Биард Р.У., МакЛэйн Т.У. Малые БЛА - теория и практика (2015) (1245764), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Выполнив преобразование Лапласа, получимæa q3q(s) = çç2è s + a q1 s + a q 2öæö÷ ç d e (s) + 1 d q 2 (s) ÷.÷÷ça q3øèø(5.29)Обратите внимание, что при прямом и горизонтальном полете r = p = f = g = 0.Кроме того, летательные аппараты обычно разрабатывают так, чтобы C m 0 = 0,что предполагает, что и d q2 = 0. Используя тот факт, что q& = q + d q1 , получимблок-схему, представленную на рис. 5.5.
Модель, показанная на рис. 5.5,использована потому, что скорость тангажа q может быть непосредственноРис. 5.5. Блок-схема для передаточной функции от руля высоты к углу тангажа. Скоростьтангажа q представлена в явном виде, потому что ее можно получить из показанийдатчиков угловой скорости, и она будет использоваться как сигнал обратной связив гл. 686Глава 5. Линейные модели проектированияполучена из показаний датчиков угловой скорости для сигнала обратной связии поэтому должна быть доступна в модели.ВысотаДля постоянной воздушной скорости угол тангажа непосредственно воздействует на скорость набора высоты летательного аппарата.
Поэтому можнополучить передаточную функцию от угла тангажа к высоте.Из уравнения (5.3) имеемh& = u×sinи — v sin f cos и — w× cos f cos и= Vaи + (u sin и Vaи) v sin f cos и w cos f cos и = Vaи + dh,(5.30)гдеd h = (u sin q - V a q) - v sin j cos q - w cos j cos q.Обратите внимание, что при прямом и горизонтальном полете, когда v Ј 0,w Ј 0, u Ј Va, f Ј 0 и и мал, имеем dh Ј 0.Если предположить, что Va является константой, а входным воздействиемявляется и, тогда уравнение (5.30) в пространстве изображений Лапласа становитсяöV æ1(5.31)h (s ) = a ç q +dh ÷s èVaøи результирующая блок-схема для динамики продольных движений от рулявысоты к высоте полета приводится на рис.
5.6. Альтернативно этому, еслиугол тангажа удерживается постоянным, тогда повышение воздушной скорости приведет к росту подъемной силы крыла, приводя к изменению высотыполета. Для вывода передаточной функции от воздушной скорости к высотеполета считаем и в (5.30) постоянным, а Va — входным воздействием, чтобыполучитьq1(5.32)h(s) = æçV a + d h ö÷.qsèøЗадатчики высоты, обсуждаемые в гл.
6, будут регулировать высоту полета, используя угол тангажа и воздушную скорость. Аналогичным образомРис. 5.6. Блок-схема для динамики продольных движений5.4. Модели передаточной функции87воздушная скорость будет регулироваться с помощью дроссельной заслонкии изменением угла тангажа. Например, когда угол тангажа постоянный, тораскрытие заслонки повысит тягу двигателя и увеличит воздушную скорость.С другой стороны, если заслонку удерживать в неизменном положении, тогда пикирование самолета приведет к снижению подъемной силы и к направленному вниз ускорению самолета под действием гравитационной силы, темсамым повышая воздушную скорость.Воздушная скоростьДля полноты модели динамики продольного движения выведем передаточные функции для управляющих сигналов от дроссельной заслонки и углатангажа к воздушной скорости. На пути к этой цели следует иметь в виду,что если скорость ветра нулевая, то Va = u 2 + v 2 + w 2 , что подразумеваетследующее:uu& + vv& + ww&.V&a =VaИспользуя уравнение (2.7), получимV&a = u& cos a cos b + v& sin b + w& sin a cos b = u& cos a + w& sin a + dV1 ,(5.33)гдеdV1 = u& (1 cos в) cos б w& (1 cos в) sin б + v& sin в.Обратите внимание, что когда в = 0, имеем dV1 = 0.
Подставляя (5.4) и (5.6)в уравнение (5.33), получимìrV a2 S é-C D (a) cos a +V&a = cos a í rv - qw + r - g sin q +2 m ëêîcq++ C L (a) sin a + (-C D q cos a + C Lq sin a)2V a+ (-C D de cos a + C Lde sin a)d e ù +ûúrS Проп. C Проп.2mü[(kd r ) 2 - V a2 ]ý +þìrV a2 S´+ sin a í qu r - pv r + g cos q cos j +2mîcqé+´ ê-C D (a) sin a - C L (a) cos a + (-C D q sin a - C Lq cos a)2V aë+ (-C D de sin a - C Lde cos a)d e üý ùú + dV1 .þûИспользуя уравнение (2.7) и линейную аппроксимацию CD(a) Ј CD0 + CDa б,после упрощений получим88Глава 5. Линейные модели проектированияV&a = rV a cos a sin b - pV a sin a sin b - g cos a sin q + g sin a cos q cos j +rV a2 S2mcqéùê-C D (a) - C D a a - C D q 2V - C D de d e ú +aëûrS Проп.
C Проп.+[(kd r ) 2 - V a2 ]cosa + dV1 =2m= (rV a cos a - pV a sin a) sin b - g sin(q - a) - g sin a cos q(1 - cos j) ++rV a2 S2mcqéùê-C D 0 - C D a a - C D q 2V - C D de d e ú +aëûrS Проп. C Проп.[(kd t ) 2 - V a2 ] cos a + dV1 =+2mcqrV a2 S éù= - g sin g +-C D 0 - C D a a - C D q- C D de d e ú +ê2m ë2V aû++rS Проп. C Проп.2m(5.34)[(kd r ) 2 - V a2 ] + dV 2 ,гдеdV 2 = (rV a cos a - pV a sin a) sin b - g sin a cos q(1 - cos j) ++rS Проп. C Проп.2m[(kd r ) 2 - V a2 ](cos a - 1) + dV1 .Снова отметим, что при горизонтальном полете dV2 » 0.При управлении воздушной скоростью, Va, имеются два представляющихинтерес входных воздействия: величина открытия дроссельной заслонки dt иугол тангажа q.
Поскольку уравнение (5.34) нелинейно относительно Va и dt,то нужно его линеаризовать, прежде чем сможем найти требуемые передаточные функции. Следуя подходу, кратко описанному в разделе 5.5.1, можнолинеаризовать (5.34), полагая, что V a @ Va — V a* является отклонением Va отсбалансированного состояния системы, q @ q — q* — отклонение q от сбалансированного состояния системы и dt @ dt — d*t — отклонение положения заслонки от сбалансированного состояния системы. Тогда уравнение (5.34) можно линеаризовать вблизи сбалансированного состояния самолета без кренапри постоянной высоте полета (g* = 0), что даетrS Проп.üì rV * SC Проп.V a* ýV a +V&a = - g cos(q* - a * ) q + í a [-C D 0 - C D a a * - C D de d*e ] mî mþérS Проп.ùC Проп.
k 2 d*t ú dt + dV = -aV1V a + aV 2 dt - aV3 q + dV ,+êë mûгдеaV1 =rS Проп.rV a* S[C D 0 + C D a a * + C D de d*e ] +C Проп.V a* ,mm5.5. Линейные модели в пространстве состоянийaV 2 =rS Проп.m89C Проп. k 2 d*t ,aV3 = g cos(q* - c * ),а dV включает в себя dV2 , а также ошибку линеаризации. В пространстве изображений Лапласа имеемV a (s ) =1(aV 2 d(s) - aV3 q(s) + dV (s)).s + aV1(5.36)Соответствующая блок-схема приведена на рис. 5.7.Рис. 5.7.
Блок-схема для линеаризованной динамики воздушной скорости в окрестностяхсбалансированного состояния. Входными воздействиями являются отклонениеугла тангажа от сбалансированного состояния или отклонение положения дроссельной заслонки от сбалансированного состояния5.5. Ëèíåéíûå ìîäåëè â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèéВ этом разделе рассмотрены линейные модели в пространстве состояний дляпродольных и боковых движений путем линеаризации уравнений (5.1)—(5.12)в окрестностях сбалансированных состояний. В разделе 5.5.1 будет описанаметодика общей линеаризации. В разделе 5.5.2 выведены уравнения пространства состояний для динамики боковых скольжений, а в разделе 5.5.3 — для динамики продольных движений.
И, наконец, в разделе 5.6 описываются режимы пониженного порядка, включая короткопериодический режим движения,длиннопериодический режим движения (режим фугоида), полюса режима«голландский шаг» и неустойчивый режим спирального движения.5.5.1. ËèíåàðèçàöèÿЕсли рассматривать общую систему нелинейных уравненийx& = f (x, u),90Глава 5.
Линейные модели проектированиягде x Î R n является состоянием, а u Î R m является управляющим вектором, ипредположить, что, используя методы, описанные в разделе 5.3, можно найтибалансировочное входное воздействие u* и состояние x*, такие чтоx& * = f (x*, u*) = 0.Полагая x @ x — x*, получимx& = x& - x& * = f(x, u) — f(x*, u*) == f(x + x* — x*, u + u* — u*) — f(x*, u*) = f(x* + x, u* + u ) — f(x*, u*).Взяв первый член разложения в ряд Тейлора в окрестностях сбалансированного состояния, получим¶f ( x * , u * )¶f ( x * , u * )x& = f ( x * , u * ) +x+u + H . O. T .- f ( x * , u * )¶x¶u¶f ( x * , u * )¶f ( x * , u * )»x+u.¶x¶u(5.37)Отсюда следует, что линеаризованная динамика определяется нахождени¶f¶fи, которые оцениваются при сбалансированных условиях.ем¶x ¶u5.5.2.
Óðàâíåíèÿ áîêîâîãî äâèæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèéДля уравнений бокового движения в пространстве состояний состояние задаетсяx& 1at @ (v, p, r, j, y) Tи вектор входных воздействий определяется какu1 at @ (d a , d r ) T .Выражая (5.5), (5.10), (5.12), (5.7) и (5.9) через xlat и ulat, получимv& = pw - ru + g cos q sin j +r(u 2 + v 2 + w 2 )S+2mr u 2 + v 2 + w2S b[C Y p p + C Y r r ] +2m2éæv-1êC Y 0 + C Y b tan çç2è u + w2ëùö÷÷ + C Y da d a + C Y dr d r ú,øû(5.38)где использовалось выражение для случая нулевого ветраr u 2 + v 2 + w2S b2[C pp p + C pr r] +22(5.39)éùæöv1÷÷ + C pda d a + C pdr d r ú,+ r(n 2 + v 2 + w 2 )Sb êC p0 + C pb tan -1 çç2è u2 + w2 øëûp& = G1 pq - G 2 qr +5.5.
Линейные модели в пространстве состояний91r u 2 + v 2 + w2S b2[C rp p + C rr r] +22éùæöv1÷÷ + C rda d a + C rdr d r ú,+ r(u 2 + v 2 + w 2 )Sb êC r0 + C rb tan -1 çç2è u2 + w2 øëû(5.40)& = p + q sin j tan q + r cos j tan q,j(5.41)& = q sin j sec q + r cos j sec q,y(5.42)r& = G 7 pq - G1 qr +где использовалось выражение для случая нулевого ветраævb = tan -1 ççè u2 + w2ö÷÷,øVa = u 2 + v 2 + w 2 .Якобиан уравнений (5.38)—(5.42) дается выражением¶f1at¶x1atæ ¶v&çç ¶vç ¶p&ç ¶vç ¶r&=çç ¶v&ç ¶fçç ¶v&ç ¶yç ¶vè¶f1at¶u1at¶v&¶p¶p&¶p¶r&¶p&¶f¶p&¶y¶pæ ¶v&çç ¶d aç ¶p&ç ¶d aç ¶r&=çç ¶d a&ç ¶fç ¶dç a&ç ¶yç ¶dè a¶v&¶r¶p&¶r¶r&¶r&¶f¶r&¶y¶r¶v&¶f¶p&¶f¶r&¶f&¶f¶f&¶y¶f¶v&¶d r¶p&¶d r¶r&¶d r&¶f¶d r&¶y¶d r¶v& ö÷¶y ÷¶p& ÷¶y ÷¶r& ÷÷,¶y ÷& ÷¶f÷¶y ÷& ÷¶y¶y ÷øö÷÷÷÷÷÷.÷÷÷÷÷÷øВ связи с этим следует заметить, чтоæv¶tan -1 çç2¶vu+ w2èöu2 + w2u2 + w2÷÷ =.=222V a2ø u +v +w92Глава 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
