Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В некоторых случаях такой эксперимент может оказаться запрещён законами сохранения.ГЛАВА 6Одномерные квантовые системыСлучай одномерного движения квантовой частицы является одним изсамых простых в квантовой механике1 . Кроме того, одномерные задачи часто возникают в процессе решения более сложных задач при разделениипеременных.
Наличие для одномерного случая удобных свойств и интересных теорем окончательно убеждает в необходимости посвятить одномериюотдельную главу.На протяжении этой главы мы будем исследовать гамильтониан длячастицы в потенциале U (x), который может быть записан так:Ĥ =p̂2+ U (x̂),2m22Ĥ = − h̄ ∂ 2 + U (x).2m ∂x(6.1)6.1. Структура спектра6.1.1. Откуда берётся спектр?Соответствующее гамильтониану (6.1) стационарное уравнение Шрёдингера имеет видh̄ψ (x)+U (x) ψ(x) = E ψ ⇔ ψ (x)+ 2m(E −U (x)) ψ(x) = 0. (6.2)− 2mh̄22Задача нахождения спектра этого уравнения в математике называется задачей Штурма – Лиувилля.
Она была заранее2 исследована Жозефом Лиувиллем и Шарлем Штурмом ещё в XIX веке (1837–1841 гг.).Потенциал U (x) мы будем считать непрерывным или кусочно-непрерывным.1 Одномерное движение — не самый простой случай. Пространство состояний для такойсистемы L2 (R) бесконечномерно и изоморфно любому другому бесконечномерному сепарабельному гильбертову пространству. Самое маленькое пространство состояний квантовойсистемы — C2 соответствует спину 12 , или любой другой двухуровневой системе.2 Заранее, с точки зрения квантовой теории.158ГЛАВА 6При каждом значении E это линейноедифференциальное уравнение второго порядкаимеет два линейно независимых решения.
Однако физический смысл стационарных состояний имеют только те решения, которые можноотнормировать на 1 (дискретный спектр), либона δ-функцию (непрерывный спектр).Таким образом, мы обнаруживаем, чтоРис. 6.1. Шарль Франсуа при данном конкретном значении E из двумерного пространства решений физическийШтурм (1803–1855).
Wсмысл имеет только некоторое подпространства размерности 2, 1, или 0 (в последнем случае нетривиальных решенийнет совсем).Обычно условие нормируемости (на δ-функцию или на 1) можно заменить условием ограниченности.6.1.2. Вещественность собственных функцийПоскольку функция U (x) вещественна, для всякого решения ψ(x) дифференциального уравнения (6.2) (как и аналогичного уравнения в пространстве любой размерности!) функцииψ ∗ (x),Re ψ(x) =ψ(x) + ψ ∗ (x),2Im ψ(x) =ψ(x) − ψ ∗ (x)2iтакже являются решениями. Причём из ограниченности, или нормируемости ψ(x) следует ограниченность или нормируемость для тех функций изнабора ψ ∗ , Re ψ и Im ψ, которые не равны тождественно нулю.
Благодаряэтому при исследовании спектра мы можем ограничиться вещественнымирешениями.6.1.3. Структура спектра и асимптотика потенциалаПусть потенциал U (x) имеет пределы на обоих бесконечностях:U− = lim U (x),x→−∞U+ = lim U (x).x→+∞Также нам может понадобиться значение потенциала в нижней и верхнейточках:U0 = min U (x),U1 = max U (x).x∈Rx∈R6.1. С ТРУКТУРА159СПЕКТРАПусть, для определёности, U− U+ , тогда эти четыре точки расположенына шкале энергий в следующем порядке:U0 U− U+ U1 .При x → ±∞ уравнение Шрёдингера стремится к видуψ (x) +2m(Eh̄2− U± ) ψ(x) = 0.(6.3)Его решение задаётся волнами де Бройля при E > U± , или вещественными экспонентами при E < U± :e±ikx ,k = 1 2m(E − U± ) ;h̄κ = 1 2m(U± − E).h̄e±κx ,Обе волны де Бройля ограничены, хотя и квадратично не интегрируемы.Это означает, что при E > U− мы не сможем отнормировать волновуюфункцию на 1, а значит в этом диапазоне не может быть состояний дискретного спектра.При E U+ асимптотики на обоих бесконечностях всегда ограничены, с какими бы коэффициентами мы не комбинировали волны де Бройля.Это означает, что в этом диапазоне энергий все значения E принадлежатк непрерывному спектру, являются двухкратно вырожденными.При U+ > E > U− на +∞ мы вместо волн де Бройля получаем вещественные экспоненты.
Из этих двух асимптотик только одна e−κx ограничена, а другая e+κx неограниченно возрастает. Таким образом на асимптотикуна +∞ψ(x) ∼ c− e−κx + c+ e+κx , x → +∞,накладывается одно условие: c+ = 0. Это условие выделяет из двумерного пространства решений уравнения (6.2) одномерное подпространство. На−∞ по прежнему любое решение ограничено, но не квадратично интегрируемо. Таким образом, в диапазоне U+ > E > U− все значения энергиипринадлежат к непрерывному невырожденному спектру.При E < U− мы имеем на обоих бесконечностях экспоненциальныеасимптотики:ψ(x) ∼ c− e−κx + c+ e+κx , x → +∞;ψ(x) ∼ d− e−κx + d+ e+κx ,x → −∞.Условие ограниченности теперь даёт два граничных условия:c+ = 0,d− = 0.160ГЛАВА 6Рис.
6.2. Структура спектра в одномерном случае.Если эти два условия линейно независимы, то в двумерном пространстверешений уравнения (6.2) не остаётся ненулевых ограниченных решений.Если эти два условия окажутся линейно зависимыми, то останется однолинейно независимое ограниченное решение. И если при конечных x небудет разрывов ψ, около которых интеграл от |ψ|2 расходится, то состояниеокажется принадлежащим к дискретному спектру.
Поскольку в состоянияхдискретного спектра вероятность обнаружить частицы на больших расстояниях от классически разрешённой области экспоненциально спадает с расстоянием, мы будем также называть такие состояния связанными.В случае общего положения условия c+ = 0, d− = 0 должны бытьлинейно независимыми, так что почти все значения E < U− не являются собственными. Есть ли среди них хотя бы одно собственное значение(разумеется дискретное)?При E U0 ограниченных собственных функций нет.
Если выбратьвещественную волновую функцию (возможность этого была доказаны выше, 6.1.2 «Вещественность собственных функций»), то окажется, что ψ и ψ везде имеют одинаковый знак:ψ (x) =2mh̄2(U± − E) ψ(x).0Если на ψ(x → −∞) > 0 (этого всегда можно добиться умножением начисло), то при x → −∞ получаем ψ > 0, ψ > 0 (из единственной разрешённой асимптотики eκx ) и ψ > 0. При этом, если волновая функция нетерпит разрывов, то она должна монотонно возрастать на всей оси.
Таким6.1. С ТРУКТУРАСПЕКТРА161образом, при x → +∞ мы также получаем ψ > 0 и ψ > 0. Однако это несовместимо с асимптотикой e−κx (единственной разрешённой на +∞).В диапазоне U− > E > U0 при разных потенциалах дискретные уровни энергии могут как присутствовать, так и отсутствовать.С помощью правила Бора – Зоммерфельда (см. ниже 13.5.4 «Квазиклассическое квантование») общее число дискретных уровней можно оценитьследующим интегралом, который также можно считать мерой глубины ямы:N= 12m(U− − U (x)) dx > 0.(6.4)πh̄U(x)<U−Таким образом, достаточно глубокая яма любой формы должна содержать дискретные уровни.Задачу определения наличия уровней в мелкой яме мы рассмотримотдельно, а пока дадим без вывода результат.
При условииU1 = U+ = U− > U0(6.5)всегда существует хотя бы один дискретный уровень.Также забегая вперёд, отметим, что существование дискретного уровня в мелкой яме является особенностью одномерной задачи.6.1.4. Прямоугольная ямаРассмотрим потенциал прямоугольной потенциальной ямы ширины aи глубины V :&0, |x| a ,2(6.6)U (x) =−V, |x| < a .2Все неотрицательные значения энергии относятся к непрерывному спектру.Нас интересуют дискретные уровни энергии, которые могут лежать в диапазоне 0 > E > −V .Потенциал прямоугольной ямы задаётся чётной функцией U (x) == U (−x), отсюда следует, что гамильтониан коммутирует с операторомˆпространственной инверсии Iˆ (Iψ(x)= ψ(−x)), т. е.
Ĥ Iˆ = IˆĤ. Для такогогамильтониана мы можем выбрать собственные состояния так, чтобы онибыли также собственными для оператора Iˆ (см. 4.2 «Матрицы (л)»), т. е.чтобы все они были чётными или нечётными.Стационарные состояния, не являющиеся состояниями с определённойчётностью, возможны только в непрерывном вырожденном спектре162ГЛАВА 6при E > 0. При E < 0 спектр невырожден, и каждое состояние либо чётно,либо нечётно.Рассматриваемый потенциал кусочно постоянен. В пределах каждогокуска уравнение Шрёдингера даёт решение в виде волн де Бройля (еслиE > U (x)) или вещественных экспонент (если E < U (x)).В точках разрыва потенциала нам надо поставить условия склейкиволновой функции. Причём, поскольку одномерное уравнение Шрёдингераявляется обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка,достаточно потребовать непрерывности самой функции ψ и её первой производной:ψ( a2 + 0) = ψ( a2 − 0),ψ(− a2 + 0) = ψ(− a2 − 0),ψ ( a2 + 0) = ψ ( a2 − 0);ψ (− a2 + 0) = ψ (− a2 − 0).Впрочем, из четырёх условий сшивки можно ограничиться двумя (например, в точке a2 ), если сразу искать решения с определённой чётностью.Будем параллельно рассматривать чётный и нечётный случаи, помечаяих индексами «+» и «−» соответственно.Поскольку нас интересуют в первую очередь собственные числа, нормировочные множители выбираем так, чтобы не загромождать вычисления.Справа от ямы волновая функция может быть выбрана в видеψ± (x) = e−κ± (x−a/2) , ψ (x) = −κ± e−κ± (x−a/2) ,κ± = 1 −2mE± , x a .2h̄На границе ямы получаемψ± (a/2 + 0) = 1,ψ±(a/2 + 0) = −κ± .Волновую функцию слева от ямы можно восстановить из чётностии отдельно её исследовать нет необходимости:ψ± (x) = ±ψ± (−x),x −a.2Внутри ямы волновая функция задаётся чётной или нечётной комбинацией волн де Бройля, т.
е. косинусом или синусом:ψ+ (x) = A+ cos(k+ x), ψ− (x) = A− sin(k− x),k± = 1 2m(E± + V ), x ∈ [− a2 , a2 ],h̄6.1. С ТРУКТУРАψ+(x) = −A+ k+ sin(k+ x),СПЕКТРА163ψ−(x) = A− k− cos(k− x).На границе ямы получаемψ+ ( a2 − 0) = A+ cos(k+ a2 ), a( 2 − 0) = −A+ k+ sin(k+ a2 ),ψ+ψ− ( a2 − 0) = A− sin(k− a2 ), aψ−( 2 − 0) = A− k− cos(k− a2 ).Условия сшивкиψ± ( a2 + 0) = ψ± ( a2 − 0), a aψ±( 2 + 0) = ψ±( 2 − 0)дают две системы линейных уравнений с одним неизвестным A± длячётного и нечётного случаев:A+ cos(k+ a2 ) = 1,A− sin(k− a2 ) = 1,a−A+ k+ sin(k+ 2 ) = −κ+ ,A− k− cos(k− a2 ) = −κ− .Для собственных состояний уравнения в системе должны давать одинаковые значения A± .
Разделив второе уравнение на первое, получим условияразрешимостиk+ tg(k+ a2 ) = κ+ ;−k− ctg(k− a2 ) = κ− .Полученные трансцендентные уравнения мы исследуем графически.Сначала обезразмерим их, умножив на a2 . Введём обезразмеренное волновое число K+ = k+ a2 для чётного случая и K− = k− a2 для нечётного.Также введём обезразмеренный параметр затухания Λ± и параметр глубины ямы R:'(2a2 =2,Λ± = a2 κ± =2m(E± + V ) = mV 2a − K±R 2 − K±2h̄2h̄'2R = mV 2a .2h̄Обезразмеренные уравнения принимают вид−K− ctg K− = R2 − K− 2 .K+ tg K+ = R2 − K+ 2 ;Поскольку с точностью до замены K+ ↔ K− правые части уравнений совпадают, их графики удобно изобразить на одной координатной плоскости.164ГЛАВА 6108642–20–202468xРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
