Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Допустим, что космический аппарат начиная с момента отправления находился в свободном полете и что в момент 1 его отклонение от опорной траектории достигло Ьг. При таких обстоятельствах вектор положения корабля г в момент 1 зависит только от скорости в момент отправления р((е).
Если ввести обозначение ~( е) ~( е) ~0( е)' (6. 36) причем подразумевается, что частные производные вычислены при а (1е) =00 йе) ° Из уравнения (6. 35) имеем ь (е) = уг (е) а~ (ее). Подстановка (6. 37) в (6. 34) дает соотношение д (г)=л,р)зв(г,), (6. 37) (6. 38) где матрица Л(е) =[С*(1) — С(е))В(Е) связывает отклонение скорости в момент запуска с необходимым из-за этой ошибки изменением скорости в момент й Если космический аппарат будет лететь не по опорной траектории от момента запуска до прихода в точку встречи, то естественно, что в момент прибытия (А его скорость будет отличаться от номинальной.
Обозначим эту разность скоростей через ~~ РА) ~ (ЕА) ~0 ("А) и будем искать связь между ЬР(еА) и бн(ее). Используя уже применявшиеся соображения, нетрудно показать, что вектор положения г 220 то можно записать г [п(~е); ~] =г0 [~0(~е)' 4+й [~0(Ее); Е1 Ып(~е) (6.35) пренебрегая членами, чей порядок выше, чем бГ((е). Элементы матрицы А[60(ее); 1) являются частными производными составляющих Р по составляющим ю(1е), т.
е. будет функцией только й(Гл), и это Позволяет выразить г(6(Гх); г) следующим образом; г['о(гл)' г1='о [~ю(гл)' «1+0 [Фа(Гл); ~~ зо(Гл), (6.39) сохРанЯЯ лишь члены пеРвого поРЯДка по бр(Га). ЗДесь использо. вана новая матрица х'~..м 1-[ (6. 40) а частные производные, входящие в нее, вычисляются при а(гх) = =еа(Гл). Так как, очевидно, выполняется соотношение зг(г) =К(Г) З ~(Г„), (6. 41) то, учитывая (6.
37), нетрудно получить искомое выражение Й ( ) ~ (ЙА) Й (~) ~~ (гс) пли, записывая его по-другому, о( А) ~х~ ( ) ~~(') ОИ (6. 42) о [ФИх)' Г1 =по [~о(~с)' г1+Р [очи' Г1 ьо(гх) (6 43) Это уравнение похоже на уравнение (6. 35). Далее, используя те же приемы, которые привели к уравнению (6.39), можем записать [о(~л)' г) =оз [%>(1л)' ~1+ 1' [оо(гл); 1] Зо(Гл). (6.44) Матрицы Г и Г* определяются аналогично матрицам тг и В*, т. е.
[1 де(8 ) ~ (6. 45) т'ГФ.~; ч-~ д"(, ) ~ (6. 46) Ясно, что матрицы Л, Р и С не являются независимыми. Действительно, из уравнений (6. 32), (6. 36) и (6. 45) имеем соотношение ь'(у) =с(г) Д(г). (6. 47) Точно так же и для матриц со звездочками У (1) =С ф Й*(г). (6. 48) Для дальнейшей работы понадобятся дополнительно еще две матрицы. При фиксированном г(Гс) как вектор положения летательного аппарата в момент г, так и его текущая скорость а могут рассматриваться зависящими только от начальной скорости.
Вследствие этого обстоятельства имеем С помощью соотношения (6. 47) можно определить матрицу Л Х(1) =С" (г) й(2) — )г(1) ' (6. 49) и аналогичную матрицу со звездочкой Л'Р)= С(г)Р'(г) — Г'Р), (6. 50) Нг —. о'о — =о, '— = — — г, лз ' лз гз в результате чего будем иметь — ""+ "~ ь (г,)=~,+)гз (г,), лз лг С точностью до первого порядка Ьг можем записать — '=1(го+За).(го+ай )1 '" =(го+ 2гозг) г Ьг з го з го Подставив сюда бг лз соотношения (6.37), получим зз "о~во М гз гз огз о и с учетом этого приближенного выражения найдем — о+ — Ь (~з) = — Р ~ —,'+,' — 3 лоо л — ° ° / г, Гззо(4) гого~'(Я 'о гз 'о 222 которая появится в дальнейших выкладках.
Систему матриц 2т, В*, Р, зг* или в других случаях систему С, С*, Л, Л* будем называть фундаментальными матрицами возмущений. Покажем теперь, что они могут быть легко получены в виде решения некоторых .матричных дифференциальных уравнений. Предположим для простоты, что на движение оказывает влияние только одно гравитационное поле, обратно пропорциональное квадрату расстояния. Переход к более общим случаям нетруден и его мы оставляем читателю в качестве упражнения. Чтобы получить дифференциальные уравнения для матриц гг и Г, подставим (6. 35) и (6. 43) в основные уравнения движения ' Здесь опущены члены, содержащие высшие степени бд(гь). В ре- зультате, вводя определение новой матрицы Й = — а (3 гаго — го У) = г„ Г г Зг~х га Зга гм Зга га з а Згаага 3 гау — га Згаагаю 'а 2 Зга га Зга гга Зго га где 1 — единичная матрица размерности (ЗХЗ), имеем (6. 51) лч0+ ~ ~~ а — (, го + 0Я,~ (т ) 'о — йз(т )=Ь'3ю(1 ), сЫ вЂ” йо(~х) =ОФо (тх).
~И Поскольку эти соотношения справедливы для любых возмущений М(1х), то отсюда следует, что матрицы Л и Г могут быть полу- чены как решения следующих уравнений: (6. 52) (6. 53) Для нахождения решений нужно использовать соответствующие начальные условия ~Фх)=О~ г Их)=~> где Π— нулевая матрица размерности (ЗХЗ), в чем можно убе. литься на основании уравнений (6.36) и (6.
45). Пользуясь совершенно аналогичной аргументацией, нетрудно показать, что Я* и Г~ могут быть получены из уравнений лй — =1l, Ж вЂ” = 6)т, И (6. 54) (6. 55) 223 Наконец, нетрудно видеть, что так как векторы положения и ско. рости для номинальной траектории удовлетворяют основным векторным уравнениям движения, то должны выполняться соотно- шения удовлетворяющих начальным условиям 74*И,)=В ) *(~,)=7. Хотя матрицы С и С* можно получить из уравнений (6.
47) и (6. 48): С(1)=У(1)/~(г) ', с*(~) =~'(~) Г р)-1, интересно показать, что и они также могут быть представлены непосредственно в виде решений дифференциальных уравнений. Продифференцировав обе части уравнения (6. 47) по 1, получим Л вЂ” й 4С— — = С вЂ” + — ус. гг лг и Подставив сюда (6. 52) и (6. 53) и умножив результат справа нг Л вЂ” ', будем иметь — +С'=О. (6. 56) ~И Аналогично получается и второе уравнение — +С =О. (6. 57) Трудности при вычислении С и С~ непосредственным интегрированием уравнений (6. 56) и (6. 57) начияаются с попыток назначить соответствующие начальные условия. Если исходить из начальных значений матриц Я и Л*, то отсюда следует, что как С(1с), так и С*(1л) стремятся к бесконечности.
Если же иметь дело прямо с дифференциальными уравнениями для матриц С-' и С*-', то зти затруднения отпадают. Дифференцируя выражение С(г)-1 Р (1) =У~ (1), ФС + С'-'ОС вЂ” ' =7. Ж (6. 58) Соответствующее уравнение для С'-' получается в той же последовательности: лс" ' +С* 'ОС* '=1.
гй (6. 59) 224 учитывая уравнения (6. 52) и (6. 53) и умножая результат справа на Г ', получим Уравнениями (6.58) и (6.59) можно воспользоваться для демонстрации любопытного свойства матриц С и С*. Если уравнение движения имеет вид Фр лгг где д — вектор ускорения, вызываемого консервативным силовым полем, тогда матрица '=1$ С(Г~) '=0 С*Д„) '=О, то С и б" — симметрические для г=1г и 1=1л соответственно.
Следовательно, матрицы с (() и С*(1) — симметрические для всех г на интервале от точки отправления до точки прибытия. Совершенно тем же способом можно вывести дифференциальные уравнения для Л и Л*. Дифференцируя соотношения (6. 48) и (6. 50) и учитывая дифференциальные уравнения для Л, Г, л', Г', нетрудно получить — +С Л=О лг (6.
60) — +СЛ*=О, Йг (6. 6П где лр,)= — У, л*(г,) =. Х Элементы матриц Я и Р представляют собой отклонения положения и скорости от номинальных, возникающие в результате некоторых определенных отклонений начальной скорости от ее номинального значения. Например, первые столбцы этих матриц суть не что иное как векторы отклонений в момент г за счет единичного изменения первой составляющей скорости в момент 1г . Соответствующий смысл можно придать и другим столбцам.
Подобным же образом раскрывается физическое значение элементов матриц Л* и Г*. Покажем теперь, что отклонения положения и скорости от соответствующих номинальных значений в любой момент времени, которые вызываются заданными отклонениями положения и скорости в любой другой момент, могут быть представлены как линейные комбинации матриц А, В~, Р, Р*. 225 будет всегда симметрической.
Поэтому из уравнений для С и Сэ сразу следует, что эти матрицы будут симметрическими для любого г в интервале ((г, 1л), если они симметрические для какого-либо одного момента времени. Но так как в силу начальных условий С этой целью запишем г Я= гс (г) + гг (г), ся= и (г) + Ггс (г) и используем векторные дифференциальные уравнения движения, чтобы показать, что бг(т) и бй(т) можно получить, решая линеари- зованные дифференциальные уравнения — '(Ь.)=йю, — "(зю) =Озг, гй 'Н если пренебречь членами порядка выше бг и бс.
Тогда, если записать Зг(()=-М(~) с+3*(~) с, Зп (г) =)г (г) с+Тг* (() с, (6. 62) (6. 63) зг, = Й,с+Т(~с"', оп, =)г,с +Р1с*. Умножив первое уравнение на Л вЂ”,', получим с=Л, (сг,— Л1с'). Далее, подставляя с во второе уравнение, найдем с'=Л1 '(С,Ь',— Й,). Окончательно после некоторых упрощений будем иметь с=Л1 (С18г1 — зп,).
Теперь, зная с и с*, можно найти с помощью выражений (6. 62) и (6. 63) отклонения по положению, и скорости в любой другой момент времени й Пусть теперь бг~ и бган — отклонения по положению в два различных момента времени, г, и (, а Вь Л,", Ль Л, — матрицы Л 226 где с и с* — произвольные постоянные векторы, то из уравнений (6. 52) — (6. 55) следует, что эти выражения удовлетворяют дифференциальным уравнениям для возмущений. Кроме того, в них содержится ровно столько неизвестных постоянных, чтобы удовлетворялась любая физически возможная система начальных или граничных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
