Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Таким образом, выражения (6. 62) и (6. 63) представляют собой наиболее общее решение задачи возмущений. , Для того чтобы более полно осветить это утверждение, рассмотрим случай, когда бг~ и бс1 — отклонения по положению и скорости в момент г1, а Ль В;, Г~ и Г; — соответствующие значения фундаментальных матриц. Тогда с и сь должны получаться как решения следующих уравнений: в эти же моменты. В этом случае векторы с и с" определяются как решения уравнений зг>=К>с+Я>с, ъг,=Цс+ й~е*. Действуя тем же способом, что и раньше, найдем (ЙЯ> — ЙД> ) (Ьгз — Йзй> 3г>).
И опять, зная с и с*, можно по соотношениям (6. 62) и (6. 63) определить отклонение положения и скорости от номинальных условий в любой момент времени й 6.6. Применение полученных результатов к расчету траекторий облета Луны Материал, изложенный в предыдущих разделах настоящей главы, дает возможность завершить описание метода определения точных межпланетных и лунных траекторий. В гл. Ч исследовалась задача получения приближенной траектории путем составления ее из отрезков конических сечений.
Этот способ представляет собой первый шаг итерационного процесса, который в конце концов приведет к получению точной траектории с учетом воздействия возмущающих ускорений. Рассмотрим сначала уже знакомую нам задачу нахождения орбиты, связывающей точки с векторами положения г> и гз и требующей для перелета между ними времени й При отсутствии каких-либо сил, кроме силы притяжения центрального поля, орбита будет представлять собой коническое сечение, способы расчета которых подробно рассматривались в гл. П1.
Зная такую орбиту, можно начиная с положения г> и вычисленной скорости на конической орбите Г> интегрировать уравнения движения, учитывая всевозможные возмущения любым из описанных в этой главе методом. В конце временнбго интервала 1 вектор положения будет, конечно, отличаться от гь Однако, если возмущающие силы малы, как это и будет на самом деле, то можно ожидать, что разность бг ">, т. е. новый конечный вектор положения минус заданный вектор гм тоже будет мала.
Следующий шаг состоит в замене гз на г<"=гз — бг2п> и повторении процесса. Вычисляется коническая орбита, связывающая конец вектора г> с новой точкой г,"> и требующая для перелета между ними того же времени й Используя новую скорость на конической орбите в точке г> в качестве начального условия, снова интегрируем полные уравнения движения на интервале времени а На этот раз разность бг>~> между новым вектором положения и заданным вектором положения гз должна быть по величине меньше преды- 227 душей.
Если она все же остается больше допустимой, то принимается Ц'~ =гп> — бг,'м и процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Обычно для большинства задач достаточно трех илн четырех итераций. Этот метод вместе с матрицами возмущений, введенными в предыдущем разделе, может быть с успехом использован для определения точной траектории облета Луны на основе кусочно-конического приближения, вычисляемого методами разд.
5. 5. Во время итерационного процесса будут оставаться инвариантными следующие величины: 1) Р~ — вектор положения в момент запуска; 2) 1ь — время запуска; 3) 14 — момент попадания на границу сферы влияния Луны; 4) 1о =1л +1з — момент выхода из сферы влияния Луны; 5) гл — вектор положения в момент возвращения; б) Гл — моментвозвращения.
Пусть Ег„и ггп — векторы, направленные от центра Земли в точки на границе сферы влияния Луны, в которых с ней пересекаются траектории отправления и возвращения. В процессе расчета эти векторы будут меняться, но вначале они берутся из кусочно-конического приближения. Тогда при фиксированных гс и Рг„ точная траектория, связывающая эти точки через время г„г =~а — ~~, легко получается с помощью только что описанной процедуры. Подобным же путем определяются еще две точные траектории: одна, связывающая гя с ггп через интервал времеви 1рл=Гл 1п и другая, соединяющая концы ггц, и ггмя — векторов положения относительно Луны на границе сферы влияния за ингервал времени гз нахождения внутри этой сферы.
В результате получается кусочно-непрерывная точная траектория облета Луны, имеющая разрывы скорости на границе сферы влияния. Эти два разрыва 'скорости можно исключить с помощью матриц возмущений следующим образом. Предположим, что ггд и игр изменяются соответственно на бгл и бго. Векторы скорости на внешней границе сферы должйы прй этом измениться на величины 8п~ (Гл) С~(1л)Ъ~д Й пл (Гр) Сл ~~о) 3го если гх, гл и интервалы времени полета остаются неизменными.
Здесь С~ (Гл) — матрица С для траектории отправления, вычисленная в момент 1л . Аналогично С"„(Гп) — матрица С* для траектории возвращения, вычисленная в момент гп . Векторы скорости на внутренней границе сферы будут также меняться. Как видно, задача состоит в определении таких Ьгл и бгр, чтобы окончательные изменения скорости полностью устранили первоначальные разности скоростей в точках разрыва.
С этой целью рассмотрим гиперболическую кривую, по которой совершается движение от момента Гз до 1п, лежащую в пределах сферы влияния. Пусть Лм Л„', См С,*, — матрицы возмущений, соответствующие этой траектории. Тогда изменения векторов скоро- 2зч сти на внутренней границе сферы будут равны Ьу» (1л) К» ("О) Йгр+ С» (~л)Ьгл ооа (тр) = С» (Я его+ Яа (тл) йгл если время полета инвариантно. Начальное рассогласование скорости в точке рг„составляет пол атме т~» (~л) и в точке ггр аоо ='о» (го) огма. Поэтому приращения Ьгл и Ьго необходимо выбирать так, чтобы выполнялись равенства Й (г ) — йо„(т„)+ар„=О, ~'оа(ио) ~он(го)+а'по=О. Окончательное решение может быть записано в виде игл — — — гта(гл) ~В (го)+гт» (го) А (гл) тг» (ил)1 гг» (го) аол А(тлМ' Ул)+~4~ (тл) В ((о) ои(то)1 Ут'»Ил) Ьоо, (6. 64) ого'=Вар) ~(В(то)+Р»(1о) А '(тл)~а(тл)1 ~а(йо) аол утта 6о) (ьА (1л)+1тт»(ул) В '(до) (тт» Ио)~ гтта Ил) аоо.
(6. 65) Здесь для удобства записи введены новые матрицы А(тл)=С» 1 (гл) (С» (гл) — Си (Фл)1 Си (Юл), В (4р)=С» ' (Ур) ~Ся '(Ы вЂ” С»' (то)1 'Си' (Уо). Когда Ьгл и Ьгр вычислены по уравнениям (6. 64) и (6. 65), векторы положения ртл и гтп заменяются на рта+бил и ггр+Ьго Затем рассчитываются три новые точные траектории, связывающие между собой попарно точки: 1) ги с г„л+Ьгл, 2) ггиги+Ьгл с гтып+Ьго, 3) ггр+Ьго с гн. Скачки скорости на границе сферы влияния, конечно, останутся, но теперь они уже должны быть меньше по величине, чем во время предыдущей итерации. Процесс полностью повторяется до тех пор, пока не будет достигнута удовлетворигельная непрерывность изменения скорости'.
Пример того, насколько удовлетворительно работает эта схема на практике, приведен в табл. 6. 1. Расчет начинался с ' Описанный процесс, строго говоря, не сохраняет инвариантными времена ги и Г (моменты входа траектории в сферу влияния и выхода иа нее), так как нонны получающихся в реаультате векторов г и г в обеем случае уже не будут лежать на гранине сферы влияния Луны (прим, рео.). кусочно-конической траектории с параметрами, имеющимися в разд. 5.5, после чего вычислялась точная траектория с помощью только что описанного метода. Для того чтобы скачок скорости на границе сферы влияния стал меньше 2 ле/сек, потребовалось семь итераций.
В таблице показаны составляющие разности скоростей и соответствующие изменения векторов положения (по составляющим) на границе сферы влияния, которые использовались на кажлом шаге итерационного процесса. Таблица б.! Пример итерационного процесса вычисления точной траектории облета Луны иа основе нусочпо-конического приближения Траектория возвращения Траектория отправления изменение положения км скачок изменение скорости положения лс/сек км скачок скорости м/сея — 243 — 541 — 265 — 290 — 151 — 166 — 88 — 95 — 50 — 55 1005 1 — 41,2 — 15,3 — 13, 1 2 — 22,3 — 13,1 — 6,4 3 — 13,4 — 7,6 — 3,7 4 — 7,9 — 4,6 — 2,1 5 — 4,6 — 2,7 — 0,9 6 — 2,7 — 1,2 — 0,9 — 179 — 294 — 20,1 — 14,6 — 8,5 — 113 — 11,66 — 32 23,2 — 18 — 6,7 — 4,0 288 13,7 — 77 167 — 53 7,9 — 19 — 3,0 — 1,8 — 0,9 4,6 — 32 — 1,2 — 29 — 21 — 11 — 5 — 8 — 3 2,7 — 16 — 18 32 7 — 1,8 — 0,9 — 0,3 — 13 — 0,9 1,2 230 В результате изменений положения на границе сферы влияния и соответствующих изменений скорости в момент отправления и возвращения величина радиуса-вектора перилуния уменьшилась от первоначальной величины 1900 км до 1791 км или до высоты 53 км от лунной поверхности.
С другой стороны величины радиусов-векторов условного перигея для запуска и возвращения изменились лишь ненамного по сравнению с их первоначальными значениями. Наконец, интересно сравнить скорость в моменты запуска и возвращения для кусочно-конического приближения и для окончательной точной траектории. Эти данные приведены в табл.
6. 2. Разности, между начальными скоростями весьма малы; однако скорости в момент возвращения различаются по величине на 192 ле/сек. Эту асимметрию разностей, по-видимому, можно объяснить изменением высоты перилуния примерно на 110 км. Таблица б. 2 Сравнение точных и кусочно-конических траекторий Скорость в ле/сек Траектория отнравления Конические сечения 10894,0 10893,4 0,6 — 1041,9 — 1031,8 10,1 — 545,0 — 566,4 — 21,4 Точная Разность Траектория возврашення Конические сечения Точная Разность — 9712,1 — 9468,7 †28,3 4431,0 4656,7 — 3271,7 255,7 ! — 418,4 243,4 6.7. Явное вычисление матриц возмущений р(Г)=~(г)г +О(1)й Я=Р,Яг,+О,Я (6. 66) Фундаментальные матрицы возмущений А, гт*, У, У*, предложенные в разд.
6.6, должны удовлетворять, как было показано, некоторым матричным дифференциальным уравнениям. Однако начальные условия для матриц А и Р заданы в точке отправления, в то время как для матриц ТТ* и рь начальные условия заданы в точке прибытия. Поэтому, чтобы определить значения элементов этих матриц в некоторый момент г внутри интервала 1с <с<(л, решая дифференциальные уравнения, придется решить совместйо 18 уравнений относительно Л и Г, начиная с Тс и интегрируя вперед к моменту б После этого надо будет повторить процесс для .йч н Г"', начиная с 1л и интегрируя назад к моменту г.
Кроме того, поскольку для таких расчетов необходимо знать номинальные векторы положения и скорости, то понадобится проинтегрировать еще 6 дифференциальных уравнений как в прямом, так и в обратном направлениях. Это дает в общей сложности 48 совместных дифференциальных уравнений, которые нужно проинтегрировать для получения необходимой информации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
