Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Резонансное рассеяние*Процесс рассеяния на потенциале можно рассматривать как интерференцию падающей волны и волн, отражённых (возможно многократно)от неоднородностей потенциала. При этом в зависимости от соотношениядлин волн и расстояний между неоднородностями (характерных длин потенциала) интерференция может усиливать или ослаблять отражённую илипрошедшую волну. В результате коэффициенты отражения и прохождениямогут осциллировать при изменении энергии (и волнового числа) падающей волны.Проще всего анализировать подобную ситуацию для случая кусочнопостоянного потенциала, когда все неоднородности являются точечными:представляют собой скачки потенциала.Пусть при данной энергии E волновое число в области (x0 , x0 ++ a)длины a с локально постоянным потенциалом Ua составляет k == h̄1 2m(E − Ua ). Решение стационарного уравнения Шрёдингера в дан-192ГЛАВА 6ной области записывается в видеψa (x) = A cos(kx) + B sin(kx).Если в рассматриваемой области укладывается целое число волн, то внезависимости от A и B значения волновой функции и её первой производнойна концах интервала совпадают:n ∈ Z,ka = 2πn,ψa (x0 ) = ψa (x0 + a),ψa (x0 ) = ψa (x0 + a).Если мы будем сшивать волновую функцию слева и справа от рассматриваемой области, то саму область (x0 , x0 + a) можно удалить, напрямую склеивобласти (−∞, x0 ) и (x0 + a, +∞).

Волновая функция вне вырезанного интервала при этом не изменится. В частности, не изменятся коэффициентыотражения и прохождения.Если в рассматриваемой области укладывается полуцелое число волн,то вне зависимости от A и B значения волновой функции и её первойпроизводной на концах интервала отличаются только знаком:n ∈ Z,ka = π(2n+1),ψa (x0 ) = −ψa (x0 +a),ψa (x0 ) = −ψa (x0 +a).Если мы будем сшивать волновую функцию слева и справа от рассматриваемой области, то саму область (x0 , x0 + a) можно удалить, напрямуюсклеив области (−∞, x0 ) и (x0 + a, +∞), поменяв при этом знак волновойфункции в одной из этих областей. Волновая функция с одной стороны вырезанного интервала при этом не изменится, а с другой — поменяет знак.Коэффициенты отражения и прохождения снова не изменятся.10.80.60.40.2000.20.40.60.81Рис.

6.8. R(E) для прямоугольной ямы при a = 30, h̄ = m = V = 1.Таким образом, при рассмотрении одномерной задачи рассеяния в области постоянного потенциала можно убрать или добавить целое числополуволн без изменения коэффициентов отражения и прохождения.6.3. ОДНОМЕРНАЯ193ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯВ частности, это означает, что при рассеянии на симметричной прямоугольной потенциальной яме (6.6) коэффициент отражения должен обращаться в нуль (при вырезании участка (− a2 , + a2 ) яма как бы исчезает) привыполнении следующего условия:k a = a 2m(E + V ) = πn, n ∈ N.h̄Действительно, если проделать соответствующие выкладки12 , то длятакой ямыR==(k2 − k2 )2 sin2 (k a)(2k k)2 cos2 (k a) + (k2 + k2 )2 sin2 (k a)2mV sin2 (k a)h̄2(2k k)2 cos2 (k a) + (k2 + k2 )2 sin2 (k a)=.При указанных (резонансных) условиях R = 0.При k a ≈ π(n + 12 ) также наблюдается резонанс, но не для прохождения, а для отражения.При работе с кусочно-постоянными потенциалами наличие резонансного рассеяния можно использовать для проверки полученного ответа.12 Читательможет проделать это в качестве упражнения.ГЛАВА 7Эффекты теории измеренийЕсли квантовая теория не потрясла тебя —ты её ещё не понял.Нильс Бор W7.1.

Классическая (колмогоровская) вероятность (л*)Предполагается, что читатель имеет некоторое (на физическом уровне строгости) представление о теории вероятностей. Однако,прежде чем обсуждать тонкие различия квантовых и классических вероятностей, полезнострого сформулировать, что же такое классическая вероятность.На протяжении столетий понятие вероятности формулировалось на полуинтуитивномуровне, как частота случайных событий, чтоРис. 7.1. Андрей Николаевичотсылало нас к плохо определённому поняКолмогоров (1903–1987). Wтию случайности.

Многие математики пытались формализовать это определение.На сегодняшний день мы имеем теорию вероятностей, основные понятия которой были сформулированы А. Н. Колмогоровым в 1933 году вообщебез отсылок к случайности1 , вместо этого вероятность рассматривается какмера (обобщение площади, объёма, массы и вообще количества) на некотором вероятностном пространстве.1 Интересно, что уже после создания аксиоматики теории вероятностей, А.

Н. Колмогоровисследовал возможность формализации понятия случайности, действуя в русле старой, доколмогоровской теории вероятностей. При этом были получены интересные результаты, но задачатак и не была полностью решена.7.1. К ЛАССИЧЕСКАЯ ( КОЛМОГОРОВСКАЯ )ВЕРОЯТНОСТЬ ( Л *)195Интересно, что к моменту создания квантовой теории у математиков ещё не было математически последовательной аксиоматической теории вероятностей. Лишь после возникновения квантовой теории, для которой понятие вероятности является центральным, была создана классическая аксиоматика теории вероятности. При этом классическое пониманиевероятности полезно, но в некоторых случаях недостаточно для квантовойтеории2 .7.1.1.

Определение вероятностного пространства**Вероятностное пространство — это тройка(Λ, Σ, P ),состоящая из непустого множества Λ — пространство элементарных событий, некоторой сигма-алгебры Σ, состоящей из подмножеств множества Λ — множество событий,Λ, ∅ ∈ Σ;∀A, B ∈ Σ : A ∩ B, A ∪ B ∈ Σ,/∀Ak ∈ Σ, k ∈ N :Ak ∈ Σ;k∈Nи вероятностной меры (вероятности) P :P : Σ → [0, 1],P (Λ) = 1,P (∅) = 0.∀A, B ∈ Σ, A ∩ B = ∅ :P (A ∪ B) = P (A) + P (B),⎛⎞/∀Ak ∈ Σ, k ∈ N, k = k ∈ N, Ak ∩Ak = ∅ : P ⎝Ak ⎠ =P (Ak ).k∈Nk∈N7.1.2. Смысл вероятностного пространства*Обсудим смысл введённых выше понятий. Мы имеем пространствоэлементарных событий Λ, однако может оказаться, что некоторые из этихсобытий имеют нулевую вероятность, но конечная вероятность может бытьприписана некоторым диапазонам пространства Λ. Это типичная ситуациядля непрерывного распределения вероятностей.2 К сожалению, гуманитарная культура в понимании вероятности и случайности в массесвоей застряла в наивном классическом детерминизме, не усвоив даже классической вероятности.

См. 2.5.2 «Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф)».196ГЛАВА 7По этой причине, помимо пространства элементарных событий Λ, вводится множество событий Σ, для которых определено значение вероятности. События можно совмещать (пересекать, на языке теории множеств)и объединять. Причём объединять можно как конечные, так и счётные наборы событий. Допустимость таких операций заложена в определение Σ.Мера P — это и есть вероятность.

Она ставит в соответствие событиямчисла от 0 до 1, причём при объединении (конечном или счётном) непересекающихся (взаимно исключающих) событий их вероятности складываются.7.1.3. Усреднение (интегрирование) по мере*Функция на вероятностном пространстве называется случайной величинойA : Λ → R.С помощью вероятностной меры P мы можем определить интегралпо пространству Λ, который задаёт среднее соответствующей случайнойвеличины:A = A(λ) P (dλ).ΛПри этом мы можем понимать это выражение как предел интегральныхсумм (интеграл Лебега), в которых P (dλ) — мера («длина») бесконечнокороткого интервала:P (dλ) = P (λ, λ + dλ] .Такой интеграл (если мы умеем брать обычные интегралы по Λ) можетбыть записан как сумма по элементарным событиям с ненулевой вероятностью и интеграл с некоторым весом (λ) по непрерывной части распределения вероятностей:A(λ) P (dλ) =A(λ) P ({λ}) + A(λ) (λ) dλ.Λλ∈Λ1Λ2Читатель, уже знакомый с квантовой механикой, может легко узнать здесьдискретный спектр Λ1 и непрерывный спектр Λ2 .

Множества, состоящиеиз одной точки имеют ненулевую вероятность, если эта точка принадлежит Λ1 .7.1.4. Вероятностные пространства в квантовой механике (ф*)В квантовой механике вероятностное пространство сопоставляетсякаждому процессу измерения. При этом оно зависит не только от текущего состояния системы (волновой функции ψ или матрицы плотности ρ̂),но и от измеряемой наблюдаемой Â.7.2. С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ197Для каждой наблюдаемой мы можем решить спектральную задачуи получить набор собственных чисел Λ, который является пространствомэлементарных событий, при измерении данной наблюдаемой. Пространство Σ порождается (получается с помощью пересечения и счётного объединения) из всевозможных открытых и замкнутых интервалов на Λ ⊂ R.Также при решении спектральной задачи мы получаем набор проекторов на собственные подпространства, соответствующие каждому из собственных чисел λ. Точнее (особенно при наличии непрерывного спектра)говорить не о наборе проекторов, а о проекторнозначной мере P̂ (см.

раздел 5.3.1), которая сопоставляет каждому «хорошему» подмножеству L ∈ Σпроектор на объединение собственных пространств для всех λ ∈ L.Вероятностная мера P (уже без шляпки!) получается усреднением P̂по квантовому состоянию (ψ или ρ):P (L) = ψ|P̂ (L)|ψилиP (L) = tr(P̂ (L) ρ̂).Среднее (совпадающее с квантовым средним) определяется как интеграл от собственного числа по этой вероятностной мере:ψ|Â|ψ = λ P (dλ) = λ ψ|P̂ (dλ)|ψ,ΛÂρ = tr(Â ρ̂) =Λλ P (dλ) =Λλ tr(P̂ (dλ) ρ̂).ΛПринципиально важно, что вероятностные пространства, возникающие в квантовой механике, зависят от измеряемой величины. Как следуетиз нарушения неравенства Белла, определить вероятностное пространствобез использования измеряемой величины в рамках локальной теории невозможно.7.2. Соотношения неопределённостей7.2.1. Соотношения неопределённостей и (анти)коммутаторыДля пары величин, описывающихся некоммутирующими эрмитовымиоператорами Â и B̂, невозможно задать общий базис собственных функций,т.

е. базис состояний, в каждом из которых обе величины однозначно определены. Это накладывает принципиальные ограничения на одновременнуюизмеримость Â и B̂.198ГЛАВА 7Соотношение неопределённостей позволяет охарактеризовать эти ограничения количественно через среднеквадратичные отклонения.Исследуем величину следующего вида:X = (δA)2 (δB)2 = (Â − Â)2 (B̂ − B̂)2 .Пусть |ψ — некоторое произвольное нормированное на единицу состояние.Определим для данного |ψ смещённые операторы:Â0 = Â − ψ|Â|ψ,B̂0 = B̂ − ψ|B̂|ψ.Для коммутаторов ([·, ·]) и антикоммутаторов ([·, ·]+ ) мы можем написатьследующие очевидные соотношения:[Â, B̂] = iĈ = 0,Ĉ = Ĉ † ,[Â0 , B̂0 ] = Â0 B̂0 − B̂0 Â0 = [Â, B̂] = iĈ,[Â0 , B̂0 ]+ = Â0 B̂0 + B̂0 Â0 = D̂0 ,[Â, B̂]+ = ÂB̂ + B̂ Â = D̂,ψ|D̂0 |ψ = ψ|D̂|ψ − 2ψ|Â|ψψ|B̂|ψ.Теперь X расписывается как произведение скалярных квадратов, для которого существует оценка снизу через скалярное произведение:3X = ψ|Â20 |ψψ|B̂02 |ψ = Â0 ψ|Â0 ψB̂0 ψ|B̂0 ψ |Â0 ψ|B̂0 ψ|2 = |ψ|Â0 B̂0 |ψ|2 .Произведение операторов расписывается через коммутатор и антикоммутатор:Â0 B̂0 = 1 ([Â0 , B̂0 ] + [Â0 B̂0 ]+ ) = 1 (D̂0 + iĈ),2211ψ|Â0 B̂0 |ψ = ψ| 2 (D̂0 + iĈ)|ψ =ψ|D̂0 |ψ + iψ|Ĉ|ψ .2Поскольку операторы Ĉ и D̂0 эрмитовы, средние от них вещественны:2X |ψ|Â0 B̂0 |ψ|2 = 1 ψ|D̂0 |ψ + iψ|Ĉ|ψ =4= 1 ψ|D̂0 |ψ2 + ψ|Ĉ|ψ2 .43 Мы применяем неравенство Коши – Буняковского, согласно которому |ψ|φ| ψ · φ,причём неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда ψ и φ коллинеарны.7.2.

Характеристики

Список файлов книги