Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Можно сказать, что операторы — этои есть матрицы. Не случайно, например, описывающий смешанные квантовые состояния оператор называется матрицей плотности.Здесь мы постараемся сформулировать основные свойства операторовв таком виде, чтобы описание не зависело от того, конечна или бесконечнаразмерность пространства волновых функций.Линейный оператор действует на вектор состояния и превращает егов другой вектор состояния, причём полученное состояние линейно зависитот исходного12 :Â : D → V,D, V ⊂ H,Âψ = φ,Â(αψ) = α(Âψ),ψ, φ ∈ H — чистые состояния,α ∈ C,Â(ψ + φ) = Âψ + Âφ.Операторы можно задавать различными способами. Например, оператор частной производной по координате x, если волновая функция заданапросто, как функция от координат, можно задать как дифференциальный∂оператор ∂x: ψ → ∂ψ∂x .
Другие операторы может быть удобнее задать черезих действие на все векторы некоторого базиса, или в виде матрицы.4.7.1. Ядро оператора*По аналогии с обычной формулой умножения матрицы на столбец(Aa)m = n Amn an мы можем представить действие оператора Â : D → V12 Область определения D оператора Â может не совпадать с пространством H. Причём такое несовпадение имеет место для очень многих физически осмысленных операторов. Обычнофизики не обращают внимание на такие «мелочи», однако иногда такие «чисто математические» тонкости имеют интересный физический смысл.100ГЛАВА 4на кет-вектор следующим образом:Âψ(x) =Axy ψ(y) +y∈WAxy ψ(y) dy.(4.41)y∈UЗдесь W — дискретный спектр, по которому берётся сумма, как для обычных матриц, а U — непрерывный спектр, по которому берётся интеграл.Функция Axy — обобщённая функция от x и y.
Если волновая функция —функция от одного набора переменных x, то ядро оператора — функцияот двух наборов переменных (x, y). Её можно представить как линейныйфункционал на пространстве D × H∗ , который ставит в соответствие объекту вида |ψφ| ∈ D × H∗ число φ|Â|ψ. В следующей формуле, чтобыне загромождать запись, мы ограничились случаем, когда базис содержитвекторы только непрерывного спектра:A : D × H∗ → C,ψ ∈ D,φ ∈ H = L2 (U ), φ|Â|ψ =φ∗ (x)Axy ψ(y) dx dy. (4.42)A : |ψφ| = ψ × φ† →x,y∈UИнтеграл здесь следует понимать как линейный функционал от ψ × φ† .(Сравните с разделом 4.6.3 «Замена базиса».)4.7.2.
Матричный элемент оператораЯдро оператора может быть записано через действие оператора на базисные векторы(4.43)Axy = φx |Â|φy .В этом можно легко убедиться, подставив в формулу (4.41) компонентыбазисных волновых функций (4.31), для дискретного спектра, и (4.34), длянепрерывного.Аналогичную формулу (4.13) мы уже писали для элемента обычнойматрицы.Формулы (4.42) и (4.43) позволяют записывать матричные элементы по одному базису через компоненты операторов/матриц и состояний/векторов в другом базисе.В соответствии со сложившейся в квантовой механике традицией мыбудем называть матричным элементом также значение билинейной формы, соответствующей данному оператору на паре произвольных состояний,4.7. О ПЕРАТОРЫ101и будем использовать соответствующие обозначения:Aφψ = φ|Â|ψ.(4.44)Если один или оба состояния в формуле (4.44) относятся к непрерывномуспектру, то понимать данную формулу следует в соответствии с разделами 4.6.2 «Природа состояний непрерывного спектра*», 4.7.1 «Ядро оператора*».4.7.3.
Базис собственных состоянийПодобно эрмитовой (унитарной) матрице эрмитов (унитарный) оператор  можно диагонализовать: подобрать базис собственных состояний|φxy (x — собственное число, y нумерует векторы с одинаковыми собственными числами):⎞⎞⎛⎛ ⎜⎟+ dx⎠⎝+dy ⎠ ψ(x, y)|φxy , Â|φxy = x|φxy .|ψ = ⎝x∈WUy∈Wy (x)Uy (x)(4.45)В таком представлении действие оператора можно представить какÂψ(x, y) = x ψ(x, y).Таком образом, зная спектр (набор собственных чисел) эрмитового(унитарного) оператора и базис собственных состояний этого оператора,можно описать действие этого оператора на произвольное состояние.4.7.4.
Векторы и их компоненты**Внимательный читатель может обратить внимание на некоторую двусмысленность введённых нами обозначений. Если, например, мы пишемразложение вектора по базису собственных состояний|ψ =ψ(k)|φk , Â|φk = k|φk ,kÂ|ψ =ψ(k)|φk ,kто ψ(k) задаёт компоненту номер k вектора |ψ.102ГЛАВА 4А если мы пишемÂψ(k) = k ψ(k),то тогда ψ(k) задаёт уже не компоненту вектора, а весь вектор, заданныйкак функция переменной, обозначенной буквой k.Формально последнюю формулу было бы более правильно записатьтак:вектор ( ψ )(k) = k ψ(k),векторкомпонентано обычно мы не будем столь педантичны.Как правило, определить, что именно обозначает ψ(k) или другое подобное, обозначение можно исходя из контекста. В частности, если по переменной k берётся сумма или интеграл, то имеется в виду заведомо компонента вектора.Впрочем, подобная путаница между обозначением функции и её значения в некоторой точке — обычное дело в разных областях физики и математики.4.7.5.
Среднее от оператораДиагональные матричные элементы от эрмитовых операторов играютособую роль: они задают средние значения соответствующих наблюдаемых(т. е. наблюдаемых величин) по выбранному состоянию:Âψ = ψн |Â|ψн =ψ|Â|ψ,ψ|ψ|ψ|ψн = .ψ|ψ(4.46)Это соотношение легко выводится, если записать вектор |ψн в базисесобственных функций оператора Â (далее для простоты формулы пишутсядля невырожденного спектра — на каждое собственное число приходитсяровно один базисный вектор). С учётом того, что состояния дискретногоспектра нормированы на δ-символ, а состояния непрерывного спектра — наδ-функциюφk |φl = δkl ,k, l ∈ W, φx |φy = δ(x − y),φk |φx = 0, x ∈ U, k ∈ W,x, y ∈ U,4.7. О ПЕРАТОРЫ103получаем среднее от x ∈ U ∪ W с весом (вероятностью для дискретногоспектра и плотностью вероятности для непрерывного) |ψ(x)|2 :⎛⎞ + dx⎠ x · |ψ(x)|2 .ψн |Â|ψн = ⎝x∈WU4.7.6.
Разложение оператора по базисуЕсли у нас есть базис в пространстве состояний, то мы можем ввестибазис в пространстве операторов H × H∗ , состоящий из операторов вида|φx φy |.Произведение кет-вектора на бра-вектор следует понимать в смысле (4.16),(4.17).Теперь матричный элемент оператора оказывается коэффициентом разложения оператора по базису. Для базиса, содержащего только векторынепрерывного спектра, можно записать: =|φx Axy φy | dx dy.x,y∈UЕсли базис содержит и непрерывный и дискретный спектры, то получаетсяболее громоздкая формула =|φx Axy φy | dx dy +|φx Axy φy | +x,y∈Wx,y∈U+|φx Axy φy | dx +x∈U y∈W |φx Axy φy | dy,x∈W y∈Uкоторую можно написать более коротко следующим образом:⎛⎞⎛⎞ = ⎝+dx⎠ ⎝+dy ⎠ |φx Axy φy |.x∈Wy∈Wx∈U(4.47)y∈UРазложение единичного оператора по произвольному ортонормированномубазису можно записать так:⎛⎞1̂ = ⎝+dx⎠ |φx φx |.(4.48)x∈Wx∈U104ГЛАВА 44.7.7. Области определения операторов в бесконечномерии*Сколь велико различие между конечномерными и бесконечномерными пространствами и матрицами/операторами, действующими на них? Напервый взгляд различие сводится к замене диапазона, который пробегает индекс при суммировании.
Если диапазон изменения индекса содержитнепрерывные куски, то по этим кускам вместо суммирования надо интегрировать. И это всё? Нет, не всё! Когда мы считаем скалярное произведение или скалярный квадрат, то сумма конечного числа членов определенавсегда. При вычислении бесконечной суммы (ряда) или интеграла выражение может оказаться расходящимся. Конечно, мы оставляем в гильбертовом пространстве H только такие векторы, квадрат которых определён.Это гарантирует что скалярное произведение определено для любой парывекторов:φ|ψ = 1 ψ + φ2 − ψ − φ2 + iψ + iφ2 − iψ − iφ2 .4Такое определение скалярного произведения через норму называют процедурой поляризации13 .Однако действие некоторых операторов может выводить некоторыевекторы из гильбертова пространства. Например, возможно, что функцияквадратично интегрируемаψ2 = ψ|ψ = |ψ(x)|2 dx < ∞, ⇒ ψ ∈ H,Rно под действием оператора x̂ (после умножения на x) интеграл уже расходитсяx̂ψ2 = x̂ψ|x̂ψ = x2 |ψ(x)|2 dx → ∞, ⇒ x̂ψ ∈ H.RВ этом случае результат действия оператора на вектор x̂|ψ не определёнв пространстве H.
Таким образом, оказывается, что область определения13 Чтобы процедура поляризации определяла скалярное произведение через норму, надо,чтобы норма удовлетворяла правилу параллелограммаψ + φ2 + ψ − φ2 = 2ψ2 + 2φ2 .В этой формуле легко узнать геометрическое тождество для обычной двумерной плоскости,натянутой на векторы ψ и φ.4.7. О ПЕРАТОРЫ105и область значения какого-либо оператора могут не совпадать с пространством чистых состояний H. Мы иногда можем формально записать компоненты такого неопределённого вектора, но такой квадратично неинтегрируемый вектор не только не попадает в пространство H, но и не имеетфизического смысла.Часто ли такое случается с физически осмысленными операторами?Очень часто. Всегда, когда спектр оператора не ограничен, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
