Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Как и прежде, Ро и 5о обозначают номинальные положения планеты и космического корабля в момент 1о, и — вектор положения корабля относительно Солнца, а л — вектор положения планеты относительно корабля. Обозначив через А угол от линии визирования Солнца до линии визирования планеты, как показано 254 г х соз А =--— г в Как обычно, все отклонения будем рассматривать в виде диффе- ренциалов, что позволяет записать 0(гясозА)=' — (г Й+з Ь'), где Ве=-т (Иа хГ) хг а р„— вектор скорости планеты в момент 1в Разлагая дифференциалы на соответствующие направления и учитывая соотношения в ° Зв 0з=.—— г ог' 3г= г можно получить для бА следующее выражение: оА = + — — Ыэ+ + — + — Ог+ Ч.
(7.17) Определения векторов и~ и йв приведены в первой части равд. 7. 2 Коэффициент при Мз в уравнении (7. 17) зависит только от номинальных условий в момент Го. Таким образом, если величина бтз известна, можно прямо вводить поправку бА каждый раз, когда измерение угла будет выполнено. Будем предполагать, что здесь на рис. 7. 9, выведем формулу для:изменения этого угла бА, которое вызывается следующими причинами: 1) движением планеты в течение интервала Йз — 6С, между номинальным временем и истинным временем измерения; 2) начальным смещением положения космического корабля ЬР по отношению к 50 в момент Га — бт„когда начинается процесс визирования; 3) наличием вектора расстояния рбга, проходимого аппаратом со скоростью и с начала засечки до момента окончания замера А.
Заметим, что начальное смещение бг может возникать частично из-за движения корабля в интервале времени бГ, и частично в результате его отклонения от номинального положения о0 в момент г0 Одна из основных задач анализа навигационной информации— соответствующим образом разделить эти составляющие. Угол А выражается через скалярное произведение имеет место именно этот случай и далее всюду члены, связанные с бгж будут опускаться. Для удобства обозначений целесообразно пользоваться четырехмерным * вектором отклонений Ьх4. Это позволит аналогично предыдущим случаям выразить измеренное (угловое) отклонение в виде 6А=Л4 йх4. Теперь, конечно, вектор л — четырехмерный.
Для конкретного типа измерения, который здесь обсуждается, имеем Л1 Ла — +— Ла Ор Тогда в матричной форме можно достаточно просто записать выражение, аналогичное уравнению (7.9): 3 74 =-0443х„ где Й44 в данном случае матрица размерности (4Х4), каждая строка которой состоит из компонентов четырехмерных векторов л для каждого из четырех отдельных измерений. Как и прежде, вектор бд4 составляется из отклонений наблюдаемых величин от их номинальных значений и в данном случае также является четырехмерным. Если матрица Й44 неособенная, т.
е. если измерения дают независимую информацию, то можно записать 6х =Он 64) . — 1 Измеренные, истинные и оценочные величины будем различать с помощью тех же обозначений, что и в равд. 7. 3. Таким образом, будем иметь соотношение — 1 6х, =Н.~ 6171. Ввиду наличия соответствующей информации становится возможной более правильная оценка бг. Действительно, после того как получена оценка 61„ можно внести поправку в оценку отклонения положения, учитывающую ошибку во времени начала засечки.
Это делается добавлением к оценке положения вектора расстояния, ° Раамерность вентора будет отмечаться соответствующим индексом только а тех случаях, когда она больше трех (прахе автора). 256 л пройденного космическим кораблем за время И,. Тогда наилучшая оценка четырехмерного вектора отклонений получится из выражения (7.18) где Х„= а Х вЂ” трехмерная единичная матрица. 7. 5, Оценка методом максим ума правдоподобия Описанный выше процесс определения отклонений по положению и коррекции показаний бортовых часов называется детерминированным, потому что для однозначного нахождения параметров предполагалось использование лишь достаточного числа измерений. Если измерения были точными, то вычисленные таким способом отклонения также должны быть точными в пределах допущений, свойственных линейному анализу.
Однако существуют погрешности приборов, так что имеет смысл включить в засечку избыточные измерения. Это позволило бы уменьшить неопределен. ность знания измеренных величин по сравнению с той точностью, которой можно добиться, используя лишь минимальное количество информации. Когда используется избыточная информация, задача становится по своей природе статистической и для ее решения, т. е. для определения интересующих нас параметров, удобно применять методы теории статистических оценок. Для облегчения дальнейшего обсуждения кажется целесообразным изложить некоторые основы статистического анализа, которые потребуются для общего понимания приводимого метода. Некоторое предварительное знакомство с предметом предполагается, так что следующий ниже короткий обзор должен лишь ориентировать читателя на конкретные приложения, рассматриваемые здесь и в дальнейших главах.
Множество всех возможных случайных исходов статистическо; го эксперимента называется пространством выборок. Для наименования действительнозначной функции а, чья величина определяется исходом случайного эксперимента, используется термин случайная переменная. Со случайной переменной а связывается функция распределения вероятности: Р ( а) = вероятность (а ~ а), поэтому для каждого а имеется соответствующая вероятность Р(а) того, что результатом эксперимента явится величина а, 9 597 257 которая не превышает а.
Если функция Р(а) дифференцируема, то определяется так называемая функция плотности распределения вероятности или просто плотность распределения р(а)= аР (а) ва откуда следует а Р(а)= ) р(а)аа, ь вероятность (а ~(а ~(б) =) р(а) йа, а ~ р(а)аа=1. Статистическое среднее значение. или математическое ожидание о случайной переменной а определяется выражением а= ~ ар(а)аа, а ее средний квадрат вычисляется по формуле аз= ') а~р(а)с(а. Для осредненного квадрата отклонения а от ее математического ожидания применяется название дисперсия а.
Дисперсия получается следуюшим образом: аь=(а — а)а==аз — (а)ь. Квадратный корень из дисперсии о называется стандартным отклонением, или среднеквадратичным отклонением (СКО). Все эти понятия можно распространить на две и более случайные переменные. Для двух переменных а~ и аз совместная функция распределения Р(аь а,) определяется выражением Р(аь аз) =вероятнесть (а~<а, и аз<аз), а совместная плотность распределения ВР(ао аз) Р(а„а,)=— да,даь Две случайные переменные называются статистически независимыми, если выполняется равенство Р(аь аь) =Р~(а~)Р,(аь) 258 или эквивалентное равенство Р(йь йз)=Р1 (й1) рз(йз). Если а~ и аз независимы, то, как можно показать.
а,а2= ~ ~ а,а,р(а„аз) <(йфа,=а,а,. С другой стороны, соотношение й1+йз= ~ ~ (й1+йз)Р(йо йз)(7йФй,=й1+йз является справедливым, невзирая на то, являются ли а~ и аз независимыми или нет. Все эти положения очевидным способом распространяются на случай более двух случайных переменных. Пусть имеется т случайных переменных аь ам ..., а с нулевыми математическими ожиданиями.
Их совместное распределение называется т-мерным нормальным распределением, если выполняется условие 1 г 1 — г — — |в р(а„аз,...,а )= ехр ~ — — а А „й ), (7.19) где й„— т-мерный вектор с ком понентами а,, й„..., й„, а А „— матрица распределения, обычно называемая корреляционной матрицей: а,й, а,й (7.20) 2 й а,а йзй ай, а„й, Символ 1А ~ обозначает определитель матрицы А Вернемся теперь к проблеме избыточных измерений и предположим, что для одной навигационной засечки было сделано всего т измерений, где т)3. Пример засечки, состоящей из шести измерений, показан на рис 7.
10. Первые три измерения включают ближайшую планету, от линии визирования которой отсчитываются углы до направлений на Солнце и на две звезды. Четвертое измерение связано с Солнцем и звездой, а пятое — с Солнцем и второй ближней планетой. Наконец, шестое измерение относится к угловому диаметру ближайшей планеты. Как всегда, имеем соотношение между истинными значениями измеряемых величин и отклонений положения, которое может быть записано в виде 9"' где 77и,з — прямоугольная матрица из пз строк и трех столбцов, Из выражения рч7 - = сд +а следует а„, = Вдм -- Н зйг.
(7.21) Поставленная задача состоит в оценке бг, когда задана совокупность измерений бо . Будем полагать, что компоненты а представляют собой случайные переменные с нормальным совместным л распределением. Оценка бг детерминированным методом (т=З) .о- г 1 Рис. 7.10. Пример навигационной ззсечки с избыточным числом измерений в соответствии с уравнением (7.11) производилась так, будто аз=О.
Иначе говоря, при отсутствии какого-либо известного сме-. щения наилучшая оценка ошибки измерения была нулевой. Такая оценка, по-видимому, максимизирует плотность распределения, выражаемую формулой (7 19), и является в некотором смысле наиболее правдоподобной величиной аз для любой типичной си. стемы измерений. При наличии избыточных измерений уже нельзя выбирать оценку бг, приводящую к нулевой оценке всех приборных погрешностей. С другой стороны, существует возможность так оценить бг, чтобы соответствующий вектор а также максимизировал свою функцию плотности распределения вероятности. Получающаяся в результате оценка бд известна под названием от1енки методом максимума правдоподобия и определяется следующим образом.
Подставляя уравнение (7. 21) в (7. 19), получим некоторую функцию бд при данной совокупности измерений: 7. (Ь)=- — ехрХ )7(2п)е ! Ат,п ) Х ~ — — (Ьдт ' НтзЪ)гА~ (Згура Нтзйг) ~ 2 которая называется функцией правдоподобия. Для того чтобы максимизировать 7.(бР), нужно просто приравнять нулю три ее частные производные о трем составляющим бг. В результате будем иметь 116у --Н„,хг) А ' Й з=о. Следовательно, оценка методом максимума правдоподобия полу- чается как решение уравнения л (7.
22) ~де Можно, конечно, расширить этот способ, если ввести оценку коррекции на показания часов. Однако при наличии избыточной информации приходится рассматривать в качестве одного из измерений время в соответствии с показаниями бортовых часов. Непосредственное измерение 64 есть нуль, так как при отсутствии какой-либо информации о неисправности часов обычно считают, что они указывают точное время. Если т — ошибка часов, то цс 'тс+ г Далее опишем обычную схему вычислений для оценки методом максимума правдоподобия вектора бр и ошибки 61,. Введем два лектора-столбца — тп-мерный бд и четырехмерный бх,: Гн)з зуз вх, = 261 Это позволяет записать Ь'7 Й ~ахи' Удобно разделять матрицу Й и на две: (о ) где Йм — четырехмерная квадратная матрица, а Йм — прямоугольная матрица с числом строк, равным числу избыточных измерений.
Заметим, что все элементы последней строки Й44 равны нулю, за исключением крайнего правого элемента, который равен единице. Первых трех измерений достаточно для однозначного определения бР. Четвертое измерение — показание часов — не дает никакой информации, пока не будет сделано дополнительное илн пятое измерение. Строго говоря, четвертое измерение является первым из избыточных, так как пятое измерение нужно для оценки ошибки бортовых часов.
Измеренные отклонения от номинальных значений бд' и соот. ветствующие ошибки измерений выражаются векторами а, абаз 0 пз Если компоненты а — случайные переменные, распределенные по нормальному закону, то применение метода максимума правдоподобия дает алю ~4е~Чт (7. 23) где Р~,„—.Х~~(Й~„,А~,„Н„,4) ' Йь,А, . ° (7. 24) Матрица Хм используется, как описано в разд. 7. 4, для внесения поправки в оценку бг на смещение времени измерений Й,. Окончательная оценка, характеризуемая уравнением (7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
