Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Квантовая механика замкнутой системыЭволюция замкнутой системы в квантовой механике (2.3.1 «Когда наблюдатель отвернулся . . . ») — самая простая для понимания часть теории.Здесь нет никаких непонятностей и вероятностей: эволюция системы одинаково хорошо предсказуема как вперёд, так и назад по времени.Эволюция замкнутой системы — вращение пространства состояний.В отличие от привычного нам двумерного или трёхмерного вращения, вращение пространства состояний (которое, как правило, бесконечномерно)может быть задано как поворот в плоскости только для бесконечномалыхвремён (на этом основана 7.4.2 «Теорема Халфина»). В общем случае (длянезависящего от времени гамильтониана) мы можем представить наше пространство состояний как сумму одномерных комплексных (т.
е. двумерныхвещественных) подпространств и в каждом таком пространстве эволюциябудет описываться как обычное вращение в плоскости с определённой угловой скоростью.Эволюция замкнутой системы может рассматриваться как симметрия — сдвиг по времени, порождаемый оператором энергии (гамильтонианом). Далее в главе 11 «Симметрии-1 (теорема Нётер)» мы проделаем похожие выкладки для сдвига по координате и оператора импульса.5.1.1. Унитарная эволюция и сохранение вероятностиКогда квантовая система свободно эволюционирует, не подвергаясьвнешним воздействиям, в момент времени t1 её состояние (волновая функция) ψ(t1 ) должно выражаться через состояние ψ(t0 ) в предшествующиймомент времени t0 .
При этом суммарная вероятность должна сохраняться,т. е., вспоминая смысл скалярного квадрата волновой функции,ψ(t0 )|ψ(t0 ) = ψ(t1 )|ψ(t1 ) = 1.(5.1)126ГЛАВА 5Предположим, что для свободной эволюции квантовой системы выполняется принцип суперпозиции, т. е. если χ(t0 ) = αψ(t0 ) + βϕ(t0 ), тоχ(t1 ) = αψ(t1 ) + βϕ(t1 ) с теми же коэффициентами α и β. Это означает,что волновая функция, описывающая систему в момент времени t1 , получается из волновой функции, описывающей систему в момент времени t0 ,с помощью некоторого линейного оператора Û (t1 , t0 ), называемого оператором эволюции:ψ(t1 ) = Û (t1 , t0 )ψ(t0 ),ϕ(t1 ) = Û (t1 , t0 )ϕ(t0 )и т. д.Операторы эволюции должны образовывать семейство, удовлетворяющееследующим условиям:Û (t0 , t0 ) = 1̂,Û (t2 , t1 )Û (t1 , t0 ) = Û (t2 , t0 ),t 2 t1 t0 .Условие (5.1) даётψ(t1 )|ψ(t1 ) = ψ(t0 )|Û † (t1 , t0 )Û (t1 , t0 )|ψ(t0 ) = 1.(5.2)Поскольку (5.2) должно выполняться для всякого состояния ψ(t0 ), это может быть записано как условие на оператор эволюцииÛ † (t1 , t0 )Û (t1 , t0 ) = 1̂.(5.3)Условие (5.3) очень похоже на условие унитарности, но это ещё не оно.Это условие необходимо для унитарности, но достаточно только в конечномерном случае1 .Чтобы получить для оператора эволюции унитарность для бесконечномерного пространства состояний, можно добавить одно из следующихдополнительных условий:1 В бесконечномерном случае легко построить оператор Â, для которого †  = 1̂, но† = 1̂.
Пусть состояния ψn , n = 0, 1, 2, . . . , образуют базис в пространстве состояний.Определим оператор  условием Â|ψn = |ψn+1 . Базисные матричные элементы оператора имеют вид Am,n = ψm |Â|ψn = δm,n+1 . Ненулевые матричные элементы оператора† получаются комплексным сопряжением и транспонированием: A†n,m = ψn |† |ψm == δn+1,m = A∗m,n . Это позволяет записать действие оператора † на базисные векторы:† |ψn = |ψn−1 , n = 1, 2, . . . , и † |ψ0 = 0. Действуя операторами †  и † набазисные векторы, получаем † Â|ψn = |ψn , как и полагается единичному оператору. Но† |ψn = |ψn только для n = 0, тогда как † ψ0 = 0, т.
е. † = 1̂ − |ψ0 ψ0 |.5.1. К ВАНТОВАЯМЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ127• Просто потребовать унитарности операторов Û (t1 , t0 ). Это условиесамое сильное, даже избыточное, оно предполагает одновременноÛ † Û = 1̂ и Û Û † = 1̂. Но первое из этих условий уже было предположено ранее.• Потребовать дополнительно Û Û † = 1̂.• Потребовать существования обратного оператора Û −1 .
Тогда из ранеевыведенного условия Û † Û = 1̂ получаем Û −1 = Û † .• Потребовать, чтобы любое конечное состояние в момент времени t1могло быть получено с помощью оператора Û (t1 , t0 ) из какого-то начального состояния в момент времени t0 (на самом деле это предыдущее условие, сформулированное другими словами).• Потребовать, чтобы временная эволюция квантовой системы была обратима по времени.Таким образом, мы можем сказать, что унитарность свободной эволюции квантовой системы следует из трёх фундаментальных положенийквантовой теории: линейность, сохранение вероятности, обратимостьвремени. Унитарная эволюция при таком подходе оказывается более фундаментальным положением, чем уравнение Шрёдингера.Обеспечив унитарность оператора эволюции при помощи одного извышеперечисленных условий, мы можем отказаться от условия t1 t0 и наравных основаниях рассматривать эволюцию вперёд и назад по времени.ТеперьÛ (t0 , t1 ) = Û −1 (t1 , t0 ) = Û † (t1 , t0 ),а условиеÛ (t2 , t1 )Û (t1 , t0 ) = Û (t2 , t0 )выполняется для любых моментов времени t0 , t1 , t2 .Для автономных систем, т.
е. для систем, поведение которых не зависитот времени явно, мы можем произвольно сдвигать начальный и конечныймоменты времени на одинаковую величину, т. е. оператор эволюции зависиттолько от разности времён:Û (t1 , t0 ) = Ût1 −t0 .Для таких систем операторы эволюции образуют однопараметрическуюгруппу с параметром времени t. Для этой группы умножение/обращение/единица для операторов соответствуют сложению/изменению128ГЛАВА 5знака/нулю параметра:Ût1 Ût2 = Ût1 +t2 ,Ût−1(5.4)= Û−t ,(5.5)Û0 = 1̂.(5.6)Для такой однопараметрической группы операторов эволюции мы можем брать как непрерывное время, t ∈ R, так и дискретное2 t/τ ∈ Z.5.1.2. Унитарная эволюция матрицы плотности*Эволюция замкнутой системы может быть описана на языке матрицыплотности. Согласно (4.59) матрица плотности может быть представленав виде|ψk pk ψk |.ρ̂ =kС учётом того, что|ψk (t1 ) = Û (t1 , t0 )|ψk (t0 ),получаемψk (t1 )| = ψk (t0 )|Û † (t1 , t0 ),ρ̂(t1 ) = Û (t1 , t0 )ρ̂(t0 )Û † (t1 , t0 ).Это преобразование не нарушает требуемых свойств матрицы плотности,в частности нормировка матрицы плотности сохраняется:tr ρ̂(t1 ) = tr[Û (t1 , t0 )ρ̂(t0 )Û † (t1 , t0 )] = tr[ρ̂(t0 ) Û † (t1 , t0 )Û (t1 , t0 )] = tr ρ̂(t0 ).1̂5.1.3.
(Не)унитарная эволюция*****На самом деле мы можем отказаться от условия обратимости квантовой эволюции и рассматривать квантовую эволюцию, ограничившись условием сохранения вероятности (5.3) (изометричность). Мы можем сделатьэто благодаря тому, что пространства состояний в разные моменты времени можно считать различными пространствами, не все состояния в которыхимеют физический смысл.2 Дискретное время может быть полезно при численных квантовомеханических расчётах.При этом вместо того, чтобы переходить к разностному аналогу временного уравненияШрёдингера и следить за сохранением вероятности, более правильно стартовать с унитарнойэволюции с дискретным временем, как с понятия более фундаментального.5.1. К ВАНТОВАЯМЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ129Рассмотрение пространства состояний в разные моменты времени какразных пространств естественно всегда, когда мы рассматриваем зависящую от времени замену базиса, связанную, например, со сдвигом нулевого уровня энергии, калибровочными преобразованиями или с переходом между представлениями Шрёдингера, Гайзенберга и Дирака.
Однако обычно пространства состояния в разные моменты времени связывают друг с другом с помощью унитарных отображений, мы же в данном разделе воспользуемся тем, что бесконечномерное пространство всегда может быть отображено один к одному на некоторое своё подпространство.Зафиксируем некоторый начальный момент времени t = 0 и будем считать, что при t = 0 все векторы пространства состояний H имеют физический смысл.
В момент времени t физический смысл имеют только векторы,которые получаются из векторов в начальный момент времени с помощьюоператора эволюции Ût , т. е. принадлежат к подпространствуHt = Ût H0 ⊂ H0 = H.Однако такие подпространства в разные моменты времени изоморфныHt H0 , т. е. между ними можно установить взаимно-однозначное соответствиеÂt Ht = H.С помощью оператора Ât мы можем переписать нашу неунитарную эволюцию в эквивалентной унитарной форме, отбросив все нефизические состояния.
Новый оператор эволюции Ũt уже унитаренŨt = Ât Ût .Ясно, что мы можем, используя этот приём, не только сделать из любого изометричного оператора эволюции унитарный, но и из любого унитарного оператора изометричный, добавив в пространства состояний в разныемоменты времени некоторое количество «нефизических» измерений.Таким образом, мы можем рассматривать условие обратимости квантовой эволюции как чисто техническое условие, оставив вместо него болееслабое и более физичное условие изометричности (сохранения вероятности).
При рассмотрении эволюции замкнутой системы новый подход не позволяет получить каких-либо новых результатов, однако он может оказатьсяполезен для обобщений, описывающих процессы с незамкнутыми системами (например, измерения).130ГЛАВА 55.1.4. Уравнение Шрёдингера и гамильтонианКак уже было получено (или, по существу, постулировано) в предыдущем разделе, для замкнутой автономной системы мы можем записатьψ(t + τ ) = Ûτ ψ(t).(5.7)Если время может меняться непрерывно, т. е. t ∈ R, то, предполагая непрерывность и дифференцируемость оператора эволюции по времени, мы можем продифференцировать уравнение (5.7) по τ и, устремив τ → 0, записатьd ψ(t) = dÛτ ψ(t).(5.8)dtdτ τ =0Полученное уравнение (5.8) и есть уравнение Шрёдингера (или временно́еÛτ принято запиуравнение Шрёдингера).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
