то матрицу Н не всегда можнб обратить обычными способами. Для того чтобы найти пути преодоления этой трудности, нужно прежде всего исследовать элементы матрицы Й. С этой целью определим единичные векторы й!, йг, йг н 64 следующим образом: и! — лежит в плоскости измерения «планета — звезда 1» и нормален к направлению от корабля к планете; иг — лежит в плоскости измерения «планета — звезда 2» и нор.
мален к направлению от корабля к планете; йг — лежит в плоскости измерения «планета — Солнце» и нормален к направлению от корабля к планете; й! — лежит в плоскости измерения «планета — Солнце» и нормален к направлению от корабля к Солнцу. Теперь, если т и г — дальности соответственно до Солнца и до планеть|, то согласно результатам, полученным в равд. 7. 2, матрица Й определяется выражением пт 1 — т лг -т — т лг и« + 251 и соответствующий средний квадрат ошибки ш!и «г= созес'А ~ — !1+ э!и А)»а!+ тгпз) .
! 2 Полностью аналогичные результаты получаются, когда засечка определяется тремя измерениями типа «Солнце — звезда», «Солнце — звезда» и «планета — звезда» Для этого достаточно в уравнениях поменять местами т и з. Так как все векторы й1, йз и йз перпендикулярны к одному и тому же направлению, то они не могут быть независимыми. Следова.
тельно, если г«г, то определитель матрицы Н будет близок к нулю. Встретившись с таким препятствием, введем две скалярные величины а и Ь, удовлетворяющие соотношению Лз = ОЛ! + ЬЛЗ Теперь матрицу Н можно переписать в виде О 0 Лт 1 0 0 ЛЗ з а а 1 — т Л,! г Козффициенты а и Ь определятся из выражений (Л1 'Лз! — (Л! ПЗ) (Пз ЛЗ) 1 — (л! ПЗ)2 (П2 ПЗ) — (Л1 Л2) (Л1 ЛЗ) 1 — (л1.лз)2 Поскольку векторы й1, йз и й! взаимно независимы, обращение второго сомножителя в уравнении, определяющем матрицу Й, не составляет особой проблемы. Первый же сомножитель можно обратить непосредственно.
Следовательно, имеем лт -1 а 0 0 Π— 1= лз 0 а 0 — т ЛЗ вЂ” аг — Ьг г что и представляет собой искомый результат. Обратимся теперь к рис. 7. 8 и выберем такую же систему координат, как и раньше. Тогда матрицу Н можно переписать в следующем виде: — 0 0 1 0 0 в(п Ь 0 0 — 0 сов л а а 1 — совА сов р — совА в(п р 21п А т з г 252 где мп (8 — О) Мпв Ь=- 5!П 11 5!П О Обратная матрица выглядит следующим образом: ΠΠ— з созес 0 О 6з с(я А — бг созес А г с овес А Й-! = — зс1я0 аз с10 А — аг созес А Если, как и прежде, считать ошибки измерений взаимно незави снмыми и полагать, что а,'=аз, то для среднего квадрата будем иметь рв 5'= [2аз совес'6+(з с1а А— ,/в!пз (Π— 10) + 5!п2 3 1 — гсовесА)2( - — — ' ~1)< 5!п2 0 Ха' +гвсозес'Аа'. И опять оптимальное значение (1 равно половине угла О, так что минимальная ошибка в функции 0 записывается в виде ш)п 52(0)=-[2звсовес20+ , (лсША — гсовесА)2 1 — 2 ~ а2+ 1+ сов 0 +г'созес'А азз.
Оптимум 0 = 65 найдем, решив уравнение Рис. 7.8. Геометрия измерения «плзнета — звезда, планета †звез, пла. нета †Солн» 203 — (з с1я А — г созес А)', (1 — сов 05)2 в результате чего получим )' 1 — 2р совА + р2 — в!пА сов0,— )' 1 — 2р совА + р2 + 51п А Здесь для краткости введено обозначение р=г/я. После подстановки итого значения 6 выражение для среднего квадрата ошибки примет вид — 52 ш1п аз= — созес' А (в)п А+ 2 +)г1 — 2рсозА+рв)тат+ гт созесв А аз. (7.16) Как и раньше, меняя местами и и в, получим аналогичные результаты для системы измерений «Солнце — звезда, Солнце — звезда, Солнце — планета». 7.4. Метод коррекции временных ошибок Операция выполнения навигационной засечки состоит из последовательности астрономических наблюдений описанного выше типа.
Добавление к ней четвертого независимого наблюдения дает возможность не только определить координаты космического корабля в пространстве, но также и ввести поправку на показания бортовых часов, В данном разделе будет разработана необходимая для этой цели схема вычисгалтгцв лений и, кроме того, предложен метод учета неодновременности выполнения измерений, составляющих засечку. Для начала предположим, что процесс визирования начинается в тот моол мент, когда бортовые часы А+дА показывают номинальное время го.
Пусть при этом А тг»Мги ~ге~ часы ошибаются на величи- ла ну й так что истинное л время начала визирования 5а ~г +йоги составляет 1о — й,. Далее, так как процесс визироваРис. 7. 9, Измерение угла между линиями визирования Солнца и планеты ния занимает ненулевое вре- мя, будем ставить в соответствие каждому угловому измерению отрезок времени б~ж представляющий собой время, которое проходит с момента начала визирования до момента, когда этот конкретный угол уже измерен. Следовательно, истинный момент измерения равен 1о — й,+бгг.
Отметим, что величина Иа точно известна и может быть введена в бортовое вычислительное устройство, чего нельзя сделать с величиной бг,. Здесь будет рассматриваться лишь один из типов измерений, перечисленных в первом подразделе равд. 7. 2, а именно — измерение угла между линиями визирования Солнца и планеты. Рассмотрение остальных типов измерений предоставляется читателю и качестве упражнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
