Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. знание однойвеличины изменяет распределение вероятностей другой), то распределениеρ12 уже не может быть записано в виде произведения, хотя оно и представимо в виде суммы (или интеграла) от нескольких таких произведений (i) (i)(i)(i)ρ12 (x1 , x2 ) =ρ1 (x1 ) · ρ2 (x2 )⇔ρ12 =ρ1 ⊗ ρ2 . (4.5)iiКогда такое распределение вероятностей эволюционирует со временем, то независимые в начальный момент времени переменные, если ониотносятся к взаимодействующим друг с другом подсистемам, как правило, становятся коррелированы, и распределение вероятностей (волноваяфункция), которое сначала записывалось в виде произведения (факторизовалось), уже не факторизуется. Это относится как к классическим, таки к квантовым системам.Таким образом, описание составных систем в классической и квантовой механике производится аналогично, если мы используем в обоих случаях вероятности (амплитуды вероятностей), однако в классической механике мы можем, хотя бы теоретически, обойтись без вероятностей, задаваяточные значения координат и импульсов, а для квантовой механики задание волновой функции (т.
е. амплитуд всевозможных взаимоисключающихисходов) является наиболее полным возможным описанием системы.4.1.2. Волновая функция как вектор состоянияВ разных разделах математики в слово «вектор» может вкладыватьсяразличный смысл, но обычно векторы — элементы некоторого линейного70ГЛАВА 4пространства, т. е. объекты, для которых определено сложение (ψ + φ, т. е.суперпозиция состояний) и умножение на число (cψ). Очевидно, что дляволновых функций эти операции определены, причём поскольку сами волновые функции комплекснозначны, то естественно считать, что пространство волновых функций — комплексное векторное пространство.Принято считать, что волновая функцияопределена с точностью до произвольногоненулевого комплексного множителя, т.
е. волновые функции ψ и cψ (где c = 0 — произвольная комплексная константа) описывают одинаковые состояния квантовой системы.Пространство волновых функций мы будем называть пространством чистых состояний системы, или просто пространством состояний. Сама волновая функция будет называться вектором состояния, или просто состоянием (точнее чистым состоянием, см.сноску 2).Значения волновой функции при разныхРис. 4.1.
Давид Гильберт значениях аргументов при этом можно рас1886 г. (1862–1943). Wсматривать как комплексные значения компонент вектора из пространства H.Если рассматривать вектор как набор компонент, то можно сказать, чтовектор определяет функцию, которая по номеру компоненты вектора возвращает значение этой компоненты. Для привычных нам конечномерныхвекторов компоненты нумеруются дискретным числом, которое пробегает конечный набор допустимых значений, а для волновых функций числокомпонент как правило бесконечно, причём переменная, нумерующая компоненты (аргумент волновой функции), может быть как дискретной, таки непрерывной (а также непрерывной на некоторых интервалах и дискретной на других).На пространстве волновых функций нам нужно скалярное произведение, поскольку для единичных векторов оно имеет хороший физическийсмысл амплитуды вероятности (3.13) при измерении.Для обычных векторов в комплексном n-мерном пространстве у математиков принято определять скалярное произведение следующим образом:(a, b) =nk=1ak b∗k .(4.6)4.1.
П РОСТРАНСТВОВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ71Компоненты одного из сомножителей комплексно сопрягаются для того,чтобы скалярный квадрат любого ненулевого вектора был вещественнымположительным числомnn 2(a, a) =Re ak + Im2 ak .(4.7)ak a∗k =k=1k=1Эту формулу легко обобщить на случай, когда компоненты векторанумеруются неограниченной дискретной переменной, а для непрерывнойпеременной мы заменяем сумму на интегралφ|ψ = φ∗ (x) ψ(x) dx,илиφ|ψ =φ∗ (k) ψ(k).(4.8)kОбратите внимание! У физиков принято комплексно сопрягать компоненты первого аргумента скалярного произведения, тогда как у математиковсопрягают компоненты второго аргумента. Но физики для скалярного произведения волновых функций используют угловые скобки вместо круглыхи черту вместо запятой, что позволяет сразу различать, какой из традицийпридерживается тот или иной автор.В этих выражениях можно легко узнать скалярные произведения в пространствах L2 (пространство квадратично интегрируемых функций) и l2(пространство квадратично суммируемых последовательностей).
Эти пространства мы обычно и берём в качестве пространства волновых функций H. В некоторых задачах могут возникать и конечномерные пространства состояний Cn .(*) Линейные полные пространства со скалярным произведением известны в математике как гильбертовы пространства. Причём все бесконечномерные сепарабельные5 гильбертовы пространства изоморфны, т. е.одинаковы с точностью до сохраняющей скалярное произведение (унитарной) замены координат. В частности, бесконечномерные пространства L2и l2 отличаются друг от друга только выбором базиса.Если переменная x пробегает непрерывные значения из области Uи дискретные из множества W , тоφ|ψ = φ∗ (x) ψ(x) dx +φ∗ (k) ψ(k).(4.9)Uk∈WЧерез скалярный квадрат вектора определяется норма (длина вектора):ψ2 = ψ|ψ.5 Сепарабельноепространство содержит всюду плотное счётное подмножество.72ГЛАВА 44.2. Матрицы (л)Несколько прискорбно, что теорию линейных алгебр снова и сноваприходится излагать с самого начала, поскольку фундаментальныепонятия этой ветви математики широко используются в математикеи физике и их знание должно быть так же широко распространено, какзнание элементов дифференциального исчисления.Г.
Вейль, «Теория групп и квантовая механика», «Введение»Коротко напомним некоторые понятия и факты из линейной алгебры,обобщение которых понадобится нам далее.Матрица — прямоугольная таблица из чисел, элементы которой нумеруются двумя индексами как Aij .
Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы.Столбец (матрица-столбец) — матрица, состоящая из одного столбца,элементы которой нумеруются одним индексом как Ai• . Первый индекснумерует строки, а отсутствующий второй индекс мы заменили точкой «•».Строка (матрица-строка) — матрица, состоящая из одной строки, элементы которой нумеруются одним индексом как A•i . Отсутствующий первый индекс мы заменили точкой «•», а второй индекс нумерует столбцы.Умножение строки на столбец той же длины даёт число:ua =u•i ai• .iУмножение столбца на строку даёт матрицу — таблицу умноженияэлементов строки на элементы столбца:(au)ij = ai• u•j .Произведение матриц даёт матрицу — таблицу умножения строк первой матрицы на столбцы второй:(AB)ik =Aij Bjk .jУмножение определяется для такой пары матриц, что число столбцов первой совпадает с числом строк второй.Умножение матриц ассоциативно, т.
е. скобки в произведении можноставить произвольным образом:((AB)C)il =(Aij Bjk )Ckl =Aij Bjk Ckl =kjjk4.2. М АТРИЦЫ ( Л )=jAij73(Bjk Ckl ) = (A(BC))il .kОднако, в общем случае, умножение матриц некоммутативно∃A, B :AB = BA,более того, произведение двух матриц в обратном порядке может быть вовсе не определено, так квадратную матрицу можно умножить на матрицустолбец, но не наоборот.След матрицы — сумма диагональных элементов, определяется толькодля квадратных матриц, у которых число строк и столбцов совпадает:Aii .tr A =iКвадратная матрица (в квантовой механике — оператор) может действовать (умножением) слева на столбец и превращать его в другой столбец,той же высоты, линейно зависящий от исходного:(Aa)i• =Aij aj• ,jA(αa + βb) = α(Aa) + β(Ab)(4.10)(здесь α и β — числа).Квадратная матрица может действовать (умножением) справа на строку и превращать её в другую строку, той же высоты, линейно зависящуюот исходной:(uA)•j =u•i Aij ,i(αu + βw)A = α(uA) + β(wA).(4.11)Если заключить квадратную матрицу A между строкой u и столбцом a, то получится число, соответствующее произведению строки u настолбец Aa, или произведению строки uA на столбец a:uAa = u(Aa) = (uA)a.Если строка и столбец имеют следующие компоненты:u = (0, .
. . , 0, 1, 0, . . . 0), ia = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0)T , j(4.12)74ГЛАВА 4т. е. если мы взяли i-ю базисную строку и j-й базисный столбец, то произведение даёт соответствующий матричный элемент матрицы A:uAa = Aij .(4.13)Эрмитово сопряжение:6 (A† )ij = A∗ji .Эрмитова матрица: A† = A.1, i = j,Единичная матрица: 1̂ij = δij =0, i = j.Унитарная матрица: U † U = 1̂.Умножение строки a† на столбец b даёт число, в частности, такимобразом можно определить скалярное произведение столбца на столбец:a∗i• bi• .(4.14)a|b = a† b =iУмножение столбца b на строку a† даёт матрицу:(ba† )ij = bi• a∗j• .(4.15)Собственный вектор: a матрицы (или оператора) A удовлетворяетусловиюAa = αa,где число α ∈ C называется собственным числом.Для эрмитовой матрицы (или эрмитового оператора) все собственныечисла вещественны.Для эрмитовой матрицы (или эрмитового оператора) можно построитьбазис, состоящий из собственных векторов данного оператора.Если для двух эрмитовых (или двух унитарных, или одной эрмитовойи одной унитарной) матриц (операторов) A и B коммутатор равен нулю:[A, B] = AB − BA = 0,тогда и только тогда существует базис, элементы которого являются собственными векторами для матриц (операторов) A и B одновременно.6 Мы определили эрмитово сопряжение, но специально не стали определять комплексное сопряжение матрицы (A∗ )ij = A∗ij и транспонирование (AT )ij = Aji .
Дело в том,что по отдельности нам эти операции не понадобятся. Более того, операции транспонирования и комплексного сопряжения матриц зависят от выбора базиса при хороших (унитарных=сохраняющих скалярное произведение) преобразованиях координат. Такие операции нарушают независимость формул от базиса и они нам не нужны!4.3. Д ИРАКОВСКИЕОБОЗНАЧЕНИЯ75Для всякой матрицы (оператора) можно определить вещественную (эрмитову) часть и мнимую (антиэрмитову) часть:A + A†A − A†,ImA =,22i(ImA)† = ImA,(ReA)† = ReA,A = ReA + i ImA.ReA =Поскольку для эрмитовой матрицы (оператора) все собственные числа вещественны, для произвольной матрицы (оператора) собственный вектор Aдолжен быть собственным одновременно для ReA и ImA:Aa = αa⇔(ReA)a = (Reα)a,(ImA)a = (Imα)a.Матрицы (операторы) ReA и ImA эрмитовы, так что для произвольной матрицы (оператора) A базис собственных векторов существует тогда и толькотогда, когда[ReA, ImA] = 0 ⇔ [A, A† ] = 0.Матрицы (операторы), удовлетворяющие этому условию, называются нормальными.
В частности, это условие выполняется для произвольной унитарной матрицы (оператора), поскольку из U † = U −1 следует, что [U, U † ] == U U −1 − U −1 U = 0.Мы можем составить следующую классификацию матриц (операторов), которые могут быть диагонализованы при помощи унитарных преобразований базиса (см. рис. 4.2):ТипСобственные числа ∈ Связь с эрмитовыминормальныеCÂ + iB̂ при [Â, B̂] = 0эрмитовыеRÂiRiB̂антиэрмитовыеунитарныеeiR = {eiϕ |ϕ ∈ R}eiÂЭрмитовы операторы в квантовой механике соответствуют наблюдаемым величинам (или, попросту, наблюдаемым).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
