Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В этом подразделе мы будем рассматривать только эллиптические 51п Я 51п1 — соз Я 51п» со51 »га лг Здесь подразумевается, что гХаз представляет собой вектор-столбец„чьи компоненты являются его проекциями на оси фиксированной системы координат, относительно которой измеряются Я и 1'. орбиты и предоставим читателю в качестве упражнения самостоятельно исследовать гиперболу с помощью аналогичных рассуждений. Когда положение корабля определяется вектором г(1о), истинная, эксцентрическая и средняя аномалии, связанные,с оскулирующей орбитой, будут обозначаться через го, Ео и Мо. В следующий момент времени 11=1о+ЬГ вектор положения становится равным г(11) и выбирается новая оскулирующая орбита с соответствующими аномалиями [ь Е| и Мь Разности аномалий Л(11)-Уо(11)=-ч(1~) Е, (11) — Ео (1~) = р (г1),' Мо (г1) Мо(г1) =Ф1) (6.
9) представляют собой величины, которые равны нулю при 11=1о, но чьи скорости изменения в момент 1о необходимо исследовать. С этой целью запишем уравнение эллиптической орбиты ав г(1+есову)=— н дважды для каждой из оскулирующих орбит и вычтем из одного уравнения другое. В результате получим [г „(У,)+В'] [1+а, сов[~о(Ф,)+о)(8,)]]— госо (11) [ 1 + ео сов Го (1,)] = — (/г 1 йо) Далее, действуя уже испытанным способом, найдем лч ее 2ь оа гев1п Г' — =гсов у — — — —, ле ~й и ле (6. 10) сов Е= совг+ е 1+ е совр получим подобным же образом вариацию эксцентрической аномалии лй г о'Ч гв1ог" ое ) г1 — е' — = — —— ос а о'е р о'е (6. 11) где — и — вычисляются с помощью уравнений (6.
6) и (6.5). ое оа ле ле Здесь снова применяется формальное правило дифференцирования с одним дополнительным требованием — заменить с(~/Ж на Й)lй. Таким образом, с(о)/Ж выражает скорость изменения истинной аномалии единственно за счет изменения орбитальных элементов, а не за счет движения вдоль орбиты. Из равенства, найденного ранее для эксцентрической аномалии, Для нахождения вариации средней аномалии воспользуемся уравнением Кеплера Š— е з!и Е=-М и получим после формального дифференцирования ет — =(1 — е соз Е) — — з!и Š—. е'о ае аг ег е( (6. 12) Теперь можно перейти к дифференциальным у ~авнениям для аномалий, описывающим истинное движение тела. 1'апример, к левой части первого из уравнений (6.
9) прибавим ! вычтем (о((о), разделим затем все на о( и перейдем к пределу Л(г1) — Уо(го) Уо(г1) — Уо((о) ~ В Ч((1) ы о ог аг' / ы о а( Отсюда будем иметь аГ ЕГО ЕЧ + аг' а'Г Е( или после учета второго закона Кеплера аГ Ь ач — = — +— е( го ег ' (6. 13) Выполнение аналогичных операций с остальными двумя уравнениями (6. 9) приводит к следующим 'результатам: аЕ па Нй — = — +— а( г ег (6. 14) (6. 15) Можно вывести более удобное выражение для о(ЧЮ, чем уравнение (6. !О). Из равенства вогез!и )'=лг о Теперь умножим уравнение (6. 10) на з1п(', а уравнение (6.
16) на соз) и сложим их. Отсюда найдем а'Ч еа 1 — Ч= — ~(о сов~(г аа) — (р+г) з!и 7' — ) . аг геа (6. 17) Прежде чем закончить рассмотрение вариаций аномалий, целесообразно сделать следующие замечания: 209 получим обычным путем ач .. Ео Р Г- — - — ! Еа~ ге сов~ — =' — гз!и à — + — !г а„+г. о — — ). (6. 16) е( а ~ ' а е(7' 1. Величина Н~/Ж может геометрически интерпретироваться как отрицательная скорость вращения мгновенной линии апсид, когда возмущающие силы лежат в оскулирующей плоскости, т.
е., — (и+т1)=0, если аа с',=О. иг 2. Величина пуЛЙ есть скорость изменения мгновенной средней аномалии в эпоху, т. е. для уравнения Кеплера в виде Š— е. з(п Е=п(+и будем иметь Вариация аргумента перицентра Вели 1, — единичный вектор в направлении восходящего узла оскулирующей орбитальной плоскости, то можно записать ю'„г = г соз (и+ у'). Вектор 1 в опорной системе координат имеет составляющие соз Р, э)п й, О, так что справедливо равенство (соз Я з1п Я 0)г=г соз (е+)), где г, конечно, вектор-столбец. Опять применим формальное пра- вило дифференцирования ~ г~, дч~ сов Я 0) г = — гз1п(м-~ Я вЂ” +— Л ~ иг гг,) ( — з)п 2 Вектор положения г выражается через координаты в опорной систе- ме в соответствии с уравнением, приведенным в задаче 1. 16. Под- ставляя это уравнение в предыдущее, окончательно получим ио . лп лч — = — соз) — — —.
Фг ~и жг (6. 18) Уравнение (6. 18) сводится к виду ("+ ') =О, ~й ыо когда составляющая аж нормальная к оскулирующей плоскости исчезает, так как на й влияет только эта составляющая. Нужно до. бавить, кроме того, что уравнение (6. 18) можно вывести целиком из геометрических соображений. б.З. Применение метода вариаций Среди большого числа уравнений в вариациях, выведенных в предыдущем разделе, можно выбрать любую удобную и достаточ- ную систему для описания истинного движения. Например, можно использовать следующую систему уравнений: Иа 2ав —— — = — ю а, ае в — = — [г'(е.ае) — (г й)(г а„)1, У л в1п1— аг ! ав — Л— л «г сов Я 1 — Мп Ясов) в1пЯ О 1(г Х а,), сов й сов1 в1п1 / ач 1 Г аИ 1 — = — ~рсов У(г а,) — (р+г)в1пУ вЂ” ~, ав геа аг ап ач — =- — сов1 —— аг аг ау и ач — = — +— 2 нв совместно с алгебраическими уравнениями вв р п2 р= —, е=(1 — — )' ьв/и 1+ е совУ 211 и уравнениями, выведенными в задаче 1.16 для векторов г и Г.
При использовании такой системы компоненты вектора возмущающего ускорения аа должны представлять собой проекции этого вектора на оси невращающейся опорной системы координат. Если заданы начальные условия для параметров а, Ь, й, й со, 1 (начальное значение Ч равно нулю), то дифференциальные уравне. ния могут быть проинтегрированы любым доступным численным методом. В общем случае, когда возмущающие силы малы, можно использовать сравнительно большой шаг интегрирования для всех уравнений, кроме того, которое выражает скорость изменения истинной аномалии.
Для полного использования преимуществ метода вариации элементов особое внимание нужно обратить на пробчему выбора эффективного способа нахождения истинной аномалии. Мы не будем останавливаться здесь на этом вопросе, поскольку его можно будет просто обойти, применяя другой метод, излагаемый в следующем разделе. Далее необходимо отметить, что при таком частном выборе орбитальных элементов преимущества метода вариаций теряются для орбит с малым наклонением или небольшим эксцентриситетом. В любом из указанных особых случаев скорости изменения некоторых из эйлеровых углов будут велики, несмотря на то, что возмущающее ускорение мало. Отдельные способы разрешения этих проблем рассматриваются в задачах в конце главы.
Кроме того, метод, излагаемый в следующем разделе, свободен от .упомянутых недостатков, так как в нем используется другая система орбитальных элементов. Для многих задач удобно выразить компоненты возмущающего ускорения в местной системе координат. Пусть, например, аа, и а в — компоненты аан в плоскости орбиты, направленные вдоль радиуса-вектора и перпендикулярно к нему, а агн — составляющая, нормальная к орбитальной плоскости. Тогда для формул, выведенных в предыдущем разделе, будем иметь следующие соотношения: г а =ла„„ — эе в1 ау ь з а„=— а~, + — аав. Ь г Особое внимание следует обратить на те уравнения, куда входит произведенге РХаа. Проблема перехода к новой системе координат наиболее удобным образом разрешается, если умножить слева обе части уравнения (б.
7) на матрицу поворота  — ', где Л определяется уравнением (1. 37); только угол вв нужно заменить на в+~, т.,е. на угол, измеряемый в орбитальной плоскости от восходящего узла до мгновенного радиуса-вектора тела. Так как матрица  — ортогональная, то ее обращение равносильно транспонированию. После умножения и разрешения относительно вектора производных получим . а'и 7в з1п в'— СОЗ (м+ Г) — З)П (а+ у) Π— Л вЂ” ' = з)п(а+7') сов(а+Я О (г Х а ). О О 1 В этом уравнении вектор РХаз должен выражаться через местные полярные координаты О ГХа,=.
— а„ аэв С учетом приведенных выражений для векторных и скалярных произведений уравнения вариаций орбитальных элементов в поляр- 212 ной системе координат могут быть теперь переписаны в следующем виде: аа 2а2 г . р — = — 11е з!!1 7' а, + — ае»), У вЂ” = — ~~з!и )' а, + ~~сов !' + — (соз 7'+ е)1а»»)(, ее д(. à Р— = — (р сову а,— (р+г) з1п 7' ае»], еп 1 ег еа ез =гаев сЫ вЂ” = — '!(р сов 7' — 2ге) ае,— (р+ г) з1п 7 а»»), Иа 1 Л па»е ап Г 51п (и -ь у) аж е» л 5!и! Иг Гс05(оз+У) а»о ег а Уравнения для других элементов и аномалий остаются без изменений. В качестве интересного и важного примера применения изложенных принципов исследуем влияние на близкий спутник Земли возмущающего ускорения, вызываемого асимметрией Земли относительно ее оси.
Если бы Земля была сферически симметричной, то согласно равд. 1. 2 сила притяжения должна быть направлена прямо к ее центру, а движение спутника должно было бы происходить в постоянной плоскости (при отсутствии, конечно, всех других источников возмущений). Однако на самом деле гравитационное поле Земли не является ни центральным, ни обратно пропорциональным квадрату расстояния.
В соответствии с уравнением (1. 7) возмущающее ускорение, вызываемое несферичностью Земли, имеет вид а„=- — ' У» ./» ("'» ЦР»+1 (соз Ф) 3, — Р» (соз Ф) г,1, где !» — гравитационная постоянная Земли, а г,ч — экваториальный радиус. В сферических координатах г, 0, ь, где 0 =в+1, имеем соз Ф=з1п 0 з1п1, з1п 0 з1п 1 1,= соззз1п1 соз1 210 Поэтому, если рассматривать только вторую гармонику, то получим ( ~Ъ г 1 — ЗВ1повв!по! 3!А1гг ~ а о = 2,, в!п20в1п'г ~, аж в!и 0 в!и 21 Для примера займемся вариацией долготы восходящего узла й. Тогда из последнего уравнения найдем дя ЗИ/оР' соо! о!пов ег уц.о Ня ЗВ3ог сов ! — — — (1+ е сову) в\и'(и+у"). ьор Такая форма записи позволяет вычислить среднюю скорость изме- нения й за один период обращения спутника следующим образом; Уа4-2к — г еп Ь(2= — ~ — ау== — — у,~ — ") псов!, Р о еУ 2 о'! Р) Уо где и — среднее двигкение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
