Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 38
Текст из файла (страница 38)
С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ199Соотношение X 1 ψ|D̂0 |ψ2 + ψ|Ĉ|ψ2 ,42т. е. (δA) (δB)2 1 [Â0 , B̂0 ]+ 2 + 1 i[Â, B̂]2 ,44(7.1)мы будем называть обобщённым соотношением неопределённостей.Обычно используют более слабое соотношение неопределённостейX 1 ψ|Ĉ|ψ2 ,4т.
е.(δA)2 (δB)2 1 i[Â, B̂]2 .4(7.2)Для пары из оператора координаты и соответствующей компоненты импульса [x̂, p̂] = ih̄, и мы получаем(δx)2 (δp)2 14h̄2 .Обобщённое соотношение неопределённостей (7.1) обычно переписывается через коэффициент корреляции1 [A , B ] 00 +2r==(δA)2 (δB)2 1 [A, B] − AB+2.(δA)2 (δB)2 Перенеся антикоммутатор в левую часть неравенства и выразив его через r, выводим обобщённое соотношение неопределённостей в виде, первоначально полученном Робертсоном и Шрёдингером в 1930 году:i[Â, B̂](δA)2 (δB)2 1.4 1 − r22(7.3)7.2.2.
Так что же мы посчитали? (ф)Так что же мы посчитали? Каков физический смысл полученных соотношений неопределённостей?Во-первых, мы более аккуратно, с учётом всех числовых констант,уточнили и обобщили выводы раздела 2.7.3 «Преобразование Фурье и соотношения неопределённостей». То есть связали между собой среднеквадратичную ширину волновых пакетов по переменным Â и B̂. Тем самым мыполучили ограничение на то, какие вообще бывают состояния, без рассмотрения какого-либо измерения.200ГЛАВА 7Во-вторых, мы ответили на вопрос об экспериментальных неопределённостях, но эти неопределённости соответствуют иному случаю, чемслучай микроскопа Гайзенберга.Рассматривая микроскоп Гайзенберга, мы исследовали случай последовательного измерения координаты и импульса для одной и той же системыи оценивали разброс результатов. То есть мы рассматривали ансамбль одинаковых систем в одинаковом начальном состоянии, над каждой из которыхвыполняется последовательно измерение координаты и импульса.Здесь мы оцениваем квантовомеханический разброс (среднеквадратичные отклонения) наблюдаемых Â и B̂ для одного и того же состояния.
Этосоответствует тому, что мы рассматриваем ансамбль одинаковых системв одинаковом начальном состоянии, над каждой из которых выполняетсяизмерение Â или B̂ (например, измерение координаты или импульса). Тоесть над каждой системой выполняется измерение только одной из двухнекоммутирующих величин, и одно измерение «не мешает» (не изменяет состояние) для другого, поскольку другое измерение производится наддругой (или заново приготовленной) системой.7.2.3.
Когерентные состоянияНаводящие соображения*Исследуем, при каких условиях обобщённое соотношение неопределённостей (7.1) и обычное соотношение неопределённостей (7.2) могутобращаться в равенства.Для того, чтобы обобщённое соотношение неопределённостей (7.1)стало равенством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие2Â0 ψ|Â0 ψB̂0 ψ|B̂0 ψ = Â0 ψ|B̂0 ψ ,что равносильно тому, что векторы Â0 |ψ и B̂0 |ψ были пропорциональныдруг другу.Таким образом, необходимое и достаточное условие обращения обобщённого соотношения неопределённостей в равенство:(αÂ0 + β B̂0 )|ψ = 0⇔(α + β B̂)|ψ = Z|ψZ ∈ C.(7.4)Состояния (7.4) мы будем называть обобщёнными когерентными состояниями для пары операторов Â, B̂.7.2. С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ201Для того, чтобы обычное соотношение неопределённостей обратилосьв равенство, в дополнение к (7.4) следует потребовать обнуления среднегоот антикоммутатора:ψ|[Â0 , B̂0 ]+ |ψ = 0,(αÂ0 + β B̂0 )|ψ = 0 ⇒ (αÂ0 + β B̂0 )2 |ψ = 0 ⇒ψ|α2 Â20 + β 2 B̂02 + αβ[Â0 , B̂0 ]+ |ψ = 0.Получаем, что следующие выражения должны быть равны нулю:α2 Â20 + β 2 B̂02 = −αβ[Â0 , B̂0 ]+ = 0.Â20 и B̂02 неотрицательны, если они отличны от нуля, то2α2 = − B̂0 .β2Â20 Таким образом, отношение коэффициентов оказывается чисто мнимым:01 2α = iγ = ±i12 B̂0 ,0βÂ20 γ0 ∈ R.Подставив в уравнение (7.4), получаем (дальше мы не будем использоватьуравнение на γ0 , нам лишь надо было угадать вид уравнения на ψ)01 21 B̂ (iγ0 Â0 + B̂0 )|ψ = 0, γ0 = ±2 0 .(7.5)Â20 Уравнение когерентных состоянийРассмотрим произвольное состояние вида|χ = (iγ Â0 + B̂0 )|ψ,γ ∈ R.0 χ|χ = ψ|(−iγ Â0 +B̂0 )(iγ Â0 +B̂0 )|ψ = ψ|γ 2 Â20 −iγ[Â0 , B̂0 ]+B̂02 |ψ.202ГЛАВА 7Таким образом, для любого вещественного γγ 2 Â20 + γĈ + B̂02 0.Квадратный трёхчлен в левой части неравенства имеет следующие корни:(−Ĉ ± Ĉ2 − 4Â20 Â2B γ1,2 =.2Â20 Из того, что неравенство выполняется для всех вещественных γ, следует,что эти корни либо комплексные, либо совпадающие, условием чего является неположительность подкоренного выражения, т.
е. соотношение неопределённостей:Ĉ2 − 4Â20 Â2B 0.Таким образом, мы ещё раз вывели соотношение неопределённостей.Если (iγ Â0 + B̂0 )|ψ = 0, то это автоматически означает, что γ = γ1 == γ2 ,4 т. е. соотношение неопределённостей обращается в равенство:(iγ Â0 + B̂0 )|ψ = 0⇔(iγ Â + B̂)|ψ = Z|ψ, Z ∈ C, γ ∈ R. (7.6)Состояния (7.6) мы будем называть когерентными состояниями для парыоператоров Â, B̂. Такие состояния оказываются собственными состояниями неэрмитовых операторов вида iγ Â + B̂.Вопрос о существовании когерентных состояний для той или иной пары операторов мы оставляем открытым.
Для пары операторов координатаимпульс мы ещё вернёмся к нему, в процессе изучения гармоническогоосциллятора.7.2.4. Соотношения неопределённости время-энергия. . . время — это то, что измеряется часами.Г. Бонди, «Гипотезы и мифы в физической теории»С точки зрения преобразования Фурье, пара переменных время-частота должна вести себя так же, как пара переменных координата-волновоечисло.
Или если умножить частоту и волновое число на постоянную Планка, то пара время-энергия должна быть аналогична паре координата-импульс.4 Мыизбавились от отдельного условия на γ0 .7.2. С ООТНОШЕНИЯНЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙ203Эту же аналогию можно ожидать исходя из специальной теории относительности, в которой время — дополнительная координата, энергия —компонента 4-мерного импульса по времени, частота — компонента 4-мерного волнового вектора по времени.Однако рассматриваемая нами (гамильтонова) формулировка квантовой механики предполагает выделение времени из числа пространственновременных координат.
В рассматриваемом формализме время, в отличиеот пространственных координат, — не наблюдаемая (эрмитов оператор),а некоторый числовой параметр. Пространственные координаты проквантовались (стали операторами), а время осталось классическим (числовымпараметром).Описание времени как числового параметра не позволяет описать процесс его измерения. «Время — это то, что измеряется часами» (см. эпиграфк данному разделу). То есть измерение времени — это измерение состояниячасов, а соответствующая наблюдаемая («физическое время»), например, —координата стрелки часов.Оператор «физического времени» τ̂ должен удовлетворять условию5dτ̂ = 1dt⇔[τ̂ , Ĥ] = ih̄.(7.7)Соотношение (7.7) можно заменить более слабым соотношением, представляющим его ограничение на интересующее нас подпространство состояний:dτ̂ = 1 ⇔ [τ̂ , Ĥ] = ih̄.(7.8)dt5 Данное замечание предназначено исключительно тем читателям, которые знакомы с ковариантными и контравариантными векторами применительно к специальной теории относительности.
Векторы и ковекторы в данном случае следует понимать по отношению к линейным преобразованиям координат.∂Если «сократить» уравнение Шрёдингера Ĥψ = ih̄ ∂tψ на волновую функцию, то мыполучим для гамильтониана выражение, аналогичное выражению для импульса с противо∂∂] = −ih̄ даётположным знаком: Ĥ = ih̄ ∂t . Формальное вычисление коммутатора [t, ih̄ ∂tпротивоположный (по сравнению с коммутатором координата-импульс) знак.
Как это совместить с [τ̂ , Ĥ] = +ih̄? Дело в том, что канонические коммутационные соотношения пишутсядля обобщённых координат и импульсов. Обобщённые импульсы в теоретической механикеpα = ∂∂Lследует считать компонентами ковариантного вектора. Однако 4-вектор энергииq̇ αимпульса с компонентами pi = (E, px , py , pz ) — это контравариантный вектор. Таким образом, соответствие коммутатора время-энергия коммутатору координата-импульс должно иметьместо только после того, как у всех компонентов импульса (включая энергию) будут с помощью метрики Минковского опущены индексы: pi = (E, −px , −py , −pz ) = ih̄∇i .
Действительно, компоненты оператора набла образуют ковариантный вектор.204ГЛАВА 7Соотношение неопределённостей для пары операторов τ̂ -Ĥ записывается стандартным образом (7.2):2(δτ )2 (δE)2 h̄ .4(7.9)Как и другие соотношения неопределённости, соотношение времяэнергия может интерпретироваться по-разному.Так что же мы посчитали? (ф)Введя оператор «физического времени», мы, тем самым, предположили, что рассматриваемая квантовая система содержит в своём составе часы.Можно было бы обсудить допустимость включения микро- и макрочасов в состав квантовой системы с точки зрения различных интерпретацийквантовой механики (такое обсуждение было бы практически тождественно обсуждению возможности включения в квантовую систему наблюдателя), однако такие рассуждения лишь уводят в сторону от главного вопроса:«Неопределённость какой именно энергии мы обсуждаем?»Если часы входят в квантовую систему в качестве отдельной подсистемы, слабо взаимодействующей с остальными степенями свободы, то мыможет выделить из суммарного гамильтониана Ĥ гамильтониан часов Ĥч ,гамильтониан оставшейся части Ĥ0 и их взаимодействие V̂ :Ĥ = Ĥч + Ĥ0 + V̂ ,[τ̂ , Ĥч ] = ih̄,[τ̂ , Ĥ0 ] = 0,[τ̂ , V̂ ] = 0.Таким образом, неопределённость энергии системы оказывается на самомделе неопределённостью энергии часов.Таким образом, соотношение неопределённостей время-энергия (7.9)применимо не просто к системе, включающей часы, а к системе, котораясама является часами.Если система не является часами (ф)Если квантовая система не является часами, то вместо «часовой стрелки» можно использовать любые зависящие от времени процессы.
На малыхвременах любая несохраняющаяся наблюдаемая может выступать в роли«физического времени». Для не зависящей явно от времени наблюдаемой Âимеем"#22dÂd = 1 [Â, Ĥ],1h̄222. (7.10)(δA) (δE) i[Â, Ĥ] =44dtih̄dt7.2. С ООТНОШЕНИЯ205НЕОПРЕДЕЛ ЁННОСТЕЙЕсли теперь учесть скорость хода «часов» d , то получаемdt2(δt)2 (δE)2 h̄ .4 (7.11)(δA)2 "#d 2dtПолученное соотношение может быть интерпретировано как связь характерного времени эволюции системы с неопределённостью её энергии.Время жизни и ширина уровня (ф)Важный случай применения соотношения неопределённостей времяэнергия (7.9) — связь времени жизни и ширины энергетического уровнядля квазистационарного состояния.Квазистационарное состояние на малых временах ведёт себя как стационарное состояние, но его амплитуда экспоненциально уменьшается современем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
