Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 43
Текст из файла (страница 43)
23), может быть приведена к более удобному виду для частного случая, когда отдельные ошибки измерений составляют систему статистически независимых случайных переменных. В этом случае корреляционная матрица А является диагональной, а ее диагональные элементы представляют собой дисперсии соответствующих ошибок измерений.
Поэтому можно разбить матрицу на следующие В!локк: А 44 Затем, если дополнительно ввести две квадратные матрицы — — — т — ! Р44=Нм А44Н44 Я„=А„+Й„Р Нц„ то можно непосредственно доказать*, что (Н4щ Ащщ Нщц) ' =Р44 — Р44Нцг(1гг НгцРм. Затем, подставляя это соотношение в уравнение (7.24), получим после некоторых преобразований*' Гц Х44Н44 4(144 Оцг)+Ец (г ч — ) гц Гг )4, (7.
25) где две новые прямоугольные матрицы обозначают следующее: — 1 У 4 Н 4Н44 2~= А44У„. * Действительно,' положив НцгА гг Нгц Вм, получим (Н4щАщщНщц) =(Р44 + Вцц) = Р44+ (Рцц +Вцз) — Р44 = — ! — — ! — — ! — -! — — — 1 — -! -! -! = Є— Р„(1м + „Є) „Є= Є— РмНцД„НгцРцц. (ирилц. ред.) "' Для доказательства уравнения (7. 25) следует учесть, что (Рщ 44Нцг(1гг Нгц цц) цтАгг = мН4т (Агг — — ! — — — — -! — — --! — (Ег„НгцРццН4,Агг ) = РццН4Я~г . Тогда (Нц Ащ Н 4) Н4щАщт — — (Н4щА Нщ4) Х НцгАг !! = 5 Нцц — Р44Н4Ягг НгцН44 Рцц'Н4Дгг Х !! НтмА44 = !! Йцц !! 144 Л4Л~~ У~ц лад~~ )) (прццл ред,). Матрица 1,2„может быть выражена через У,4 и Л4,.
тратт= Атт+1 т4~4т Матрица Р4, связывающая между собой бх4 и б47 и записанная в виде (7 25), имеет большое преимущество перед соответствующей матрицей' вида (7.241. В варианте (7.25) не возникае1 никаких вычислительных затруднений, связанных с допущением о том, что какое-либо из отдельных измерений является совершенно точным. Это допущение приводит к особенной матрице А которую нельзя обратить, как этого требует уравнение вида (7.
24). В то же время в уравнении (7. 25) такого обращения делать ие нужно. Кроме того, из (7. 25) сразу видно, к чему приводит добавление избыточных измерений. При вычислениях по формуле (7. 25) требуется обращать две матрицы: Н44 и 1',ттт, Благодаря специальному виду 7744, т. е. '21! Л112 ~13 ~14 '121 222 ~23 ~24 ~33 ~24 44 т231 тт3 тт33 т234 т134 О О О 1 О О О 1 «14 31 7у33 — 721 33 72м ) — -1 ' — — 1 ~34 ° =1 т т 44 О О О 1 Порядок матрицы 44 равен числу избыточных измерений.
Так как она состоит из суммы двух матриц, одна из которых диагональная, то необходимое обращение должно происходить без каких. либо затруднений, если не считать совершенно особые или искусственные случаи. 7.6. Анализ ошибок и .примеры Для проведения статистического анализа навигационной засечки нужно иметь аналитическое выражение для корреляционной матрицы ошибок оценки С этой целью обозначим четырехмерньш вектор ошибок оценки через е4, т.
е. 4 ( ) и поэтому 3 Х4 = 3Х4 + 04. 264 эта операция сводится к обращению матрицы размерности всего лишь (ЗХЗ). В результате обращения получим Теперь, подставляя это выражение в уравнение (7.23) и замечая, что истинные отклонения удовлетворяют (7. 23) тождественно, получим е4 ~4~о~ Корреляционная матрица Е44 ошибок оценки имеет вид т Ем=е,е4 — Р4,„А „Р',, (7. 26) где А — корреляционная матрица ошибок измерений вида (7. 20). Матрицу Е44 можно разбить иа блоки следующим образом: Здесь правый нижний элемент представляет собой средний квадрат ошибки оценки погрешности показаний бортовых часов. Квадратная матрица вверху слева есть не что иное, как корреляционная матрица ошибок оценки положения.
След этой матрицы, записы. ваемый в виде иивариантен относительно ортогонального преобразования коорди. наг, и, следовательно, квадратный корень из него является удобной мерой ошибки оценки. Будем называть этот след средним квадратом ошибки положения, а квадратный корень из него — среднеквадратичной ошибкой положения. Главная цель выбора конкретной совокупности измерений для навигационной засечки состоит в получении наименьшей возможной среднеквадратичной ошибки. Анализ, проведенный в разд. 7.3, представляет в основном лишь теоретический интерес, так как в нем предполагается, что звезды всегда могут быть выбраны оптимально. Из практических соображений приходится ограничиваться использованием для измерений только самых ярких звезд.
Анали'ические методы оптимизации, хотя несомненно и являются желательными, тем не менее ие могут быть вполне приспособлены к задачам выбора измерений при наличии такого рода физических ограничений. Поэтому оставшаяся часть раздела будет посвящена описанию наряду с числовыми примерами вычислительной схемы, которая показала себя полезной при анализе задачи практических измерений. Была составлена программа для универсальной цифровой вычислительной машины, предназначенная для выполнения расчетов, связанных с навигационной засечкой.
Начальные условия состояли из информации о номинальной траектории и предполагаемых стратегий выбора соответствующих измеряемых углов. На выходе машины получалась наилучшая (в пределах наложенных ограниче- ний) совокупность измерений, которая обеспечивала минимальную среднеквадратичную ошибку. Вычислялись среднеквадратичные ошибки положения и ошибки по времени для системы трех измерений, выбранной в качестве основной, а также те же самые ошибки по мере добавления каждого избыточного измерения. Это позволило в явном виде исследовать влияние дополнительных измерений.
Было сформулировано шесть различных стратегий выбора астрономических объектов для получения навигационных засечек. Эти стратегии применялись для каждой из четырех отобранных межпланетных траекторий. Подробно стратегии приводятся ниже. Стратегия 1 Основные измерения: 1 и 2 — ближайшая видимая планета и две наилучшие звезды; 3 — ближайшая видимая планета и Солнце. Избыточные измерения: 4 и 5 — вторая ближняя видимая планета и две наилучшие звезды; 6 — вторая ближняя видимая планета и Солнце или угловой диаметр ближайшей видимой планеты.
Стратегия 2 Основные измерения: 1 и 2 — ближайшая видимая планета и две наилучшие звезды; 3 — ближайшая видимая планета и Солнце. Избыточные измерения: 4 и 5 — Солнце и две наилучшие звезды; 6 — ближайшая видимая планета и Солвце. Если планета расположена настолько близко, что измерение ее углового диаметра дает существенную информацию, то избыточная система для стратегии 2 состоит из следующих измерений: 4 — Солнце и звезда, наилучшая в том смысле, что она оптимизирует первые четыре измерения; 5 — Солнце и вторая ближняя видимая планета; 6 — угловой диаметр ближайшей видимой планеты.
Стратегия 3 Основные измерения: 1 и 2 — Солнце и две наилучшие звезды; 3 — Солнце и ближайшая видимая планета. Избыточные измерения: 4 и 5 — ближайшая видимая планета и две наилучшие звезды; 6 — вторая ближняя видимая планета и Солнце или угловой диаметр ближайшей видимой планеты. Стратегия 4 Основные измерения: 1 и 2 — Солнце и две наилучшие звезды; 3 — ближайшая видимая планета и наилучшая звезда для оптимизации первых трех измерений. 266 Избыточные измерения.
4 — ближайшая видимая планета и наилучшая звезда с точки зрения оптимальности первых четырех измерений; 5 — Солнце и ближайшая видимая планета; 6 — Солнце и вторая ближайшая видимая планета или угловой диаметр ближайшей видимой планеты. Стратегия 5 Основные измерения: 1 и 2 — Солнце и две наилучшие звезды; 3 — Солнце и ближайшая видимая планета.
Избыточные измерения: 4 — ближайшая видимая планета и наилучшая звезда, оптими. зирующая первые четыре измерения; 5 — ближайшая видимая планета и наилччшая звезда, оптимизирующая первые пять измерений; 6 — Солнце и вторая ближняя видимая планета или угловой диаметр ближайшей видимой планеты. Стратегия 6 Основные измерения: 1 и 2 — вторая ближняя видимая планета: 3 — ближайшая видимая планета и наилучшая звезда.
оптимизирующая первые три измерения. Избыточные измерения: 4 — Солнце и вторая ближняя видимая планета: 5 — ближайшая видимая планета и наилучшая звезда. оптимизирующая первые пять измерений; 6 — Солнце и ближайшая видимая планета или угловой диаметр ближайшей видимой планеты. Для объяснения некоторых терминов, встречающихся в приведенных выше стратегиях, нужно сделать несколько замечаний: 1. Планета называется видимой, если угол между линиями визирования планеты и Солнца превышает 15'. Тот же критерий распространяется и на звезды, и для измерений выбираются только видимые звезды. 2. Если ближайшей видимой планетой является Земля, то в качестве второй ближней планеты выбирается Луна при условии, что угол между линиями визирования Земли и Луны превышает 3'. 3.
Измерение углового диаметра ближайшей видимой планеты является более предпочтительным по сравнению с другими измерениями, когда планета достаточно близко расположена, чтобы это измерение имело смысл. 4. Для двух измерений, относящихся к телу, расположенному на конечном расстоянии от корабля, и двум звездам, те звезды называются «наилучшими», плоскости измерений которых взаимно ортогональны. (Под плоскостью измерения подразумевается плоскость, в которой измеряется угол.) 5 Верхний предел общего числа допустимых измерений был произвольно установлен равным шести. В расчетах использовались всего 10 наиболее ярких звезд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
