Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 34
Текст из файла (страница 34)
к. попадают на нулифункции ψ0 (x) и умножаются на значение ψ0 в данных точках.Таким образом, в силу невырожденности дискретных уровней в одномерном случае, состояние ψ1 отличается от исходного состояния ψ0 на4 Комплексноесопряжение не пишем, т. к. волновая функция вещественна.172ГЛАВА 6постоянный множитель, что возможно только когда ψ0 нигде не меняетзнака.Случай периодических граничных условий**Приведённое доказательство можно модифицировать для случая периодических граничных условий на отрезке (6.10), который выше приводилсяв качестве контрпримера.Мы не можем заранее утверждать, что основное состояние невырождено, поэтому состояние ψ1 обязано иметь ту же энергию E0 , но оно можетоказаться основным состоянием.Пространство стационарных состояний с энергией E0 — линейное пространство, так что мы можем наряду с ψ0 и ψ1 рассматривать такие функции, какψ+ (x) =ψ0 + ψ1ψ0 − ψ1= ψ0 (x) θ(ψ0 (x)), ψ− (x) == ψ0 (x) θ(−ψ0 (x)).22Здесь θ(x) = sgnx+1— ступенька.
Функции ψ+ и ψ− совпадают с ψ0 в об2ластях положительного (отрицательного) знака и тождественно равны нулю в областях противоположного знака. Существование отличных от нуляволновых функций, для которых в какой-то точке ψ(x0 ) = ψ (x0 ) = 0, нарушает условия существования и единственности решения стационарногоуравнения Шрёдингера5 , так что предположение о линейной независимостиψ0 и ψ1 не выполняется и мы приходим к выводу, что основное состояниеодномерной системы с периодическими граничными условиями вообще неимеет нулей.Основное состояние должно быть невырожденным, т.
к. две функции, имеющие постоянный знак в одинаковой области (в силуусловия единственности), не могут быть ортогональны друг другу.6.2.3. Вронскиан (л*)Рис. 6.4. Юзеф Вроньский(1776–1853). [1897 г. Felix Valloton. W]Удобным инструментом для исследования зависимости решений дифференциальногоуравнения является вронскиан (определительВроньского), введённый Юзефом Вроньским.5 Нарушение условий единственности упоминалось как один из примеров выше(см. 6.2.1 «Об области применимости теоремы*»).6.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯ173ТЕОРЕМАПоскольку мы изучаем дифференциальные уравнения второго порядка,то и вронскиан нам понадобится второго порядка:ψ ψ W [ψ1 , ψ2 ] = 1 2 = ψ1 ψ2 − ψ2 ψ1 .(6.12)ψ1 ψ2Если вронскиан обратился в ноль в точке x, это означает, что значенияфункций и их первых производных в точке x пропорциональны друг другу.
Для дифференциального уравнения второго порядка, зная функцию и еёпроизводную в точке x, мы можем поставить задачу Коши и найти значения функции на всей оси. Таким образом, если ψ1 и ψ2 являются решениями уравнений Шрёдингера для одного и того же потенциала и дляодной и той же энергии, то (в силу того, что уравнения линейные, однородные, второго порядка) если вронскиан равен нулю в одной точкеW [ψ1 , ψ2 ](x) = 0, то он равен нулю всюду и функции ψ1 и ψ2 пропорциональны друг другу.Докажем более общее утверждение, описывающее зависимость вронскиана от координаты для двух функций, являющихся решениями стационарного уравнения Шрёдингера:W [ψ1 , ψ2 ] = ψ1 ψ2 − ψ2 ψ1 =21(U2 (x) − E2 )ψ2 − ψ2 2m(U1 (x) − E1 )ψ1 == ψ1 2mh̄2h̄2= ψ1 ψ22h̄2[m2 (U2 (x) − E2 ) − m1 (U1 (x) − E1 )].Если m1 = m2 = m и U1 (x) = U2 (x), то соотношение упрощается:W [ψ1 , ψ2 ] = ψ1 ψ22mh̄2[E1 − E2 ].(6.13)Проинтегрировав формулы (6.13), получаемx1W [ψ1 , ψ2 ](x1 ) − W [ψ1 , ψ2 ](x0 ) =2mh̄2[E1 − E2 ]ψ1 (x)ψ2 (x) dx.
(6.14)x06.2.4. Рост числа нулей с номером уровня*Применим формулу (6.14) для изменения вронскиана к двум последовательным нулям x0 < x1 дискретного стационарного состояния ψ1 с энергией E1 . Второе состояние ψ2 пусть также будет дискретным собственнымс энергией E2 > E1 .174ГЛАВА 6Функции ψ1 (x) и ψ2 (x) возьмём вещественные, причём выберем такойзнак, чтобы ψ1 (x) > 0 при x ∈ (x0 , x1 ).0000 [ψ1 (x1 ) ψ2 (x1 ) − ψ2 (x1 ) ψ1 (x1 )] − [ψ1 (x0 ) ψ2 (x0 ) − ψ2 (x0 ) ψ1 (x0 )] = W [ψ1 ,ψ2 ](x1 )0W [ψ1 ,ψ2 ](x0 )0 x1 2m= ψ2 (x1 ) (−ψ1 (x1 )) + ψ2 (x0 ) ψ1 (x0 ) = h̄2 [E1 − E2 ] ψ1 (x) ψ2 (x) dx.<0>0x0Это равенство не может выполняться, если функция ψ2 (x) не меняетзнак на интервале (x0 , x1 ) хотя бы один раз.Таким образом, между любыми двумя нулями функции ψ1 (x) (включая два нуля на границе области определения) найдётся хотя бы одинноль функции ψ2 (x).
Таким образом, число нулей стационарного состояния ψ2 (x), отвечающего большей энергии, строго больше, чем число нулейстационарного состояния ψ1 (x).(*) Принадлежность состояний ψ1 и ψ2 к дискретному спектру важнадля сходимости интеграла лишь в случае бесконечной области интегрируемости.
Если x0 и x1 конечны, то от этого условия можно отказаться. Такимобразом, между любыми двумя нулями вещественной функции непрерывного спектра также будет хотя бы один ноль другой вещественной собственной функции, отвечающей большей энергии.6.2.5. Сокращение числа нулей*Для того, чтобы завершить доказательство осцилляторной теоремы(после того, как мы доказали рост числа нулей с ростом энергии), намосталось показать, что если для некоторого одномерного гамильтониана вида (6.1) существует дискретное стационарное состояние ψn с энергией En ,имеющее n внутренних нулей, то найдётся дискретное стационарное состояние ψn−1 того же гамильтониана с числом внутренних нулей, равным n−1.Пусть xk , k = 1, .
. . n, — внутренние нули функции ψn . x0 и xn+1 —границы области определения. Пусть нули пронумерованы в порядке возрастания:−∞ x0 < x1 < . . . < xn < xn+1 +∞.внутренние нулиЕсли разделить ось x на n+1 интервалы (xk , xk+1 ) (k = 0, . . . , n), поставивв точках xk (k = 1, . . .
, n) бесконечно высокие стенки, то в каждой из n + 16.2. О СЦИЛЛЯТОРНАЯТЕОРЕМА175получившихся потенциальных ям мы будем иметь дискретный спектр, длякоторого состояниеψnk (x) = I(xk ,xk+1 ) (x) · ψn (x),k = 0, . . . , n(характеристическая функция определена уравнением (3.10)), полученноеограничением ψn на соответствующий интервал, станет основным, т. к. ψn ,ограниченное на соответствующий интервал, уже не имеет внутренних нулей.Покажем, при помощи вариационного принципа (см. раздел 4.11.2),что при расширении одной из ям за счёт отодвигания стенки энергия основного состояния строго убывает.
При расширении ямы номер k средняяэнергия, вычисленная для состояния ψnk , не изменится, т. к. мы просторасширим область интегрирования вне (xk , xk1 ), туда где ψnk (x) ≡ 0. Таким образом, энергия основного состояния не увеличится. Однако функция ψnk (x) не может доставлять минимум гамильтониану расширеннойямы, т. к. она тождественно равна нулю на интервале, на который отодвинулась стенка, не удовлетворяет на этом интервале условию единственности и не может быть собственной функцией.
Значит энергия основногосостояния при расширении ямы станет строго меньше.Если мы будем двигать стенки, то между двумя стенками спектр всегдабудет только дискретным, а значит будет дискретным и основное состояние.Между стенкой и бесконечной точкой (если x0 = −∞, или xn+1 == +∞) дискретный спектр заведомо сохранится, если мы не будем сдвигать крайнюю левую стенку левее x1 , а крайнюю правую — правее xn ,т. к. асимптотика на бесконечности не может «испортится» при пониженииуровня энергии.Чтобы доказать существование состояния ψn−1 , над достаточно показать, что мы можем выкинуть одну из n стенок, которые мы поставилив точки xk , а оставшиеся так расставить на интервале (x1 , xn ) в точках yk(k = 1, . . .
, n−1), чтобы энергии основных уровней во всех n ямах совпалидруг с другом. Тогда искомую функцию всегда можно записать как линейную комбинацию функций основных состояний ψn−1,k (k = 0, . . . , n − 1)в ямах между новыми положениями стенок:ψn−1 (x) =n−1cn−1,k ψn−1,k (x).k=0Значения функций ψn−1,k (x) вне соответствующих интервалов (yk , yk+1 )равны нулю, а коэффициенты cn−1,k подбираются так, чтобы обеспечитьв точках yk непрерывность первой производной ψn−1.176ГЛАВА 6Покажем, что расстановка n−1 стенки, при которой энергия основныхсостояний во всех n ямах одинакова, действительно существует.
Для этогомы сделаем естественное предположение, что энергия основного состояниянепрерывно зависит от положения бесконечно высоких стенок, её ограничивающих.Пусть стенки перемещаются по следующим правилам:0) Начнём с конфигурации с выкинутой первой стенкой. То есть пустьстенки стоят в точках yk (0) = xk+1 (k = 1, . . .
, n − 1).1) На шаге номер k (k = 1, . . . , n − 1) мы передвигаем стенку номер k влево настолько, чтобы уравнять энергии основных состояний в ямахсправа и слева от справа от неё. В результате мы получаем конфигурациюстенок yk (1), в которой энергии основных состояний в яме k монотонновозрастают справа налево при k = 0, . . . , n − 2, а в последних двух ямахосновные уровни совпадают, причём En−1,n−2 (1) = En−1,n−1 (1) < En .2) Повторяем шаг 1) бесконечно много раз.3) В результате все мы получаем некоторую предельную конфигурацию стенок yk (k = 1, .
. . , n−1). Предел обязан существовать, т. к. все стенки сдвигаются только влево, и не одна и из них не сдвигается левее, чем x1 ,т. к. сдвиг левее, чем x1 , означает, что En−1,0 > En , что невозможно.6.2.6. Завершение доказательства*Мы показали, что если состояние дискретного спектра имеет n внутренних нулей, то мы можем построить состояние, имеющее n − 1 нуль.Уменьшая число нулей на каждом шаге на один, мы убеждаемся, что в дискретном спектре число внутренних нулей меняется с шагом единица отнуля (для основного состояния) до некоторого максимального числа илибесконечности.Доказанное ранее утверждение, что число нулей в непрерывном спектре растёт с ростом энергии, теперь означает, что число нулей нумеруетдискретные уровни подряд в порядке возрастания энергии.Нули функции ψn+1 должны чередоваться с нулями ψn , т.
к. нам нуженнуль на каждом промежутке между нулями функции ψn , а таких промежутков имеется ровно n + 1.Таким образом, осцилляторная теорема доказана.6.3. Одномерная задача рассеяния6.3.1. Постановка задачиВ одномерном случае, когда потенциал на бесконечностях имеет конечные пределы, может быть поставлена одномерная задача рассеяния, в кото-6.3. ОДНОМЕРНАЯ177ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯрой для падающей частицы с определённой энергий надо определить с какой вероятностью она пройдёт через потенциал, а с какой вероятностьюотразится обратно.ikxU(x), Eeik'xdere–ikxU1U+U–xU0Рис.
6.5. Асимптотики волновой функции на бесконечностях в одномерной задачерассеяния.Одномерная задача рассеяния ставится для энергии из непрерывногоспектра, причём, как мы увидим далее, нетривиальное решение возможнотолько для вырожденного значения энергии.Одномерная задача рассеяния ставится как задача определения асимптотики на бесконечности (там, где потенциал выходит на константу) решения стационарного уравнения Шрёдингера определённого вида:ψ +2m(Eh̄2ψ(x) →− U (x)) = 0,ikxe+падающая волнаψ(x) →ik xd e (6.15)−ikxr e ,k=x → −∞,x → +∞,прошедшая волна1h̄,отражённая волна2m(E − U− ),k =1h̄2m(E − U+ ).Из задачи (6.15) определяются амплитуда отражения r и амплитудапрохождения d.
Падающая, отражённая и прошедшая волны ненормируемы на 1. Падающая волна отнормирована на единичную (относительную)вероятность на единицу длины. В отражённой и рассеянной волнах вероятность (относительная) на единицу длины составляет |r|2 и |d|2 . В падающей178ГЛАВА 6и отражённой волнах частица имеет импульс +h̄k и −h̄k. В прошедшейволне — +h̄k .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
