Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 30
Текст из файла (страница 30)
энергия, выраженная через координаты и импульсы. Функция Гамильтона — тоже наблюдаемая, классический аналог квантового гамильтониана.Используя уравнения Гамильтона, мы можем переписать полную производную от F :dF = ∂F + ∂F ∂H − ∂F ∂H = ∂F + {F, H}.dt∂t∂Qa ∂Pa∂Pa ∂Qa∂ta{F,H}Здесь мы обозначили сумму по a через скобку Пуассона {F, H}.Сравнивая получившееся уравнение с уравнением Гайзенберга (5.20),мы видим, что классическая скобка Пуассона соответствует коммутатору:dF = ∂F + {F, H}dt∂t∼d = ∂  + 1 [Â, Ĥ],dt∂tih̄{·, ·} ∼ 1 [·, ·].ih̄Помимо формул для полных производных от наблюдаемых величиночень важную роль играют канонические коммутационные соотношения,для которых также есть классический теоретикомеханический аналог:1 [q̂ , p̂ ] = δ ,a babih̄{Qa , Pa } = δab .Благодаря соответствию между коммутатором и скобкой Пуассонанекоторые выкладки могут переноситься из теоретической механики и обратно с помощью простого изменения обозначений.
Например, как будет продемонстрировано ниже, гармонический осциллятор в представлении Гайзенберга колеблется как классический осциллятор «с точностью дошляпок» (т. е. с точностью до замены квантовых наблюдаемых классическими). Похожее соответствие мы наблюдали и выше в разделе 5.2.6 «Пример: Эволюция волнового пакета для свободной частицы», когда изучали5.2.
РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ143расплывание волнового пакета свободной частицы в представлении Гайзенберга. Однако для более сложных гамильтонианов соответствие уже неявляется столь точным.Связь между коммутатором и скобкой Пуассона была открыта ПолемДираком в октябре 1925 года вскоре после того, как Гайзенберг ввёл невиданные ранее в физике некоммутирующие переменные.5.2.8.
Чистые и смешанные состояния в теоретической механике*Для того чтобы ясно увидеть аналоги представлений Шрёдингераи Гайзенберга в классической механике, удобно перейти от рассмотрениячистых классических состояний, задаваемых точными значениями координат и импульсов, к смешанным классическим состояниям, задаваемым распределением вероятности по координатам и импульсам.Таким образом, помимо наблюдаемых, как функций на фазовом пространстве (5.26), мы вводим состояния(Q, P, t),(Q, P, t) > 0,dQ dP (Q, P, t) = 1,(5.27)которые также задаются как функции на фазовом пространстве. Последнееусловие задаёт нормировку состояния на единицу.
Иногда, например прирассмотрении измерения, удобно от этого условия отказаться.Среднее от наблюдаемой по состоянию задаётся интегралом вида, F = dQ dP F (Q, P, t) (Q, P, t),(5.28)в частности, нормировка состояния задаёт среднее от единицы.Мы преднамеренно не уточнили к каким классам функций относятсянаблюдаемые и состояния, т. к. выбор соответствующих функциональныхпространств зависит от задачи.
Сейчас нам удобно выбрать для наблюдаемых и состояний пространства основных и обобщённых функций поШварцуF ∈ S = {F ∈ C ∞ |∀n, m ∈ N, xn F (m) −→ 0, x → ±∞}, ∈ S = {|∀F ∈ S : F → , F непрерывно и линейно}.Таким образом, как в квантовой механике, так и в классической мыимеем линейные (если отказаться от нормировки состояний на единицу)пространства наблюдаемых и смешанных состояний, а также линейную пообоим аргументам операцию усреднения наблюдаемой по состоянию.144ГЛАВА 5Среди всех состояний можно выделить чистые:Q0 P0 (Q, P ) = δ(Q − Q0 ) · δ(P − P0 ),Q0 P0 , F = F (Q0 , P0 ).Как и в квантовой механике, чистое состояние задаётся значениямимаксимального набора независимых наблюдаемых. Однако имеется принципиальное различие.
В классике все наблюдаемые совместимы (коммутируют, одновременно измеримы), и все максимальные наборы независимых наблюдаемых описывают одни и те же семейства чистых состояний.Из-за этого в классической механике может возникнуть путаница (отождествление) между понятиями «чистое состояние» и «максимальный наборнезависимых наблюдаемых». В квантовой механике не все наблюдаемыесовместимы, и разные максимальные наборы независимых наблюдаемыхописывают различные семейства чистых состояний.5.2.9.
Представления Гамильтона и Лиувилля в теоретическоймеханике**Как и в квантовой механике, эволюциюсистемы можно описывать как эволюцию состояния при неизменных наблюдаемых (представление Лиувилля), либо как эволюцию наблюдаемых при неизменном состоянии (представление Гамильтона):7Рис. 5.1. Уильям Роуан Гамильтон (1805–1865). WdлdFл∂Fл= −{л , H},=,dtdt∂tdгdFг∂Fг= 0,=+ {Fг , H}.dtdt∂tОбратите внимание, что состояние в представлении Лиувилля и наблюдаемая в представлении Гамильтона эволюционируют «в разные стороны»(разный знак перед скобкой Пуассона). Данные уравнения при замене скоб1ки Пуассона на коммутатор {·, ·} → ih̄[·, ·] переходят в квантовые уравнения для операторов и матриц плотности в представлениях Шрёдингераи Гайзенберга соответственно.7 Представление Гамильтона обозначено индексом «г», точно так же как выше обозначалипредставление Гайзенберга. Поскольку одно представление переходит в другое в классическом пределе, то это не должно вызвать путаницы, а наоборот, это даёт нам мнемоническоеправило как классические представления временной эволюции соотносятся с классическими:Гайзенберг и Гамильтон начинаются на одну букву и у обоих эволюция описывается черезнаблюдаемые.5.2.
РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ145Интегралы, задающие средние наблюдаемой F в момент времени tсвязаны друг с другом заменой переменных интегрирования:, F t = dQ dP Fл (Q, P, t) л (Q, P, t) == dQ dP Fл (Q(Q0 , P0 , t), P (Q0 , P0 , t), t) ×Fг (Q0 ,P0 ,t)× л (Q(Q0 , P0 , t), P (Q0 , P0 , t), t) =г (Q0 ,P0 )dQ0 dP0=∂(Q, P )Fг (Q0 , P0 , t) г (Q0 , P0 ) =∂(Q0 , P0 ) =1=dQ dP Fг (Q, P, t) г (Q, P ).Здесь Q(Q0 , P0 , t) и P (Q0 , P0 , t) — координатыи импульсы в момент t как функции от начальных значений Q0 , P0 и времени t:Q(Q0 , P0 , 0) = Q0 ,P (Q0 , P0 , 0) = P0 .Тождество на якобианJ=∂(Q, P )=1∂(Q0 , P0 )Рис. 5.2. Жозеф Лиувилль(1809–1882).
W— теорема Лиувилля о сохранении фазовогообъёма. Его физический смысл — сохранение вероятности, в этом оно аналогично условию унитарности квантовой эволюции.Докажем теорему Лиувилля. Для этого достаточно показать, что dJdt = 0в начальный момент времени.Qi (δt) = Qi0 + ∂Hi · δt + o(δt),∂PP i (δt) = P0i − ∂Hi · δt + o(δt),∂Q⎛⎞∂ 2 H · δt∂ 2 H · δtiδ+⎜ j ∂P i ∂Qj⎟∂(Q(δt), P (δt))∂P i ∂P j⎟ + o(δt) == det ⎜22⎝⎠∂H∂H∂(Q0 , P0 )− i j · δt δji −·δtij∂Q ∂Q∂Q ∂P146ГЛАВА 5⎛⎞∂2H∂2Hij⎜ ∂P ∂Q∂P i ∂P j ⎟⎟ · δt + o(δt) == 1 + tr ⎜22⎝⎠∂H∂H− i j − i j∂Q ∂Q∂Q ∂P=1+$i%∂2H − ∂2H+ o(δt) = 1 + o(δt).∂P i ∂Qi∂Qi ∂P iТаким образом,J(0) = 1,dJ = 0dt⇒J ≡ 1.5.2.10.
Уравнения в представлении взаимодействия*Дифференциальное уравнение для оператора в представлении взаимодействия мы можем получить дифференцированием выражения (5.17) Âв =(0)†(0)= Ût Âш Ût , но результат можно написать сразу, он совпадает с уравнениями Гайзенберга для невозмущённого гамильтониана (5.18):dÂвdÂшi(0).(5.29)= [Ĥв , Âв ] +dth̄dtвВолновая функция (5.15) |ψв (t) =по времени даёт(0)†Ût |ψш (t)при дифференцировании(0)†d |ψ (t) = dÛt |ψ + Û (0)† d |ψ =вшшtdtdtdt(0)†(0)† −i= i Ut Ĥ (0) |ψш + ÛtĤh̄h̄|ψш =(Ĥ (0) +V̂ )= − i Ûth̄(0)†(0)†(0)V̂ |ψш = − i Ût V̂ Ût |ψв = − i V̂в |ψв .h̄ h̄(0)Ût|ψв V̂вТаким образом, временная эволюция волновой функции в представлении взаимодействия описывается уравнением Шрёдингера, в котором вместо гамильтониана используется оператор возмущения, записанный в представлении взаимодействия:ih̄ d |ψв (t) = V̂в |ψв .dt(5.30)5.3. И ЗМЕРЕНИЕ147Эволюцию волновой функции в представлении взаимодействия мы можем описать как действие на исходную волновую функцию специальногооператора эволюции(0)†|ψв (t) = Ût(0)†|ψш (t) = Ût Ût |ψ(0) = Ûtв |ψ(0).
ÛtвГлядя на (5.30), мы можем записать уравнение Шрёдингера для оператора(0)†эволюции Ûtв = Ût Ûtih̄ d Ûtв = V̂в Ûtв ,dtÛ0в = 1̂.(5.31)При этом, оператор V̂в может зависеть от времени, даже если гамильтонианы Ĥ (0) и Ĥ = Ĥ (0) + V̂ от времени не зависели. Это возможно в томслучае, если [Ĥ (0) , V̂ ] = 0.5.3. ИзмерениеПроцедура измерения — единственное место в стандартной квантовоймеханике, которое вносит в теорию вероятности и необратимость.
Приунитарной эволюции переход от начального состояния к конечному описывается обратимыми операторами, а значит всегда можно восстановитьпо конечному состоянию начальное. При измерении иначе: состояние после измерения всегда получается из состояния до измерения с помощьюнеобратимого оператора (проектора), случайным образом выбираемого изнекоторого набора.Влияние измерения на состояние системы неизбежно в квантовоймеханике. Это накладывает принципиальные ограничения на точностьпри одновременном измерении различных величин (соотношения неопределённостей). Влияние измерения на состояние системы носит существенно неклассический характер, с чем связан ряд интересных эффектов и парадоксов, которые мы также обсудим ниже.Процедура измерения не выводится из уравнений, описывающих поведение изолированных систем.5.3.1.
Проекционный постулатОбсуждая вероятностный смысл волновой функции, мы уже затрагивали процедуру измерения (см. 3.1.4 «Распределение вероятностей и волно-148ГЛАВА 5вые функции при измерении», 3.1.5 «Амплитуда при измерении и скалярное произведение», 4.5.1 «Нормировка волновых функций на единицу»).Наряду с формулами для волновых функций здесь приводятся соответствующие формулы для матриц плотности, которые при первом чтенииможно пропускать.Как мы уже знаем, в результате измерения, дающего ответ «да», волновая функция ψдо проецируется с помощью ортогонального проектора†= P̂да P̂даP̂да = P̂дана некоторое подпространство Hда пространства H. Нормированная на вероятность волновая функция (матрица плотности*) сразу после измеренияимеет вид:|ψда = P̂да |ψдо ∈ Hда .∗ρ̂да = P̂да ρ̂до P̂да ∈ Hда ⊗ Hда,ρ̂до ∈ H ⊗ H∗ .[∗]При этом вероятность того, что измерение даст ответ «да», выражаетсяследующими способами:pда = P̂да = ψдо |P̂да |ψдо = ψда |ψдо = ψда |ψда .2) = tr(P̂да ρ̂до P̂да ) = tr(ρ̂да ).pда = P̂да = tr(ρ̂до P̂да ) = tr(ρ̂до P̂да[∗]Процесс измерения в стандартной квантовой механике считаетсямгновенным, а результат измерения абсолютно непредсказуемым (можноопределить лишь вероятности).Если задан проектор P̂да , то можно определить проекторP̂нет = 1̂ − P̂да ,описывающий неполучение ответа «да» (получение ответа «нет»).
Подпространство Hнет состоит из векторов, ортогональных всем векторам из Hда .Любой вектор из H однозначно разлагается по этим подпространствам:|ψ = 1̂|ψ = (P̂да + P̂нет )|ψ = P̂да |ψ + P̂нет |ψ = |ψда + |ψнет .Свойства проектора P̂нет и его использования полностью аналогичны свойствам P̂да . Во всех рассуждениях мы можем сделать замену «да»↔«нет».В следующих подразделах мы рассматриваем вопрос о построениипроекторов для различных вопросов/измерений и их свойствах.5.3. И ЗМЕРЕНИЕ149Невырожденный дискретный спектрПусть мы измеряем физическую величину, описываемую эрмитовымоператором Â с дискретным невырожденным спектром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
