Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 33
Текст из файла (страница 33)
6.3. Графики на плоскости K − Λ. Графики K tg K, −K ctg K и(для R = 10). Физический смысл имеет только область K > 0, Λ > 0.√R2 − K 2Правая часть обоих уравнений изображается кругом радиуса R. Леваячасть для чётного случая изображается ветвями, имеющими нули в точкахπn и асимптоты в точках πn + π2 . Для нечётного случая нули и асимптотыв левой части меняются местами.При любом значении параметра R всегда имеется хотя бы одно чётноерешение.Число уровнейМы видим, что общее число чётных и нечётных решений соответствует числу точек вида π2 n, попавших в диапазон [0, R].33 ЕслиR=π2n, то мы получаем одно ненормированное состояние с нулевой энергией.6.1. С ТРУКТУРА165СПЕКТРАЧётные и нечётные решения чередуются, при этом в яме всегда естьпо крайней мере один чётный уровень.Общее число решений составляет%$√!2mVaNп = 2R+ 1 = [N ] + 1,π +1=πh̄где квадратные скобки обозначают целую часть числа.
Таким образом,число решений отличается от приведённой выше квазиклассической оценки (6.4) не более чем на 1.Глубокие уровни*√Для глубоких уровней (Λ = R2 − K 2 1) значения K близки к π2 n,т. к. окружность пересекает ветви K tg K и −K ctg K на большой высоте,πnтам где они близко подходят к своим асимптотам. Условие K = ka2 ≈ 2соответствует тому, что в яме помещается почти (чуть меньше чем) целоечисло полуволн.
При этом на границе ямы волновая функция близка к нулю, и очень быстро по сравнению с размером ямы ( κa = Λ 1) спадает2за пределами ямы.Предел мелкой ямы*Мелкой естественно считать прямоугольную яму, в которой имеетсяровно один уровень, т. е. для которой√2R = 2mV a < 1.ππh̄Если устремить параметр R к нулю, т. е. в пределе√2R = 2mV a 1,ππh̄трансцендентное уравнение для основного состояния можно решить:K tg K = R2 − K 2 ⇒ K 2 ≈ R2 − K 2 .На K 2 получаем уравнениеK 4 + K 2 − R2 ≈ 0,Λ ≈ K2 ≈−1+√1 + 4R2≈ R2 .2166ГЛАВА 6Мелкую яму удобно характеризовать одним параметром κ0 , который характеризует скорость убывания волновой функции основного состояния внеямы и через который удобно выражается энергия основного состояния:mV aκ0 = 2Λa = h̄2 ,2 22 2h̄2 κ20E0 = − h̄ κ ≈ −= − mV 2a .2m2m2h̄δ-яма как мелкая яма*Рассматривая мелкие прямоугольные ямы, мы можем перейти к пределу, соответствующему переходу к δ-потенциалу:a → 0,V → ∞,aV = const.При этом предельном переходе яма становится всё более и более мелкой'2√R = mV 2a = const · a → 0.2h̄Параметр мелкой ямы κ0 при таком переходе постояненκ0 = mV2 a ,h̄а формула для энергии основного состояния выполняется всё точнее и точнее.
В пределе мы имеемh̄2 κ20E0 = −.(6.7)2mПотенциал при таком предельном переходе стремится в смысле слабогопредела к δ-функции:2wlim U (x) = −V a δ(x) = − h̄m κ0 δ(x).a→0Обратите внимание, что размерность дельта-функции обратна размерности аргумента! В частности, дельта-функция от координаты имеет размерность обратной длины. Это легко увидеть, взяв от дельта-функции интеграл:+∞δ(x) · dx = 1.−∞ длина−1 длинабезразмерно6.1. С ТРУКТУРА167СПЕКТРА6.1.5. δ-ямаМы уже исследовали δ-яму как предельный случай мелкой прямоугольной ямы. Теперь мы исследуем тот же потенциал непосредственно.Запишем стационарное уравнение Шрёдингера для дельта-ямы:h̄ψ (x) −− 2m2h̄2mκ0 δ(x) ψ(x) = E ψ(x).(6.8)При x = 0 δ(x) = 0, а решать уравнение Шрёдингера для нулевого потенциала мы уже умеем.
Значит нам осталось исследовать условие сшивкирешений с нулевым потенциалом в точке 0.Единственное, что можно делать с дельта-функцией, — проинтегрировать её. Поскольку нас интересует условие сшивки в нуле, то естественноинтегрировать по малой окрестности нуля:2h̄− 2m+εψ (x) dx −h̄2m+ε+εδ(x) ψ(x) dx = Eψ(x) dx.κ0−ε−ε+εh̄2− 2mψ (x) −−εh̄2m−ε+εκ0 ψ(0) = Eψ(x) dx.−εДля ограниченной функции ψ(x) при ε → 0 получаем условие сшивкив нуле:+01 (6.9)2 ψ (x) −0 + κ0 ψ(0) = 0.Сама волновая функция в нуле должна быть непрерывна, т.
к. для разрывной в нуле волновой функции ψ будет содержать член ∼ δ (x), которыйбудет нечем скомпенсировать.ψ(+0) = ψ(−0).δ(x) = δ(−x), т. е. дельта-яма — чётный потенциал и мы можем искатьрешения уравнения (6.8) отдельно для чётного и нечётного случаев.Для непрерывных нечётных волновых функций ψ также оказываетсянепрерывным:ψ(0) = 0 ⇒ ψ (+0) = ψ (−0).Это условие сшивки не чувствует дельта-ямы. Таким образом, все нечётныесобственные функции для дельта-ямы такие же как для потенциалаU (x) ≡ 0.
Связанных состояний среди нечётных функций нет.168ГЛАВА 6Будем искать связанное чётное состояние. Оно обязано иметь видψ(x) = Ce−κ|x| ,2 2E = − h̄ κ .2mМы сразу откинули растущие на бесконечности решения. Условие непрерывности выполняется автоматически. Осталось проверить условие сшивки (6.9). Оно даётh̄2 κ20.2mТаким образом, мы воспроизвели результат (6.7), полученный ранее предельным переходом для мелкой прямоугольной ямы.κ = κ0⇒E0 = −Задача: Об условии сшивки в точке δ-ямы**Мы можем составить базис в пространстве L2 (R) из собственныхфункций уравнения (6.8). Все базисные функции будут удовлетворять линейному однородному условию сшивки (6.9). В силу линейности условия (6.9) любая конечная взвешенная сумма базисных функций будет удовлетворять тому же условию сшивки.Означает ли это, что тому же условию сшивки будет удовлетворятьлюбая линейная комбинация базисных функций? Как условие (6.9), наложенное на базисные функции, согласуется с тем, что не все функции пространства L2 (R) удовлетворяют этому условию?6.1.6.
Существование уровня в мелкой ямеПусть для рассматриваемого потенциала U (x) выполняются условияU1 = U− = U+ > U0 . Нам надо доказать, что существует хотя бы однособственное состояние с энергией U1 > E > U0 . Это состояние, как былопоказано выше (см. рис. 6.2), неизбежно будет принадлежать дискретномуспектру.В соответствии с вариационным принципом (4.68) нам достаточнопредъявить любое состояние ψп , для которого средняя энергия меньше U1 .Энергия этого состояния даст оценку сверху на энергию основного состояния. Оно неизбежно попадёт в указанный диапазон, т.
к. ниже дна ямы U0уровней быть не может (см. рис. 6.2).В качестве состояния ψп возьмём основное состояние для мелкой симметричной прямоугольной ямы, такой, что она всюду мельче, чем яма U (x):U1 , x ∈ (a, b),Uп (x) =∀x ∈ R, Uп (x) U (x).U1 − V, x ∈ (a, b),6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯТЕОРЕМА169Как было показано выше, дискретное состояние с энергией U1 > Eп > U1 −− V > U0 есть в любой сколь угодно мелкой симметричной прямоугольнойямеp̂2E0 < ψп |Ĥ|ψп = ψп |+ U (x)|ψп =2mp̂2+ Uп (x)|ψп + ψп | U (x) − Uп (x) |ψп < Eп < U1 .= ψп |2m<0∀xEп<0Таким образом, в любой мелкой яме, удовлетворяющей условию (6.5),неизбежно имеется хотя бы одно связанное состояние с энергией E0 , удовлетворяющей условию U1 > Eп > E0 > U0 .6.2.
Осцилляторная теоремаОсцилляторная теорема позволяет уточнить структуру дискретногоспектра одномерной квантовой системы, давая информацию о поведениинулей собственных состояний.Всякое одномерное состояние дискретного спектра (для гамильтониана вида (6.1)) имеет два нуля на границах области определения волновойфункции: это либо точки ±∞, либо точки, в которых стоят бесконечно высокие стенки, ограничивающие области движения частицы.Помимо нулей на границе могут быть нули внутри области определения волновой функции.
Для рассматриваемых нами потенциалов (удовлетворяющих условиям теоремы существования и единственности решенийобыкновенного дифференциального уравнения) все нули внутри областиопределения являются точками перемены знака волновой функции (собственные волновые функции мы выбираем вещественными).Пронумеруем все дискретные уровни в порядке возрастания энергии,начиная с основного состояния, которому присвоим номер 0.
Будем говорить, что n-е возбуждённое состояние — это состояние номер n, по указанной нумерации. В частности, нулевое возбуждённое состояние — этосостояние номер 0, т. е. основное состояние.Осцилляторная теорема• Число внутренних нулей n-го возбуждённого состояния равно n.• Между каждой парой нулей состояния номер n (включая нули на границе области определения) находится один и только один нуль состояния номер n + 1.170ГЛАВА 6Доказывать осцилляторную теорему мы будем по частям. Читатель может пропустить доказательство (все его пункты помечены звёздочками), нов любом случае знание осцилляторной теоремы полезно при исследованииспектров одномерных систем.6.2.1.
Об области применимости теоремы*Применяя осцилляторную теорему, необходимо следить за условиямиеё применимости. Например, одномерная задача может решаться с граничными условиями отличными от обнуления волновой функции на границе.Приведём некоторые контрпримеры.• Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрезке [0, a] с периодическими граничными условиямиψ(0) = ψ(a),ψ (0) = ψ (a),(6.10)то спектр (кроме основного состояния) будет дискретным и двухкратновырожденным (стоячие волны де Бройля: синусы и косинусы с длинойволны, укладывающейся в отрезок целое число раз):h̄2 kn2ψ0 (x) = √1 ; En =, akn = 2πn, n = 1, 2, .
. . ,2ma((ψn+ (x) = a2 cos(kn x), ψn− (x) = a2 sin(kn x).(6.11)E0 = 0,• Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрезке [0, a] с антипериодическими граничными условиямиψ(0) = −ψ(a),ψ (0) = −ψ (a),то основное состояние станет двухкратно вырожденным:En =h̄2 kn2,2makn = π(2n + 1),n = 0, 1, 2, . . .Собственные функции задаются теми же формулами (6.11). При этомодно из двух основных состояний (ψ0+ ) будет менять знак в точке a2 .• Если мы будем решать задачу о спектре свободной частицы на отрезке [0, a] с периодическими граничными условиями со сдвигом фазы,напримерψ(0) = iψ(a), ψ (0) = iψ (a),6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯ171ТЕОРЕМАто очевидно, что среди собственных функций (бегущих волн де Бройля) не будет ни одной вещественной и ни одной обращающейся в нуль.• Нарушение условий единственности решений стационарных уравнений Шрёдингера с данными граничными условиями физически соответствует тому, что область определения разделена бесконечно высокими стенками на несколько кусков, тогда в пределах каждого кускаволновая функция задаётся независимо.
В этом случае осцилляторнаятеорема применима для волновой функции, локализованной в пределах конкретного куска, но не для их объединения.6.2.2. Нули основного состояния*Покажем, что основное состояние не имеет внутренних нулей, т. е. ононе меняет знак на всей области определения.Пусть ψ0 (ψ0 = 1) — основное состояние. E0 — средняя энергия в основном состоянии. Согласно вариационному принципу (см. раздел 4.11.2)основное состояние соответствует минимуму средней энергии системы.Поскольку в одномерном случае дискретный спектр невырожден, состояниесо средней энергией E0 единственно с точностью до числового множителя:E0 = ψ0 |Ĥ|ψ0 = ψ1 |Ĥ|ψ1 ,iαψ1 = e ψ0 ,ψ0 |ψ0 = ψ1 |ψ1 = 1⇒α ∈ R.Состояние, задающееся функцией ψ1 (x) = |ψ0 (x)| = ψ0 (x) sgn(ψ0 (x)),даёт ту же среднюю энергию:42ψ1 |Ĥ|ψ1 = ψ1 (x) − h̄ ψ1 (x) + U (x)ψ1 (x) dx =2m= ψ0 (x) sgn(ψ0 (x))× 2 )*× − h̄ ψ0 (x) sgn(ψ0 (x)) + ψ0 (x) sgn (ψ0 (x)) + U (x)ψ0 (x)sgn(ψ0 (x)) dx =2m2= ψ0 (x) − h̄ ψ0 (x) + U (x)ψ0 (x) dx = ψ0 |Ĥ|ψ0 = E0 .2mДобавки, связанные с δ-функцией (sgn ), обнуляются, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
