Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Соединять между собой можно только бра и кет.• Каждый индекс/проводок имеет свою область определения. Для соединяемых проводков области определения должны совпадать.• В некоторых случаях изоморфные области, определения относящиесяк разным степеням свободы или разным наблюдаемым считаются различными, например, области определения координат x и y изоморфны R, но нам удобно считать, что это разные экземпляры вещественной оси, и запретить соединять соответствующие проводки/индексы.Тем более естественно считать различными области определения координатной и импульсной переменных.• В некоторых случаях удобно проводки/индексы объединять в многожильные кабели/мультииндексы. Например, если у нас имеется частица со спином, то может быть удобно объединить все три координатычастицы и проекцию спина в один кабель/мультииндекс r = (x, y, z, σ).• Иногда линии (или выходы узлов) полезно подписывать соответствующими буквенными индексами, чтобы не перепутать порядок индексови упростить перевод формул в другие обозначения.Таким образом, в диаграммных обозначениях формулы представляются в виде диаграмм.
Если диаграмма состоит из нескольких несвязанныхкусков, то подразумевается, что они умножаются друг на друга.Диаграмма, в свою очередь, может рассматриваться как узел, несущийвсе внешние (оставшиеся не соединёнными) линии/проводки. Если у диаграммы нет внешних линий, то это число.Диаграммы с одинаковым набором внешних линий образуют линейноепространство (их можно умножать на комплексные числа и складывать).4.4.2.
Тензорные обозначения в квантовой механике*Если вы собираете сложную электронную схему без печатной платы,просто паяя проводки, торчащие из многочисленных узлов, то вам может4.4. У МНОЖЕНИЕСПРАВА , СЛЕВА ,. . . СВЕРХУ,СНИЗУ И НАИСКОСОК **83быть удобнее вместо схемы, изображающей ход проводков, просто пометить соответствующие проводки одинаковыми метками.Этому подходу соответствуют тензорные обозначения: узлы (буквы)несут верхние кет-индексы и нижние бра-индексы. Если в одном членеверхний индекс совпал с нижним, то соответствующие проводки/индексысоединяются/приравниваются и интегрируются или суммируются. Знаксуммы или интеграла обычно при этом опускается.Индекс, который встречается в каждом члене формулы один раз, —свободный индекс.
Индекс, который встречается в каждом члене формулыдва раза (один раз сверху и один раз снизу), — немой индекс.В каждом члене формулы должен быть одинаковый набор свободныхиндексов. Если одинаковый индекс встретился в одном члене формулы двараза сверху или два раза снизу, то такая формула является бессмысленной.Чтобы случайно не приравнять индексы, имеющие разные областиопределения, их удобно обозначать буквами из разных алфавитов (или разных участков одного алфавита).Тензорные обозначения в квантовой механике часто применяются в виде спинорных обозначений, когда объекты несут только спиновые индексы,каждый из которых пробегает два значения.4.4.3.
Дираковские обозначения для сложных систем*Дираковские обозначения соответствуют следующему правилу соединения проводков/индексов: сперва выкладываются в определённом порядкевсе бра-индексы, потом в обратном порядке выкладываются соответствующие кет-индексы, и начиная от середины их попарно соединяют. Такихсерий бра-кет в одном члене может быть несколько. Например, если мысчитаем матричный элемент для волновых функций с тремя индексамиаргументами, для случая, когда кет-вектор с тремя индексами представленкак произведение трёх кет-векторов с одном индексом:ϕ||ψ |ψ |ψ .Âϕijk Akjiqrs(4.18)ψ s ψ r ψ qЕсли оператор записан в виде тензорного произведения, то это предполагает упорядочение индексов, при котором сперва выписываются все кетиндексы, а потом все бра-индексы обоих операторов:Â ⊗ B̂,(Â⊗B̂)ik jl =Ai j B k l(Â ⊗ B̂) |ψ|ϕ = ( Â|ψ )(B̂|ϕ).(Â⊗B̂)ik jl ψ j ϕlAi j ψ jB k l ϕl84ГЛАВА 4При использовании дираковских обозначений для многочастичныхсистем надо внимательно следить за тем, сколько и каких индексов несёткаждый объект (волновая функция, оператор), а также за тем, какой порядокиндексов подразумевается.
Например, если мы отбросим в формуле (4.18)два кет-множителя из трёх, то получившаяся формула будет по-прежнемувнешне напоминать матричный элемент (число), хотя на самом деле это выражение несёт два бра-индекса, т. е. является двухиндексным бра-вектором:ϕ|Â|ψ .ϕijk Akji qrs ψ s4.4.4. Сравнение разных обозначений*• ψ i — кет-вектор |ψ;• ϕi — бра-вектор ϕ|;• ϕi ψ i = ϕ|ψ — скалярное произведение бра на кет;• Aij — оператор Â;• Aij ψ j — оператор действует на кет-вектор: Â|ψ;• Aij ϕi — оператор действует на бра-вектор: ϕ|Â;4.4. У МНОЖЕНИЕСПРАВА , СЛЕВА ,.
. . СВЕРХУ,СНИЗУ И НАИСКОСОК **85• Aij ϕi ψ j = ϕ|Â|ψ — матричный элемент;• Aii = tr  — след оператора Â;• Aij Bkj Cik = tr(ÂB̂ Ĉ) — след произведения операторов ÂB̂ Ĉ;• ψ ij — кет-вектор |ψ =• ϕij — бра-вектор ϕ| =α|ξα |χα с двумя индексами;α ζα |ηα |с двумя индексами;• Aij ψ jk — оператор  действует на первый индекс (например, на первуюстепень свободы) кет-вектора |ψ:  ⊗ 1̂|ψ = α (Â|ξα )|χα ;• Aik ψ jk — оператор  действует на второй индекс (например, на вторуюстепень свободы) кет-вектора |ψ: 1̂ ⊗ Â|ψ = α |ξα (Â|χα );86ГЛАВА 4• Aijkl — оператор Â, действующий на волновых функциях с двумя индексами;Akl• Aij— оператор действует на кет-вектор: Â|ψ (если индексы i, jkl ψи k, l попарно объединить в мультииндексы I = (i, j) и K = (k, l), тополучится AIK ψ K );• Aijil — частичный след оператора по первой паре индексов tr1 Â;• Aijkj — частичный след оператора по второй паре индексов tr2 Â.4.5. Смысл скалярного произведения4.5.1.
Нормировка волновых функций на единицуЕсли мы хотим, чтобы суммарная вероятность всех возможных исходов какого-то измерения была равна единице, то это можно записать в виденормировочного условия (нормировки) для волновой функции:ψ|ψ = 1.(4.19)Если расписать скалярный квадрат через интеграл и сумму согласно (4.9),то мы получим интеграл от плотности вероятности ψ ∗ (x) ψ(x) для непрерывного спектра (x ∈ U ) и сумму вероятностей ψ ∗ (k) ψ(k) для дискретногоспектра (k ∈ W )ψ ∗ (k) ψ(k) = 1.(4.20)ψ|ψ = ψ ∗ (x) ψ(x) dx +Uk∈W4.5. С МЫСЛСКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ87Здесь спектр физической величины — набор значений, которые эта величина может принимать.Условие (4.19) называется нормировкой на единицу (или условием нормировки на единицу).
Поскольку волновая функция определена с точностьюдо числового множителя, на единицу может быть отнормирована любаяволновая функция с конечным скалярным квадратом:|ψ|ψнорм. = .ψ|ψУмножение на фазовый множитель eiα (α ∈ R, |eiα | = 1) не нарушаетнормировку волновой функции.Нормировка на единицу волновой функции соответствует условиюнормировки на единицу для распределения вероятностей:(x) dx +p(k) = 1.(4.21)Uk∈WОднако вспомним, что не всякое распределение вероятностей можетбыть нормировано на единицу. Иногда бывает полезно рассмотреть распределение вероятностей, задающееся неинтегрируемой (несуммируемой)функцией.
В этом случае мы можем говорить об относительных вероятностях попадания случайной величины в тот или иной интервал. Например,если мы имеем равномерное распределение вероятностей на бесконечнойпрямой, то вероятности попадания точки в тот или иной интервал пропорционально его длине, но такое распределение не нормируемо на единицу.
Такие распределения не реализуемы на эксперименте, но являютсяполезными в теории. В квантовой механике равномерное распределение покоординате естественным образом возникает при рассмотрении состоянияс определённым значением импульса p — волны де Бройляiprψp (r) = e h̄ .(4.22)Ясно, что такая волновая функция не реализуема физически, т.
к. частица должна быть равномерно «размазана» по бесконечному объёму. Этойневозможности и соответствует ненормируемость такой волновой функции(точнее — ненормируемость на единицу).4.5.2. Физический смысл скалярного квадрата. Нормировкана вероятностьТаким образом, мы можем считать, что физический смысл скалярногоквадрата волновой функции — полная вероятность. Обычно мы нормиру-88ГЛАВА 4ем волновую функцию на единицу, но, рассматривая волновую функциюпосле измерения, может быть удобно нормировать волновую функцию навероятность рассматриваемого исхода.Если до измерения система находилась в состоянии |ψ, в результате измерения некоторой дискретной величины k система попадает в одноиз ортогональных состояний |φk . Причём, мы можем отнормировать этисостояния так, что|φk ,(4.23)|ψ =kφk |φk = pk δkk ,φk |φk =pk = 1,ψ|ψ =k,k (4.24)(4.25)kгде pk — вероятность исхода номер k.7Волновые функции |φk получаются из |ψ с помощью соответствующего данной измеряемой величины набора проекторов P̂k :|φk = P̂k |ψ,(4.26)P̂k P̂k = P̂k δkk ,P̂k = 1̂.(4.27)(4.28)kПроекторы P̂k отображают векторы состояния на одномерное подпространство, если для данного k существует только одно линейнонезависимое собственное состояние (невырожденное состояние).
В общемслучае размерность области значений оператора P̂k может быть произвольной, в том числе бесконечной.Мы могли бы попытаться вообще запретить использование волновыхфункций, которые не нормированы на единицу, но это было бы не удобно, поскольку множество единичных векторов не образует линейного пространства. Вместо этого мы считаем, что все волновые функции, отличающиеся друг от друга на числовой множитель, описывают одно и то же физическое состояние. Это позволяет отнормировать на единицу любое сосeiα |ψтояние с конечным скалярным квадратом, заменив |ψ на √, α ∈ R,ψ|ψ7 Напоминаем,что δkk =1, k = k ,— символ Кронекера.0, k = k4.5. С МЫСЛСКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ89eiα , — произвольный фазовый множитель. Таким образом даже нормировкаоставляет возможность описывать одно физическое состояние разными (получаемыми друг из друга умножением на фазовый множитель) волновымифункциями.4.5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
