Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Полученный результат потом можно будет сравнить с асимптотическим поведением отражённой и прошедшей волн в областях x → ±∞,где потенциал выходит на константу.Мы уже рассматривали движение и расплывание волнового пакета ранее (5.2.6 «Эволюция волнового пакета для свободной частицы»).Любую волновую функцию можно разложить по монохроматическимволнам, используя преобразование Фурье:ψ(x) = √1(6.21)eikx f (k − k0 ) dk.2πВолновой пакет, который нас интересует, должен описываться функциейf (k − k0 ), которая быстро стремится к нулю, когда k удаляется от k0 , тогдаволна будет близкой к монохроматической.Вынеся из под интеграла множитель eik0 x , мы записываем ψ(x) в виде произведения монохроматической волны на медленно зависящую от координаты амплитуду f˜(x), связанную с функцией f (k ) преобразованиемФурье:ψ(x) = eik0 x √1(6.22)eik x f (k ) dk = f˜(x) eik0 x .2πf˜(x)Характерное изменение волнового числа δk, на котором спадает функция f ,должно быть достаточно малым по сравнению с k0 .Волновая функция ψ(x) осциллирует с волновым числом, близким1к k0 , при этом длина волнового пакета δx ∼ δkоценивается из соотношения неопределённостей.Волна с волновым числом k осциллирует во времени с циклическойчастотой ω(k):ei(kx−ω(k) t) .6.3.
ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ185В частности, для свободной нерелятивистской частицыω(k) =2E(k)= h̄k .2mh̄Для исходного волнового пакета получаем(6.23)ei(kx−ω(k) t) f (k − k0 ) dk =ψ(x, t) = √12π= ei(k0 x−ω(k0 ) t) √1ei(k x−[ω(k0 +k )−ω(k0 )] t) f (k ) dk .2πПредположим, что функция f (k ) достаточно быстро спадает с ростомаргумента, чтобы разность частот можно было выразить через производную:dω k = v(k0 ) k .ω(k0 + k ) − ω(k0 ) ≈dk k0 ω0dω dk k0— функция с размерностью скорости, которуюЗдесь v0 = v(k0 ) =далее мы идентифицируем как групповую скорость (для свободной частицыpv(k) = h̄km = m)eik (x−v0 t) f (k ) dk =ψ(x, t) ≈ ei(k0 x−ω0 t) √12π(6.24)f˜(x−v0 t)= f˜(x − v0 t) ei(k0 x−ω0 t) .Таким образом, волновой пакет движется, не меняя формы10 , с групповой скоростью v0 = v(k0 ).Рассеяние волнового пакета*Точно также как выше (6.21), мы построили волновой пакет из монохроматических волн, построим с помощью той же функции f (k − k0 )суперпозицию волновых функций, описывающих рассеяние почти моно10 Чтобы учесть расплывание волнового пакета, разность частот ω(k + k ) − ω(k ) надо00разложить до второй производной по k , чтобы учесть дисперсию (зависимость от волновогочисла) групповой скорости.186ГЛАВА 6хроматических волн:ψ(x) = √1ψk (x) f (k − k0 ) dk,2πψk (x) +2m(E(k)h̄2ikxψk (x) → e− U (x))ψk (x) = 0,+ r(k) e−ikx ,ψk (x) → d(k) eik (k)x ,2 2(6.25)x → −∞,x → +∞,k (k) = h̄1 2m(E(k) − U+ ) =E(k) = h̄ k ,2m|f (k)|2 dk = |f˜(x)|2 dx = 1.'k2 −2mU+h̄2,Если теперь учесть зависимость от времени, дающую для состоянияс энергией E(k) множитель e−iω(k) t , ω(k) =ψ(x, t) = √12πE(k), мы получимh̄ψk (x) e−iω(k) t f (k − k0 ) dk.(6.26)Исследуем асимптотическое поведение ψ(x, t) при x → ±∞.Запишем амплитуды отражения и прохождения в следующем виде:r(k) = |r(k)| eiα(k) ≈ |r(k)| ei(α0 +α1 (k−k0 )) ≈ r0 eiα1 (k−k0 ) ,d(k) = |d(k)| eiβ(k) ≈ |d(k)| ei(β0 +β1 (k−k0 )) ≈ d0 eiβ1 (k−k0 ) .Мы пренебрегли изменением абсолютной величины амплитуд, но учли изменение их фазы до первого порядка по k − k0 .11Проделывая для двух слагаемых асимптотики x → −∞ преобразования, аналогичные преобразованиям, приведшим к бегущему волновомупакету (6.24), получаемx → ∞,ψ(x, t) → √12π(6.27)(eikx + r(k) e−ikx ) e−iω(k) t f (k − k0 ) dk =11 Если учесть зависимость |r| и |d| от k, то это приведёт лишь к искажению формы волнового пакета и необходимости усреднения R(k) и D(k) с весом |f (k − k0 )|2 .6.3.
ОДНОМЕРНАЯ= √12πЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ187ei(kx−ω(k) t) f (k − k0 ) dk +1+√r0 ei(−kx−ω(k) t+α1 (k−k0 )) f (k − k0 ) dk =2π= f˜(x − v0 t) ei(k0 x−ω0 t) + r0 f˜(α1 − x − v0 t) ei(−k0 x−ω0 t) . падающий пакетотражённый пакетМы видим, что при достаточно больших отрицательных значениях x, когдапотенциал уже можно считать константой, падающий волновой пакет, чьяформа описывается функцией f˜(x − v0 t), движется направо по закону x == v0 t. Через рассматриваемую область этот пакет проходит при большихотрицательных временах.Вероятность обнаружить частицу в падающем пакете равна 1:0|ψ(x, t → −∞)|2 dx =|ψ(x, t)|2 dx =|f˜(x)|2 dx = 1.−∞Отражённый пакет имеет форму, описывающуюся функцией f˜(−x −− v0 t + α1 ), он движется через ту же область больших отрицательных x позаконуα x = α1 − v0 t = −v0 t − v 1 .0Вероятность обнаружить частицу в отражённом пакете равна |r0 |2 , т.
е.коэффициенту (вероятности) отражения:0|ψ(x, t → +∞)| dx =2−∞|r0 f˜(−x)|2 dx == |r0 |2|f (k − k0 )|2 dk = |r02 | = R0 .Функцию k (k) мы также разложим до первого порядка по k − k0 :k (k) = k (k0 ) + dk (k − k0 ) = k1 + Ck2 , dk k=k0 k1k2Ck= k = 0.C = dk dk k=k0k1k k=k0188ГЛАВА 6Проделывая для x → +∞ аналогичные преобразования, получаемx → +∞,ψ(x, t) → √12π≈ei(k1 x−ω0 t)1√2π(6.28)d(k) eik (k) x e−iω(k) t f (k − k0 ) dk ≈d0 ei(C(k−k0 ) x−[ω(k)−ω0 ] t+β1 (k−k0 )) f (k − k0 ) dk ≈≈ ei(k1 x−ω0 t) √1d0 eik2 (C x−v(k0 ) t+β1 ) f (k2 ) dk2 =2π= d0 f˜(Cx − v(k0 ) t + β1 ) ei(k1 x−ω0 t) =прошедшая волнаk0˜(x − v1 t) + β1 ei(k1 x−ω0 t) ,= d0 fk1dω v(k0 )dk dωv1 ==.=Cdk k =k1dk dk (6.29)k =k1Таким образом,прошедшийпакет имеет форму, описывающуюся k0˜функцией f k1 (x − v1 t) + β1 , которая сжата по координате, по сравнению с функцией f˜, в kk01 раз, он движется через область больших положительных x по законуβ1 k1β1k1= v1 t − v .x = v1 t − β1= v1 t −0k0v1 k0Вероятность обнаружить частицу в прошедшем пакете равна |d|2т.
е. коэффициенту (вероятности) прохождения:+∞|ψ(x, t → +∞)|2 dx =k1k0 ,2d0 f˜ k0 x dx = |d0 |2 k1 = D0 .k1k00Таким образом, мы проверили, что определённые ранее коэффициенты отражения и прохождения действительно определяют вероятности отражения и прохождения частицы для почти монохроматического волновогопакета.6.3. ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ189Если продолжить законы движения волновых пакетов на малые времена, то окажется, что через точку x = 0 они проходят в ненулевые моментывремени, αv01 и βv01 .Если α1 (v0 − v1 ) + 2v1 β1 = 0, тогда три прямые, изображающие движение трёх волновых пакетов, пересекаются в одной точке и мы можемобратить эти задержки в нуль сдвигом начала координат по x, но в общемслучае эти задержки не могут быть обнулены.Таким образом, рассмотрев рассеяние волновых пакетов, мы не только проверили постановку одномерной задачи рассеяния, но и уточнили её.Теперь помимо амплитуд и коэффициентов отражения и прохождения мыможем определять времена (или длины) задержки волновых пакетов прирассеянии.
Длины задержки можно выразить следующими формуламиα1 (k) = Im1 d r(k),r ∗ (k) dkβ1 (k) = Im1 d d(k).d∗ (k) dkСоответствующие времена получаются делением на групповую скоростьпри x → −∞, т. е. v0 = h̄km.Далее мы рассмотрим эти задержки на примерах рассеяния на ступеньке и δ-яме.Пример: задержка волновых пакетов, рассеянных ступенькой*Вернёмся к рассмотренному ранее процессу рассеяния волнового пакета на ступеньке. Амплитуды прохождения и отражения имеют вид (6.17)d=2k ,k + kr=k − k,k + kE > V,k, k ∈ R.Для энергии выше высоты ступеньки обе амплитуды вещественны, т. е. прошедший и отражённый волновые пакеты выходят из начала координат беззадержки.Для энергии ниже высоты ступеньки d надо положить равным нулю,а амплитуды r можно получить аналитическим продолжением:k − kk − iκ=, E < V, k, κ ∈ R,k + iκk+k'(2mV12κ = h̄ 2m(V − E) =− k = κ21 − k2 ,h̄2d = 0,k=1h̄√2mE,r=190ГЛАВА 6k − i κ21 − k2r(k) =,k + i κ21 − k2r ∗ = 1r ,κ21 = 2mV,h̄2κ4 + 4κ21 k2 − 4k4.α1 (k) = Im 1∗ dr = Im r dr = 2 1r dkdkκ41 κ5040302010000.20.40.60.81Рис.
6.6. α1 (k) — длина задержки для волны, отражённой от ступеньки. Единицаизмерения длины — κ11 .Для высокой ступеньки (κ1 k) получаем2.α1 (k) ≈ κТо есть задержка отражённого волнового пакета соответствует глубине проникновения волны в потенциальный барьер.Пример: задержка волновых пакетов, рассеянных δ-ямой*Вернёмся к рассмотренному ранее процессу рассеяния волнового пакета на δ-яме. Амплитуды прохождения и отражения имеют вид (6.18)d=α1 = κ0k ,k − iκ0κ20 − 3k2,(k2 + κ20 )2r=iκ0.k − iκ0β1 = −κ0k2 − 3κ20.(k2 + κ20 )26.3. ОДНОМЕРНАЯЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ19132.521.510.50012k345Рис. 6.7.
Длина задержки для волны, отражённой (нижний график) и прошедшей(верхний график) через δ-яму. Единица измерения длины — κ10 .В пределе низкой энергии (|κ0 | k) задержки определяются длиной затухания волновой функции в связанном состоянии δ-ямы:α1 ≈ κ1 ,0β1 ≈ κ3 .0В пределе высокой энергии (|κ0 | k) мы получаем уже не задержки, а опережения:κκβ1 ≈ − 20 .α1 ≈ −3 20 ,kk6.3.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
