Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В настоящем разделе описывается другой метод выполнения указанного процесса для частного случая идеальных конических орбит, который не требует решения дифференциальных уравнений. С этой целью запишем уравнения (2. 48) и (2. 44) в виде Скалярные коэффициенты г", О, г1, От найти нетрудно. Обозначив через ~ векторный оператор легко видеть, что справедлива запись К(г) =чг(г) =г, бГ) "+0[+ ~,60)', (б. бу) [Г (г)=-цо(г)=гс(цР1) +017+ос(701) . (б. бб) Непосредственно применяя оператор к коэффициентам, получим ЧР= [1 — ах25(ах') — 2С(ахз)] ос —. арг — — [1 — ахти (ахз)] 7цх, ~2 ЮО = [С (ихз) — 35 (ах2)] о — — „С (ах') рх, хз цг"1 = — "' ] — [3 (стх2) — С (ахз)] ос+ гг ~р + [ах'С (ахз) — 1] цх~ — — Г гг г, г2 ,О Гс л [ ~'С( 2)ыг Г гз Вектор ту х определяется путем прйменения оператора градиента к уравнению (2.
42): П2 хг,))— рх —.— — ~х — — ага (й — О) + бй — 0 — — а ар ~ 2) 1;2 ) Е г — — — (1 — г") гы Гз 112 где 7) — с с [х — ар112(à — 0)]+(1 — г а)г (1 — г)+г . 112 Такая же процедура ' с успехом проводится для матриц Л* и )Гт, ' Задание матриц й, 'т', К*, )Г', очевидно, равноценно заданию матрицы изохронных производных, простые формулы для элементов которой приведены, например, в работах [7Ц, [761 для случая, когда номинальная траектория — коническое сечение, а вариации вычисляются относительно орбитальной [вращающейся) системы координат.
Предлагаемые автором формулы, как видно из текста, сложны для вычислений и, по-видимому, их единственное достоинство состоит в применимости к любым, а том числе и параболическим, орбитам [прим. ред.). 232 если просто поменять соответствующим образом ролями точку старта и точку встречи. Формально это будет означать замену г на га, рь на е а и 1 на 1 — (га — Гь). Задачи 6.1. Показать, что максимальное отклонение движения Земли от эллипса вследствие возмущения от Юпитера не превышает !600 кж за 1 месяц. 6.2. Вывести дифференциальное уравнение для метода Энке, когда независимой переменной вместо г является х.
Рассмотреть возможные преимущества такого построения процесса интегрирования. 6. 3. Для метода Энке показать, что выражение оск 1 (1+ ) мз,1 ч+ ч гз (1.Ь а)з1з+ (1+ Ч)з прн (6 + 2госк)'З Госк обеспечивает еще один способ вычисления коэффициента при г в уравнении (6. 3). Показать далее, что этот коэффициент может быть выражен степенным рядом по д в виде гз и определить диапазон значений д, для которых ряд сходится. Разложение в степенной ряд является классическим способом, который используется для расчетов по схеме интегрирования Энке. 6.4. Пусть аш и ае„— составляющие возмущающего ускорения в плоскости орбиты вдоль вектора скорости и перпендикулярно и нему.
Используя решение задачи 2. 25, показать, что скалярные произведения вектора ускорения на векторы положения и скорости имеют вид — — 1сге з!пУ г аз= ае, — — аа„ тл о ю аа=заее Показать, что в этом случае уравнения для орбитальных элементов в вариациях могут быть записаны следующим образом: аа 2а~ю — =- — аеп и сГе 1 Г г — = — ~~2 (е+ соз У) ае, — — з1п У' а„„1, ас о а — = -- — с!2з1п у' аа«+~2е+ — соя р)а „~, Е«' ео ~ а аа га Гр = — с! — аа«+ез1п Г аа„), ае ро )сг ав )Г! — ев Г /, гев'с, г !!2 !1 г — ) 01п 7 аж+ — соз,р ае„1. аг ео 1 р ) а Уравнения, выражающие вариации других элементов и аномалий, совпадают с соответствующими уравнениями разд. 6.
2 и 6. 3. 6.5. Уравнения, приведенные в задаче 6. 4, вырождаются, когда эксцентриситет равен нулю. Если взять другую систему переменных, то эту трудность можно обойти. Например, обозначим е» = е соя со. ев — — е я!п ы.
Теперь, используя уравнения' задачи 6.4 и подставляя 0=««>+!, достаточно доказать справедливость уравнений ее» 2 — '= — (е + соз 0) а„, — — ) 2е„+ — з! п 0) а„„+ гее в!и 0 -1- — — аас а ся! — = — (ее+ я1п 0) ае«+ — с2е„+- — соз О) а „вЂ” еее 2 аг о о ~ а ее„в!и 0 — — — а»с а ся« «!О и «' в!и 0 — — —, а»с аг гв все« «а 2аво — = — а„,, «г Е! г сов я а»с, а ап гв!и 0 , а»с ет и в«и« а(! — е~ — е ) г— » 1+ е» сов 0 — ее в!и 0 а=1«« с»а (! — е' — е') е= г е»+е 1/ 2 в ег ф «и=- —— е» 234 6.6. Учитывая только вторые гармоники, показать, что средняя скорость изменения большой полуоси орбиты близкого спутника Земли, вызываемого асимметрией Земли относительно ее оси, за один период обращения равна нулю. 6.
7. Предположим, что номинальная траектория вместе с полной системой матриц возмущений была вычислена между точкой отправления и точкой прибытия, которым соответствуют моменты времени (е и 1А. Пусть тРебуется сдвинуть точку прибытия вдоль номинальной траектории так, чтобы встреча с планетой-целью происходила в более ранний момент времени 1„'.
Матрицы Л и Г, конечно, останутся прежними, так как они связаны с моментом Показать, что новые матрицы со звездочками Х'* и 7* можно получить по следующим формулам: 6.8. Более отчетливому пониманию скрытого механизма, на котором основан метод разд. 6.
6, может помочь следующий, несколько искусственный пример. Летательный аппарат движется в бессиловом поле, причем движение начинается из начала координат в момент ге со скоростью 4Т„. + 31 пе= 1А 1Е В точке' с координатами (4, 3), соответствующей моменту 1„, ско- рость изменяется и становится равной 41к 1» 1р 1А Затем в точке с координатами (8, 2), соответствующей моменту 1р, скорость снова изменяется, на этот раз до величины 41» — 21у, 1я — 1р так что в момент 1л положение аппарата определяется координатами (12, 0).
Совершенно очевидно, что точка (12, 0) может быть достигнута из точки (О, 0) за время 1л — Ее без скачков скорости в моменты 1А и 1р, если скорость аппарата будет равна 12!к 1Я 1Е е 235 а) Показать, что в данном случае матрицы возмущений имеюг вид С» (1») = ~, С Ы =- ~» — г» гп — гл Й» (1о)= — Й»(1»)= — С» Ьо) = — С» (1»)=(1о — ~л)7 где Х вЂ” двумерная единичная матрица. б) Для случая, когда все временнйе интервалы равны между собой, т.
е. 1А — 1» =1п — 1»=1я — 1п =Т, показать, что 4Е~ — сг т ' т и использовать уравнения (6. 64) и (6. 65) для получения выражений »гд= — 31г, Ь.р= — 21, Библиография Методы интегрирования орбитальных элементов Коуэлла и Энке, изложенные в равд. 6. 1, являются классическими и довольно широко известны. Они представлены почти во всех учебниках по небесной механике. Здесь, однако, приведены две модификации стандартной схемы, связанной с методом Энке.
Во-первых, вычисление оскулирующих орбит производится с помощью универсальных траекторных формул Бэттина [8), описанных в гл. 11. Вторая модификация состоит в способе расчета члена 1 — (г„„./г)'. Во всех стандартных работах этот член вычисляется путем разложения в степенной ряд, вид которого показан в задаче 6.
3. Однако метод Поттера, использованный в гл. 1 для явного вычисления возмущающей силы, в равной степени применим и здесь, что позволяет обойтись без степенного ряда. Существует множество способов вывода уравнений для вариаций орбитальных элементов. Классический подход обязан своим происхождением Лагранжу и может быть найден в книгах Смарта (56) и Мультона 147). Метод Лагранжа и метод Гамильтона-Якоби ие приводят прямо к уравнениям равд.
6. 2 и планетные уравнения Лагранжа являются, конечно, более общими. В других, менее известных методах силовые функции выражаются как частные производные возмущающих функций по орбитальным элементам. Эти средства хороши для решения задачи общих возмущений, но для наших целей такая степень усложнения не является необходимой. Использованный здесь метод вывода во многом основан на статье Андерсона (2). В книге Хэргета (27) содержится аналогичный подход, однако его трактовкой вариации аномалии нелегко вос- пользоваться. Автор настоящей книги полагает, что вывод, изложенный в равд.
6.2, будет наиболее понятным для читателя, обладающего знанием современного математического аппарата. Применение метода вариаций к анализу возмущений близкого спутника Земли в равд. 6. 3 является элементарным примером метода вариации параметров. Эта задача более полно рассматривается во многих статьях, наиболее типичной из которых является работа Энтони и Фосдика [3]. Между прочим, их подход не связан с методом вариаций. Принцип выбора других систем орбитальных элементов для исключения особенностей в конкретных приложениях выдвигали Хэррик [28] и другие авторы. Задача 6. 5 представляет собой пример одного из таких приемов для разрешения проблем, связанных с крайне малым эксцентриситетом.
Обобщение метода вариаций в равд. 6.4 во многом заимствовано у Пайпса [50]. Однако способ исключения особенностей, возникающих при переходе через случай параболического движения, является оригинальным и принадлежит автору данной книги. Материал равд. 6. 5 по фундаментальным матрицам возмущений взят из части трудов МТИ [45], написанной автором. Имеется, конечно, множество эквивалентных подходов к описанию отклонений от номинальной орбиты. Многие авторы предпочитаюз начинать прямо с переходной матрицы (разд. 9.
1) и отсюда выводить все необходимые частные матрицы. Автор настоящей книги считает свой подход наиболее целесообразным с точки зрения обучения, а также обеспечивающим наилучшее понимание механизма явлений. В частности, проводимые в разд. 6. 6 вычисления точной траектории облета Луны являются достаточно понятными именно благодаря этим фундаментальным матрицам. Автор хотел бы поблагодарить д-ра Миллера за значительный вклад, сделанный им во время разработки практического метода расчета точных траекторий на основе кусочно-конических приближений. Оригинальный подход, описанный Бэттином и Миллером [13], который состоит в подгонке точных орбит путем изменения высоты перилуния, нашел свое отражение в методе равд. 6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
