Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Одна система уравнений в возмущениях описывает распространение ошибок в прямом направлении вдоль орбиты. Сопряженные уравнения, с другой стороны, определяют распро. странение ошибок в обратном направлении, т, е. соответствуют движению, которое получилось бы, если пустить корабль вдоль орбиты обратно, Существует целая область математики, связанная с теорией сопряженных дифференциальных уравнений, и нам нередко придется к ней обращаться, 6.1. Оскулирующая орбита В равд.
1. 4 были выведены уравнения движения тела Рз относительно тела Рг, учитывающие эффект присутствия других 201 Р„. Основное уравнение может дополнительных тел Р„ быть записано в виде Д2г  — + — г= — а, Д22 гЗ где й — вектор положения Р2 относительно Рь а аа — вектор ускорения вследствие присутствия возмущающих тел. На самом деле, конечно, аа можно понимать в гораздо более общем смысле и учитывать с его помощью все возможные силы, из-за которых относительное движение Р, не совершается по строго конической орбите с фокусом в Р,, Предположим, например, что Р2 †э космический корабль, а Р, — Земля.
Тогда, кроме центральной гравитационной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, на корабль будут действовать другие факторы, в различной степени влияющие на его движение. Источниками этих возмущений могут быть: 1) не- сферическая форма Земли; 2) атмосферное сопротивление и подьемная сила; 3) Солнце и другье планеты Солнечной системы; 4) давление солнечного излучения; 5) ускорения от тяги двигателей космического корабля. Если в какой-то момент времени го все факторы, учитываемые вектором аж внезапно прекратят оказывать какое бы то ни было влияние иа движение, то орбита превратится в коническое сечение, а положение и скорость можно будет точно вычислять с помощью формул задачи двух тел, выведенных в равд.
2.8. Иначе говоря, в любой момент времени 10 векторы положения и скорости Р2 относительно Р, могут быть использованы для определения конической орбиты. Термин «оскулирующая орбита» используется для наименования именно этой мгновенной конической орбиты, соответствующей моменту 10. На самом деле, конечно, тело Р2 ни в коем случае не движется по оскулирующей орбите; однако, если возмущающие силы малы по сравнению с притяжением центрального тела, то на коротких интервалах времени истинное положение Р2 будет отличаться от аналогичного положения на оскулирующей орбите на соответственно малую величину. Пусть, в частности, векторы г(1), 0(1) представляют истинные положение и скорость тела, а г„„(1), 0„, (1) — соответствующие положение и скорость на оскулирующей орбите как функции вре мени.
В момент 10 имеем Г ИО) = Го с к Ио) ~ (~0) = ~ос к ((О) ~ так что для последующего момента времени 12=10+И можно записать г ° (~2) г(~0)+~(~0) Ыт 2 М + /1= со к во Таким образом, определяя б(1) как вектор разности г(г) и гд,„(1) и производя вычитание, получим 1 Нтг Люг0,„~ х(1) 0 (а1)г ) 2 1 лгг лгз,1, пли З(~~)= ~ дз(го) (а') +. (6. 1) ~(г~)=~~И~) а~+".
(6. 2) Принципом оскулирующей орбиты можно успешно пользоваться для расчета возмущенных орбит. Наиболее простой метод определения положения и скорости корабля г(1) и й(1), когда орбита не является конической, состоит,в непосредственном численном интегрировании уравнений движения в прямоугольных координатах.
Схема, известная в небесной механике как метод Коралла, целесообразна в тех случаях, когда порядок ускорения аз тот же или выше порядка ускорения от центрального гравитационного поля. С другой стороны, если аз мало, то этот метод неэффективен. Метод Коуэлла часто требует сравнительно малой длины интервала для обеспечения заданной точности независимо от величины аз. Однако, если интегрировать не все ускорение, а только его приращения, то одинаковая точность может быть достигнута при большем интервале, когда аа мало.
Такой процесс, именуемый методом Энка, будет рассмотрен сейчас более подробно. В момент 1а векторы положения и скорости г(1з) и э(1а) определяют оскулирующую орбиту. Легко видеть, что вектор разности б(1) должен удовлетворять следующему дифференциальному урав- нению: (6: 3) 1 г ~ +пн и начальным условиям а(г,)=0, — "' (~,)= а=О. ~й Вычислительные трудности, возникающие при оценке коэффициента при г в уравнении (6. 3), можно обойти, применяя способ, описан.
ный во втором подразделе равд. 1.4. Поскольку справедливо равен- ство г(г)=г„,Я+ 8(г), го можно записать з У()) =1 — (1+ ))а', гз поз Аналогично, если т(Ф) — разность векторов п(г) и п„„(С), то будем иметь где (й — 2г) й гю Вычисление 1(д) производится согласно равд. 1.4, откуда 3+яд+ дю У ® ~) 1+ 11+ )3/2 1+ 11+ и) Теперь метод Вике можно сформулировать следующим образом: 1. Вычисляется положение тела на оскулирующей орбите в соответствии с уравнениями (2.42) и (2.43) по формуле г"'(Г) = [1 — — С (аохю)1 г Ию)+ г Рю) + [(Г-Гю) — —" З(аюхю)~ п(Гю), где 2 ю (Ею)ю а— г (гю) И а х определяется из выражения У~ф — гю)=~ ю~'~ ю х'С(аюх')+ [1 — г(гю) аю] хюЯ(о х')+г(Гю)х.
ю— 2. Затем отклонения получаются численным интегрированием уравнения — = — —,' [ХИ)г(г)+Иг)]+'а,(г). Первый член в правой части уравнения должен оставаться малым, т. е. того же порядка, что и аа(1), иначе метод не будет достаточно эффективным. По мере того как модуль вектора отклонений б возрастает, этот член обычно также увеличивается.
Поэтому, для того чтобы сохранить эффективность метода, нужно, зная истинные положение и скорость, определить новую оскулирующую орбиту. Процесс выбора новой конической орбиты, для которой нужно будет вновь вычислять отклонения, называется спрямлением. Когда спрямление выполнено, начальные условия для дифференциального уравнения относительно 6 снова становятся нулевыми, а правая часть уравнения содержит теперь только возмущающее ускорение аан в.момент спрямления.
6.2. Вариации орбитальных элементов С каждой точкой истинной орбиты можно связать оскулирующую орбиту, чьи орбитальные элементы определяются векторами истинного положения и скорости. Справедливо и обратное утверждение: элементы оскулирующей орбиты однозначно определяют векторы положения и скорости. Следовательно, имеется возможность описывать истинное движение тела через поведение во времени элементов непрерывно изменяющейся оскулирующей орбиты. Если возмущающие силы настолько малы, что отклонения от конической орбиты остаются малыми в течение длительных периодов времени, то мгновенные значения элементов будут изменяться медленно.
Преимущества, обеспечиваемые таким способом описания движения, сравнимы с теми, что дает метод Энке. В настоящем разделе выводятся формулы, выражающие'скорость изменения элементов оскулирующей орбиты, которое вызывается истинным движением тела. Для того чтобы различать оскулирующие элементы в двух соседних положениях г(1о) и г(11) =г.(1о+М), .будем использовать обозначения ао, ео,... и аь еь.... Выведем теперь обычным путем выражения для производных от этих элементов по времени. Вариация длины большой оси Выпишем прежде всего уравнение (2.9) для интеграла энергии в виде гаГ Г=1з(2а — г), причем правило знаков для а нам уже известно. В момент 1, для оскулирующей орбиты, определенной в момент го, имеем го-(уз) по посо Р1) ~осо Ит) =и (2ао — го,«(~1)1 в то время как для истинной орбиты г (г,) а, о (т',) о(т',) = 1с [2а, — г (т,)].
Подставим во второе из этих уравнений * г(т,) ='г„„(1,)+3' и о(1,)=п„„(т,)+ч и вычтем из него первое. В результате получим ты~01)(пз ао) ~~оскИ1)'~о~к(~з))+2азгоск(~т) ~оса Из)'т+ +г„„(т,) а,ч и+й'азп(1,)ю(з,)=29(а, — а,) — 1ьй'. Разделим теперь результат на Лт и перейдем к пределу при М, стремящемуся к нулю. Учитывая уравнения (6. 1) и (6. 2) и записывая — =Иш ас а| о ас будем иметь аа — — ста г — чР+ 2агтт аа — 21 асс ссс о Точный вид о' здесь не имеет значения. достаточно указать, что о'=0(ат) (ирами автора). илн — о а, (6. 4) аг а Следует отметить, что уравнение (6.4) можно получить формальным путем из интеграла энергии в соответствии с общими правилами дифференцирования, если рассматривать г как постоянную величину, а а как переменную и заменить скорость изменения во времени вектора э на аа.
Как будет показано ниже, это удобное правило справедливо и в более общем случае. Вариация модуля момента количества движения Согласно уравнению (1.31) модуль момента количества движения Ь определяется из выражения л'=[гХ о) (г Х о). Действуя тем же способом, как и в случае большой полуоси, запи- шем йа=1г...(/,)Хо...(/,)) [»... (/1) Хо...(/,)); й =[[г...(/1)+Ч Х [....(/1)+ 1[) [[г.,„(/,)+61 Х Х [о...(/)+тИ и после вычитания получим lг! — йа~ = 2 [г„, (/ ) Хт (/ )~ [г„„(/ ) Х о„„(/ )) + 6 (Ы). Разделим снова найденную разность на М и перейдем к пределу. Следовательно, — = — [г Ха„) .(г Хо) или в другой записи — = — [гт (о.аа) — (г о)(г а„)). (6.
5) Здесь, как и раньше, результат формально получается обычным дифференцированием, причем Ь считается переменной, а г — постоянной и с/6/Ж заменяется на аа. Вариация эксцентриситета Скорость изменения эксцентриситета нетрудно получить, диффе. ренцируя выражение /Р=ра(1 — е'). В результате этого будем иметь и аз аа ае 2й — = — — — 2аае — . Н а а'/ И зоб Используя уравнения (6. 4) и (6. 6), окончательно найдем — = — ~(ра — гз)(п.а )+(г п)(г а )1. »»г Бае (6.
6) Вариация наклонения и долготы восходящего узла Вектор момента количества движения а нормален к плоскости оскулирующей орбиты, так что можно записать Л=г Хп=й»о Условимся, что в дальнейших выкладках система координат прини- мается невращающейся. Тогда компоненты единичной нормали 1» суть!„т„пз и выражаются уравнениями (!. 38), откуда имеем 51П Я 51П Р» г Х п=Л вЂ” соз ЯБ(п 1' ~, СО51 где ! — наклонение, а Я вЂ” долгота восходящего узла оскулирующей орбитальной плоскости относительно исходных координатных осей. Формально применяя правило дифференцирования, получим Ж л 5!и!— Лг соз Я вЂ” 5!и Я сов 1 Б!и Я 5(п 1' 6~1 .(6. 7) соз Я со51 — соз ЯБ!п1 (г Х аа)= Б!пЯ 5!П 1 соз! Наконец, разрешая уравнение относительно вектора производных, найдем л 5!и 1( — ) 5!П Я О соз Я вЂ” л~ — 1 = — 5!пЯсо51 соБЯсо51' 5!и! гХа ) (6 8) ,'п1 Вариации аномалий До сих пор все формулы были одинаково справедливы как для гиперболических, так и для эллиптических оскулирующих орбит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
