Биард Р.У., МакЛэйн Т.У. Малые БЛА - теория и практика (2015) (1245764), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Линейные модели проектированияВзяв производные, получим линеаризованные уравнения в пространствесостоянийæ v& ö æ Y vç p& ÷ ç Lç&÷ ç vç r& ÷ = ç N vç f÷ ç 0çy÷ çè&ø è 0YpLpNp10Yrg cos q * cos f *Lr0Nr0cos f * tan q * cos f * tan q * -r * sin f * tan q *cos f * sec q * cos f * sec q * -r * sin f * sec q *æ v ö æç Y d açp÷ç Ld a´ ç r ÷ + çNdaç f÷ç ÷ çç 0èyø è 0Y drLd rN dr000ö÷0÷0÷ ´0÷0 ÷øö÷÷ æç da ö÷÷ ç ÷,÷ è dr ø÷ø(5.43)где соответствующие коэффициенты приведены в табл.
5.1.Уравнения боковых движений часто представляются в зависимости от bвместо v. Из уравнения (2.7) имеемv = Va sin в.Линеаризуя в окрестности в = в*, получимv = V a* cosb* b,что предполагаетb& =1v& .V a* cos b*Поэтому можно записать уравнения в пространстве состояний в зависимости от b вместо v какYpæçYv*V a cos b*æ b& ö ç**Lpç ÷ ç LvV a cos bç p& ÷ ç N vV a* cos b*Npç r& ÷ = ç&÷ ççf01ç&÷ çyè ø ççç00èY dröæ Y da÷ç****ç V a cos b V a cos b ÷÷ æç da ö÷.Ld r+ ç Ld a÷ çè dr ÷øç NdN dra÷ç00÷ç00øèg cos q * cos f *V a* cos b*00cos f * tan q * cos f * tan q *-r * sin f * tan q *cos f * sec q * cos f * sec q *-r * sin f * sec q *V a*Yrcos b*LrNrö0÷÷0 ÷ æç b ö÷0÷ ç p ÷÷çr ÷+0÷ ç f ÷÷ çy÷÷è ø0 ÷÷ø(5.44)5.5.
Линейные модели в пространстве состояний93Таблица 5.1. Коэффициенты модели с динамикой бокового скольжения в пространстве состоянийБоковое движениеФормулаYvrSC YbrSb 2v*rSv*[C Yp p* + C Yr r * ] +[C Y0 + C Yb b* + C Yd a d*a + C Yd r d*r ] +4 mV a*m2mYp- w* +rV a* SbC Yp4mYr- u* +rV a* SbC Yr4mYdarV a*2SC Yd a2mYdrrV a*2SC Yd r2mLvrSbC pbrSb 2v*[C pp p* + C pr r * ] + rSbv* [C p0 + C pb b* + C pd a d*a + C pd r d*r ] +4V a*2LpG1q* +rV a* Sb 2C pp4Lr- G2q* +rV a* Sb 2C pr4Ld arV a*2SbC pd a2Ld rrV a*2SbC pd r2NvrSbC rbrSb 2v*[C rp p* + C rr r * ] + rSbv* [C r0 + C rb b* + C rd a d*a + C rd r d*r ] +4V a*2NpG7q* +rV a* Sb 2C rp4Nr- G1q* +rV a* Sb 2C rr4N darV a*2SbC rd a2N darV a*2SbC rd r2u*2 + w*2u*2 + w*2u*2 + w*25.5.3. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèèâ ïðîñòðàíñòâåДля уравнений движения в продольном направлении в пространстве состояний состояние задается соотношениемx& прод.
@ (u, w, q, q, h) Tи вектор входных воздействий определяется какu прод. @ (d e , d t ) T .94Глава 5. Линейные модели проектированияВыражая (5.4), (5.6), (5.11), (5.8) и (5.3) через xпрод. и uпрод., получимu& = rv - qw - g sin q ++rS Проп.2mcqrV a2 S éùCX0 + CXa a + CXq+ C X de d e ú +ê2m ë2V aûC Проп. [(kd r ) 2 - V a2 ],w& = qu - pv + g cos q cos j +q& =rV a2 S2mcqéùêC Z 0 + C Z a a + C Z q 2V + C Z de d e ú,aëûJ xz 2J - Jxcqéù1pr +(r - p 2 ) + z+ C m de d e ú,rV a2 cS ´ êC m + C m a a + C m qJyJy2V a2J yëûq& = q cos j - r sin j,h& = u sin q - v sin j cos q - w cos j cos q.Предполагая, что все боковые состояния движения являются нулями (т.e.f = p = r = в = v = 0) и воздушная скорость также нулевая, заменаwa = tan -1 æç ö÷èu øVa = u 2 + w 2из уравнения (2.7) даетr(u 2 + w 2 )S éùw´ êC X 0 + C X a tan -1 æç ö÷ + C X de d e ú +2mèu øëû22rS Проп.r u +w SC X q cq +C Проп.
[(kd t ) 2 - (u 2 + w 2 )],+4m2mu& = -qw - g sin q +w& = qu + g cos q +r(u 2 + w 2 )S´2méù r u 2 + w2Sw´ êC Z 0 + C Z a tan -1 æç ö÷ + C Z de d e ú +C Z q cq,4mèu øëûq& =1r(u 2 + w 2 )cS2J y(5.45)(5.46)éù1-1 æ w ö222êC m 0 + C m a tan çè u ÷ø + C m de d e ú + 4 J r u + w SC m q c q, (5.47)ûëyq& = q,(5.48)h& = u sin q - w cos q.(5.49)5.5. Линейные модели в пространстве состояний95Якобиан уравнений (5.45)—(5.49) дается соотношениями¶f прод.¶x прод.æ ¶u&çç ¶uç ¶w&ç ¶uç ¶q&=çç ¶uç ¶q&çç ¶uç ¶h&ç ¶uè¶f прод.¶u прод.¶u&¶w¶w&¶w¶q&¶u&¶q¶w&¶q¶q&¶u&¶q¶w&¶q¶q&¶w¶q&¶q¶q&¶q¶q&¶w¶h&¶w¶q¶h&¶q¶q¶h&¶qæ ¶u&çç ¶d eç ¶w&ç ¶d eç ¶q&=çç ¶d eç ¶q&ç ¶dç &eç ¶hç ¶dè e¶u& ö÷¶h ÷¶w& ÷¶h ÷¶q& ÷÷,¶h ÷¶q& ÷÷¶h ÷¶h& ÷¶h ÷ø¶u&¶d t¶w&¶d t¶q&¶d t¶q&¶d t¶h&ö÷÷÷÷÷÷.÷÷÷÷÷¶d t ÷øОбратите внимание на то, что-w-ww¶1 æ -w ö,=tan -1 æç ö÷ =÷=ç¶uè u ø 1 + w 2 è u 2 ø u 2 + w 2 V a2u2wuu¶1 æ1ö,=tan -1 æç ö÷ =ç ÷= 222wV a2¶wèu ø u + wèu ø 1+u2где использовано уравнение (2.8), и на тот факт, что v = 0.
Вычисляя производные, получим линеаризованные уравнения в пространстве состоянийæ u& ö æ X uç w& ÷ çç q& ÷ ç Z uç & ÷ =ç M uçq÷ ç 0ç h& ÷ ç sin q*è ø èXwZwMw0- cos q*XqZqMq10- g cos q*- g sin q*00u * cos q* + u * sin q*0 ö æ u ö æ X de÷ç0 ÷ ç w ÷ ç Z deçq ÷+´0 ÷ ç ÷ ç M de0 ÷ ç q ÷ çç 00 ÷ø è h ø è 0где соответствующие коэффициенты приведены в табл. 5.2.X dt0000ö÷÷ æç de÷ç÷ è dt÷øö÷, (5.50)÷ø96Глава 5. Линейные модели проектированияТаблица 5.2.
Коэффициенты модели продольных движений в пространстве состоянийПродольное движениеФормулаXurScC X q u* q* rS Проп.C Проп.u*rSw*C X au*rS[C X0 + C X a a* + C Xd e d*e ] +m2m4mV a*mXw- q* +rScC X q w* q*rSC X a u* rS Проп.C Проп.w*w*rS[C X0 + C X a a* + C Xd e d*e ] ++m4mV a*2mmXqrV a* SC X q c- w* +4mX derV a*2SC X d eX dtrS Проп.C Проп.k 2d*tm2mZuZwq* +u*rSC Z q cq*rSC Z a w*u*rS[C Z0 + C Z a a* + C Zd e d*e ] +m2m4mV a*rw* ScC Z q q*rSC Z a u*w*rS[C Z0 + C Z a a* + C Zd e d*e ] ++m2m4mV a*Zqu* +rV a* SC Z q c4mrV a*2SC Z d eZ de2mMuu*rScJy[C m0 + C ma a* + C md e d*e ] -rScC ma w*2Jy+rSc 2C mq q* u*4J y V a*MwrSc 2C mq q* w*rScC ma u*w*rSc[C m0 + C ma a* + C md e d*e ] ++4J y V a*Jy2JyMqrV a*2Sc 2C mqM darV a*2ScC md e4J y2JyУравнения для продольных движений часто выражают в зависимости от aвместо w.
Из уравнения (2.7) имеемw = V a sin a cos b = V a sin a,где в = 0. Линеаризуя в окрестностях б = б*, получимw = V a* cos a * a,что предполагает& =aV a*1w& .cos a *5.6. Упрощенные режимы97Можно поэтому записать уравнения в пространстве состояний в зависимости от a вместо w в видеXuX wV a* cos a *ææ u& ö ççaZu&÷ çZwç q& ÷ ç V * cos a *ç & ÷ =ç aM wV a* cos a *ç q ÷ ç Muç h& ÷00è ø ç sin q*-V a* cos q* cos a *èX deX dt öæ÷æu ö çZdeça÷ ç0 ÷ æ de ö÷ ç ÷.´ ç q ÷ + ç V a* cos a *ç q ÷ ç Md÷ çè dt ÷ø0eçh ÷ ç00 ÷è ø ç00 ÷øèXqZqV a* cos a *Mq10- g cos q*- g sin q*V a* cos a *00u * cos q* + w * sin q*0ö÷0÷÷´0÷÷0÷0ø(5.51)5.6.
Óïðîùåííûå ðåæèìûВ литературе по динамике и управлению летательных аппаратов определенонесколько динамических режимов разомкнутой системы летательных аппаратов. Они включают в себя короткопериодический режим, длиннопериодический режим движения, поперечный режим движения, режим неустойчивогодвижения по спирали и режим движения типа «голландский шаг».
В этомразделе будет дано краткое описание каждого из режимов и показано, какаппроксимировать собственные значения, соответствующие этим режимам.Короткопериодический режимСчитая постоянной высоту и постоянными входные сигналы контура регулирования дроссельной заслонки, а затем упростив модель в пространстве состояний для поперечных движений, используя для этого уравнение (5.51):Xuææ u& ö çZuça& ÷çç q& ÷ ç V a* cos a *çç & ÷÷ ç Muè qø ç0èX wV a* cos a *ZwM wV a*0cos aXqZqV a* cos a *Mq1- g cos q*- g sin q*V a* cos a *00X deæö÷ æu ö çZ de÷ ça÷ ç **ç÷ ç q ÷ + V a cos açMde÷ ç q÷÷è ø ç0çø0èö÷÷÷ de .
(5.52)÷÷÷øЕсли рассчитать собственные значения матрицы состояний, то обнаружим,что имеется быстрый, умеренный и медленный, слегка демпфированный режим. Быстрый режим называют короткопериодическим. Медленный, слегкадемпфированный режим называют длиннопериодическим режимом.Для короткопериодического режима предположим, что u постоянна (т.e.u = u& = 0).
Отсюда следует, что уравнения в пространстве состояний в (5.52)можно переписать:98Глава 5. Линейные модели проектирования& = Zw a +aZ deg sin q*q& q+de ,*****V a cos aV a cos aV a cos a *Zq&&q = M V * cos a * a + M q& ,w aq& Преобразование Лапласа этих уравнений даетгде подставили q = q.æçs - Zwçç -M wV a* cos a *è-g sin q*V a* cos a * V a* cos a *s 2 - MqsZqs+öZ deæ÷ æ a(s) ö ç=*ç÷V cos a *÷ q(s)ø çç a 0÷èèøö÷÷ de (s),÷øчто предполагаетæ a(s) ö =ç q(s) ÷èøæç s 2 - Mqsçç M V * cos a *è w aZqsV a*g sin q*V a* cos a *s - Zwcos a *-ö÷÷÷øZqsæg sin q*(s 2 - M q s)(s - Z w ) + M wV a* cos a * çç +**V a* cos a *è V a cos aZ deæç´ ç V a* cos a *ç0èö÷÷ø´ö÷÷ de (s).÷øЛинеаризуя в окрестности горизонтального полета (т.e. q* = 0), получимхарактеристическое уравнение в следующем виде:s(s2 + (Zw Mq) s + Mq Zw MwZq) = 0.Поэтому полюсы короткопериодического движения приблизительно равныl коротк.
=Zw + Mq2æ Zw + Mq± çç2è2ö÷÷ - M q Z w + M w Z q .øРежим фугоида& = 0), тогда б = б* и уравнение (5.52)Полагая, что б постоянен (т.e. a = aпринимает видXuæçæ u& ö çZuç0÷*çç q& ÷ V a cos a *çç & ÷÷ ç M uè qø ç0çè - sin q*X wV a* cos a *Zwcos a0-V a* cos q* cos a *X deæçZ deæu ö çç0÷*´ ç q ÷ + ç V a cos a *ç q ÷ ç M deè ø ç0ç0èM wV a*ö÷÷÷ de .÷÷÷øXqZqV a* cos a *Mq10- g cos q*- g sin q*V a* cos a *00u * cos q* + w * sin q*ö÷÷÷´÷÷÷ø995.6. Упрощенные режимыПреобразование Лапласа первых двух уравнений даетæs - X uçè -Z u-Z q s + g cos q* ö æ u (s) ö æ X d e ö=ç÷÷d .-Z q s + g sin q* ø çè q(s) ÷ø è Z d e ø eСнова предполагая, что q* = 0, получим характеристическое уравнениеæ Zu X q - X u Zqs2 +ççZqèögZ u÷s= 0.÷ZqøПолюса режима фугоида движения приблизительно задаются соотношениемl Полюса режима = фугоидаZu X q - X u Zq2Zqæ Zu X q - X u Zq± çç2Zqè2ögZ u÷ +.÷ZqøДвижение кренаЕсли игнорировать динамику изменения путевого угла и предполагать постоянным угол тангажа (т.e.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
