Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если орбита спутника близка к круговой орбите радиуса го, полученный результат можно переписать в виде Я =, — 10,05 ( — ") ' сов ! град/день. '! го, (6, 19) (Значение Уг дано в приложении.) Итак, плоскость орбиты вращается вокруг полярной оси в направлении, противоположном движению спутника н со средней скоростью вращения, выраженной формулой (6.
19). Аналогичным способом получим среднюю скорость вращения линии апсид д„= — у,~ 'о) п(1 — 5сово!) или в случае круговой орбиты доо= — 5,0 ~ — — 'о ) ' (1 — 5 сово !) град!день. го Отсюда видно, что если !>63'26',7, то линия апсид будет двигаться назад, а если !(63'26',7 — вперед. Совершенно так же можно исследовать вариации других элементов. (6. 20) 214 или с учетом второго закона Кеплера и полярного уравнения эллип- тической орбиты 6.4. Обобщение метода вариаций Как уже отмечалось в предыдущем разделе, в процессе применения метода вариации орбитальных элементов возникает множество проблем.
Этот метод является наиболее мощным при медленном изменении оскулирующих элементов. Трудности могут возникать в том случае, когда орбита близка к круговой и вследствие этого перицентр слабо выражен, Точно так же, когда мало наклонение орбиты, становится неопределенным положение линии узлов. Если же орбита близка к параболической, то может слишком быстро изменяться большая полуось. Известны способы борьбы с каждым из этих затруднений. Проблема близости к круговой орбите рассматривается в задаче 6. 6, вопрос о малом наклонении нетрудно исключить, переопределив опорную систему координат, а проблема близости орбиты к параболической решается путем использования в качестве орбитальных элементов параметра и эксцентриситета вместо большой полуоси.
Более серьезный недостаток, чрезвычайно неприятный при расчетах, особенно на автоматических цифровых машинах, связан с дополнительным дифференциальным уравнением, необходимым для нахождения истинной аномалии. К счастью и эту проблему можно обойти, выбрав систему орбитальных элементов, которая не зависит от положения перицентра. Новая система элементов, которую предложил Пайпс, состоит из начальных векторов положения и скорости, и такой выбор, помимо всего прочего, приводит к дополнительному улучшению метода. При использовании системы элементов Пайпса не только отпадает необходимость в дифференциальном уравнении для ис. тинной аномалии, но также исчезает большая часть из перечисленных вырожденных случаев. Исключение составляет случай орбиты, близкой к параболической.
Однако, если использовать универсальные формулы равд. 2. 8 и далее с их помощью модифицировать способ Пайпса, то появляется возможность одновременно производить расчет для эллиптических, параболических и гиперболических оскулирующих орбит и совершать непрерывный переход от одного типа к другому. Для этого, в частности, понадобятся формулы (2. 42) — (2. 44) и (1. 46).
Орбитальными элементами теперь являются векторы г0 и эо. Уравнения (2. 43) и (2. 44) можно разрешить относительно га и дм если просто заменить 1 на — й х на — х и поменять местами гм эа с г, э. Тогда будем иметь следующие соотношения: га= ~ г+б о> п,=Р,"г+б,э, (6. 21) где 2!5 Р* 1 х' С („,~) т [Г х Е (ах»)~ )гй Р~=~~ [х — алая (ах»)), гго 6~=1 — — С(их ) хо .2 го 2 оо а= — —— г (6.
22) После аналогичного преобразования уравнение Кеплера (2. 42) принимает вид )~'1лг=(1 — га) х»Б(ах»)+гх — — х'С(ах») (6. 23) 'г' я Уравнение, выведенное в задаче 2.28, также понадобится для того, чтобы выразить модуль го через мгновенные положения и скорость. Таким образом, будем иметь го —— г+(1 — га) х»С(ах») — — [х ах»5(ахг)[ (6 24) л (аго) х (аР'*) — + (сЖ") — С*— лг лг лг (6. 26) и (айо) и (аЕ',) — л (а6,) сИ гИ 216 Схема вывода уравнений в вариациях для Ро и ао представляет собой непосредственное приложение формального правила дифференцирования, изложенного в равд.
6.2. Обычным способом получаются производные го н оо из уравнения (6. 21), причем г и Г считаются постоянными, Ю/о(Г заменяется на аю а о/х/Ш на ~ц/Ш, где ~ так же связана с х, как т)„р, у связаны с /, Е, М. Иначе говоря, ~ представляет собой изменение х, вызываемое только изменениями го и оо. Необходимая модификация, которая позволяет проходить через параболический случай, заключается в выводе производных от возмущений для аро и ай» вместо того, чтобы делать зто для го и Го, а также в определении а из дифференциального уравнения, полученного формально из уравнения (6.
22): — = — — в а. (6. 25) лг Следовательно, если умножить уравнение (6. 21) иа а, применить правило дифференцирования и использовать уравнение (2. 41) для прозводных от 5 и С, то будем иметь где Л(аО') 1 ( хг(1 — Р*) (3т (-~')~~.а -~- лг +г(1 — г" )( л1 ) О (аг') (а ~'р (6" +~)+ахг (1 — Р*) — 2х~ з а + ""ОР Р + —" [1 — аг (1 — Р.*)) (а — "~ — — '('а — ""о~ ~ „, 1 ( „, 1, + г (1 — Р') / а~.О ~ 'О Остается определить производные от возмущений 5 и гО. Применяя формальное правило дифференцирования к уравнению (6. 23) и вцдя, что согласно (6.
24) крэффициент при ~Ц/~Й равен просто гО, найдем а — = — (х(г+г,) — 2ф'ф — )гр.(1+га) (6*+ 1)~ з аа+ иго аг (1 — г') —— + га. (6. 27) Аналогично, дифференцируя уравнение (6. 24), получим а О = — [2г(1 — Р*)+ ах)грг+аг з(6*+()— гй и аггаг ! — „.О ) ! — ахОг] о аа — г ад+ ( х — а ) ' р г — = ) ( а — ~ . .6 ° ~ (6.
28) 217 При соответствующих начальных условиях, заданных для а, арО и айО, уравнения (6. 25) и (6. 26) могут быть проинтегрированы любым подходящим к данному случаю численным методом. Для каждого шага по времени соответствующая величина х определяется из решения обобщенного уравнения Кеплера (2. 42). Затем вычисляются мгновенные векторы положения и скорости с помощью формул (2. 43) и (2. 44), Конечно, представленные уравнения громоздки и сложны в алгебраическом отношении, но при расчете на быстродействующих машинах этот недостаток, по-видимому, с избытком компенсируется тем, что они являются совершенно общими и свободными от всяких неопределенностей и вырожденных случаев.
6.5. фундаментальные матрицы возмущений Основой решения задач космической навигации, которые будут обсуждаться в гл. у'П1 и 1Х, является некоторая совокупность матриц. В настоягцем разделе мы определим эти матрицы, укажем на ту роль, которую они могут играть в теории навигации, и покажем, как их можно получить с помощью решения системы дифференци. альных уравнений.
Затем в равд. 6. 7 будет описан прямой метод вычисления этих матриц в случае, когда исходные траектории являются идеальными коническими сечениями. Хотя излагаемые здесь принципы являются совершенно общими. их гораздо легче пояснять на примере какой-то конкретной задачи. Рассмотрим для определенности летательный аппарат, выходящий иа орбиту в момент (ь и движущийся под влиянием одного или нескольких гравитационных полей до прихода в точку цели в момент ~ 4. Пусты в (~) и Юв (1) — векторы положения и скорости в момент 1 аппарата, летящего вдоль номинальной кривой, которая соединяет начальную и конечную точки. В результате начальных ошибок, возникающих из-за невозможности вывода аппарата на точную орбиту при запуске, истинные векторы положения и скорости г(1) и р(т) будут отличаться от соответствующих номинальных величин.
Будем предполагать, что эти отклонения от опорной траектории всегда малы. Это позволит применять методы линеаризации. Свяжем с положением и в произвольный момент времени 1 вектор р "', который представляет собой скорость, необходимую для перелета аппарата под действием только гравитации из данного положения в точку цели'.
Поскольку при фиксированном 1 вектор ьи есть функция и, можно разложить гв (и;() в ряд Тэйлора относительно точки гв(1). Если обозначить 3г(г) =- Г И) — го (у) и пренебречь членами, содержащими степени бр выше первой, то разложение Тэйлора может быть выражено достаточно просто: 'и (Г з)='па(ГО ~) КС (ГО1 Г)8Г(~) (б. 29) где Се(гв, 1) — матрица частных производных составляющих ье по составляющим г, найденных в точке гв. Пусть для определенности выбрана какая-то система ортогональных осей.
Записывая и и гм как векторы-столбцы в виде ' К этому следует добавить, что время перелета в точку цели считается заданным (прим. рад.). 218 можно определить матрицу С' следующим образом: доу дох дгу дгу дга С*(га1 г)= = до„' до„до„ (6. 30) дгу д у дга до' до' до* Ю= то матрица С определяется следующим образом: (6. 32) причем частные производные вычисляются в точке Ра. Определим теперь новый вектор до (1) =о*(1) — о (1) представляющий собой изменение скорости, необходимое для перевода в момент 1 летательного аппарата на новую орбиту, которая (6.
33) ' См. примечание на етр. 218 (прим. ред.). 219 дг„дг у дга Подразумевается, что частные производные вычисляют в точке Ра. В пределах допущений, вытекающих из линейной теории, уравнение (6.29) обеспечивает простую схему вычисления потребной скорости. Так как оа(ге, 1) и Се(ге1 1) известны, то вектор бг, который получается методами, рассматриваемыми ниже в гл.
Ч11, полностью определяет скорость, потребную для встречи с целью'. Очевидно, что система навигации для определения потребной коррекции скорости должна найти о(1) — истинную скорость космического аппарата, когда его положение определяется вектором р(1). В частном случае, для которого о(1) — скорость, достигнутая в свободном полете аппаратом, движущимся из фиксированного стартового положения г, за время 1 — 1ы вектор о будет функцией ~олько г и й Следовательно, для фиксированного 1 можно разложить о(г; 1) в ряд Тэйлора относительно точки Ра(1). Пренебрегая членами высших порядков по сравнению с Ьг, имеем о(г; 1)=па(га', 1)+С(г01 1)8Ф) (6.
31) где С(га, 1) — матрица частных производных составляющих о по составляющим г, вычисляемая в точке Ра. Если обозначить приведет его в точку встречи к моменту ЕА. Тогда из уравнений (6. 29) и (6. 31) будем иметь Ье(1)=[С (Е) — С(Е) Ог(Е). (6. 34) (Функциональная зависимость матриц С и С* от параметров опор. ной траектории всюду подразумевается, но далее в индексах отражаться не будет.) ' Итак, получен простой переход от ошибок по положению к кор рекции скорости, которую нужно произвести для выполнения поставленной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
