Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Т. е.αk = αk , k = k ,Â|ϕk = αk |ϕk ,причём k — дискретный параметр.Набор ϕk образует ортогональный базис, элементы которого можнонормировать на единицу, т. е.ϕk |ϕk = δkk ,|ϕk ϕk | = 1̂.(5.32)(5.33)kМы можем описать измерение, определяющее значение физической величины Â, т. е. определяющее в каком из состояний ϕk находится система,следующим образом:• P̂k = |ϕk ϕk | — проектор на состояние ϕk ;• проекторы описывают взаимоисключающие исходы, поскольку (из-заортогональности состояний ϕk ) P̂k P̂k = P̂k δkk ;• pk = ψ|P̂k |ψ = ψ|ϕk ϕk |ψ — вероятность того, что в результатеизмерения система будет найдена в состоянии ϕk и, соответственно,попадёт в это состояние (см.
(4.29));• эрмитов оператор P̂k можно трактовать как наблюдаемую, отвечающую на вопрос «равна ли величина Â значению αk (да=1, нет=0)?»,или «какова вероятность того, что Â равняется αk ?»8 ;• 1̂ = k P̂k — представление единичного оператора в виде суммы проекторов;• используя предыдущий пункт, мы можем разложить исходную волновую функцию ψ по базису состояний ϕk :|ψ = 1̂|ψ =|ϕk ϕk |ψ =ϕk |ψ |ϕk ;P̂k |ψ = kkчислоk8 Вероятность задаётся как среднее от оператора P̂ , а измерение наблюдаемой P̂ всегдаkkдаёт 0 или 1, поскольку только эти числа являются собственными, и только такие значениявероятности мы можем измерить в единичном опыте: вероятность после измерения всегдаравна либо 1 (событие произошло), либо 0 (событие не произошло).150ГЛАВА 5• коэффициенты разложения ψ по ϕk равны ϕk |ψ и задают соответствующие амплитуды вероятностей, как и положено компонентам волновой функции;• под действием проектора P̂k исходное состояние ψ превращаетсяв нормированное на вероятность состояния φk из раздела 4.5.2:P̂k |ψ = |ϕk ϕk |ψ = ϕk |ψ |ϕk = φk ; число• оператор наблюдаемой может быть представлен в виде Â =kαk P̂k .Вырожденный дискретный спектрСлучай вырожденного дискретного спектра отличается от невырожденного тем, что некоторым собственным числам соответствует нескольколинейно независимых собственных функций, т.
е.Â|ϕkc = αk |ϕkc ,αk = αk , k = k .Дискретный параметр c = 1, . . . , nk нумерует собственные функции, отвечающие данному собственному числу αk .Мы снова можем выбрать набор ϕkc так, чтобы он задавал ортонормированный базис, т. е.ϕkc |ϕk c = δkk δcc ,|ϕkc ϕkc | = 1̂.k(5.34)(5.35)cВ правилах из списка в разделе «Невырожденный дискретный спектр»следует заменить только первый пункт.Рассмотрение измерения для случая дискретного вырожденного спектра отличается только определением набора проекторов на собственные подпространства оператора Â, отвечающих выбранным k:P̂k =|ϕkc ϕkc |,tr P̂k = nk .cТеперь проектор P̂k отображает волновые функции на подпространствоkразмерности nk , натянутое на векторы из набора {|ϕkc }nc=1.Параметр c ∈ Uk может быть и непрерывным, в этом случае изменяется условие нормировки состояний, поскольку суммы по c заменяются5.3.
И ЗМЕРЕНИЕ151интегралами:ϕkc |ϕk c = δkk δ(c − c ),|ϕkc ϕkc |dc = 1̂,k Uk(5.36)(5.37)|ϕkc ϕkc |dc.P̂k =(5.38)UkНепрерывный спектрСобственные состояния непрерывного спектра нормируются уже не наδ-символ, а на δ-функцию. В случае невырожденного спектра мы имеем:Â|ϕα = α|ϕα ,ϕα |ϕβ = δ(α − β),|ϕα ϕα | dα = 1̂.Функции |ϕα как всякие функции непрерывного спектра не являютсяволновыми функциями из пространства H.9Мы можем формально написать оператор p̂α = |ϕα ϕα |, но этот оператор отображает почти все элементы H на векторы, пропорциональные|ϕα , т.
е. не попадающие в H. Однако среднее от оператора p̂α задаёт плотность вероятности обнаружения значения наблюдаемой Â, близкого к α:(α) = ψ|p̂α |ψ.Функция (α) определена почти при всех значения α, однако непосредственный физический смысл имеет не она, а интегралы от неё:⎛ b⎞bP[a,b] = (α) dα = ψ| ⎝ |ϕα ϕα | dα⎠ |ψ = ψ|P̂[a,b] |ψ.a9 Собственныеaсостояния непрерывного спектра не попадают в пространство состояний|ϕα ∈ H, но попадают в оснащённое гильбертово пространство |ϕα ∈ D (4.37). То естьдля почти всех состояний (|ψ ∈ D, D плотно в H) определено скалярное произведениеϕα |ψ. А также наоборот: скалярное произведение ψ(α) = ϕα |ψ определено для всех|ψ ∈ H и почти всех α. Это скалярное произведение задаёт функцию ψ(α), которая представляет разложение вектора |ψ по базису |ϕα .
Функция α → ψ(α) квадратично интегрируема(принадлежит L2 (R)), а элементы пространства L2 (R) определены с точностью до множестваточек лебеговой меры ноль.152ГЛАВА 5Интеграл от «нехорошего» оператора p̂α уже является «хорошим» оператором-проектором (см. раздел 3.1.4 «Распределения вероятностей и волновыефункции при измерении»):bP̂[a,b] =b|ϕα ϕα | dα.p̂α dα =aaКогда проектор P̂[a,b] действует на волновую функцию, представленнуюв как функция α, то из волновой функции «вырезается кусок» [a, b], а внеэтого отрезка волновая функция обнуляется (3.9) (проверьте, используяψ(α) = ϕα |ψ).Удобно определить проекторнозначную функцию P̂ (a) = P̂(−∞,a] .
С еёпомощью мы можем определить проекторы, отвечающие отрезкам:P̂(a,b] = P̂ (b) − P̂ (a).Такая функция хороша тем, что при всех значениях аргумента мы имеем«хорошие» (и даже ограниченные) эрмитовы операторы и можем, используяих, не задумываться о сложностях работы с непрерывным спектром.Как и в случае дискретного спектра, мы можем определить исходныйоператор Â через собственные числа и проекторы, но теперь вместо суммынадо писать интеграл:Â = α |ϕα ϕα | dα.(5.39)Проекторнозначная мера**Последний интеграл (5.39) не совсем обычен, поскольку является пределом интегральных сумм, в которых вместо длин отрезков служат проекторы:αk+1αk|ϕα ϕα | dα =αk (P̂ (αk+1 ) − P̂ (αk )).kkαkЭто напоминает используемое в теории вероятности понятие интеграла помере, но в обычном интеграле по мере используется числовая, а не проекторнозначная функция:f (x) μ(dx) = limf (xk )(M (xk+1 ) − M (xk )).δx→0k5.3.
И ЗМЕРЕНИЕ153Здесь μ(dx) = M (x + dx) − M (x) — мера. Мера конечного полуинтервалаимеет вид μ((a, b]) = M (b)−M (a). Для гладкой монотонно-возрастающейфункции M интеграл по мере сводится к обычному интегралу:f (x) μ(dx) = f (x) M (x) dx,для гладкой функции M мера любой точки равно нулю.Однако, если монотонно-возрастающая кусочно-гладкая функция Mимеет скачки, то мера точки скачка отлична от нуля μ({a}) = M (a+) −− M (a−). Интеграл по мере теперь состоит из двух членов: обычного интеграла и взвешенной суммы по точкам скачков xkf (x) μ(dx) = f (x) M (x) dx +f (xk ) μ({xk }).xkТакого рода интегралы нам уже встречались, когда мы рассматривали операторы, имеющие как дискретный спектр, так и непрерывный спектр.Аналогично мы можем определить проекторнозначную меру с помощью монотонно-возрастающей проекторнозначной функции P̂ (α).Монотонность проекторнозначной функции означает, что с ростом αрастёт подпространство, на которое проецирует проектор: P̂ (α)H ⊃⊃ P̂ (β)H, если α > β.
Это свойство удобно записать так:P̂ (α)P̂ (β) = P̂ (β)P̂ (α) = P̂ (min(α, β)).Как и функция M , функция P̂ может испытывать скачки в точках, отвечающих дискретному спектру:P̂ ({αk }) = P̂ (αk +) − P̂ (αk −) = 0.Интеграл по проекторнозначной мере позволяет представить эрмитов оператор в виде интеграла, который сводится и интегралу по непрерывномуспектру и сумме по дискретному:Â = α(k) P̂A (dk) =α |ϕα ϕα | dα +α |ϕα ϕα |.α∈Uα∈WПроекторнозначная мера P̂A (индекс A показывает, с каким эрмитовымоператором эта мера связана) позволяет рассматривать единым образомдискретный и непрерывный спектры. При этом все рассматриваемые операторы являются эрмитовыми операторами на H и нам нет необходимостиобращаться к оснащённому гильбертовому пространству.154ГЛАВА 55.3.2.
Селективное и неселективное измерение*Выше мы уже упоминали, что квантовое измерение происходит внезависимости от того, смотрит ли наблюдатель на стрелку прибора и естьвообще ли у прибора стрелка (2.3.2 «На наших глазах . . . »).В разделе 5.3.1 «Проекционный постулат» мы предполагали, что результат измерения известен, и сохраняли в волновой функции или матрицеплотности только ту часть, которая соответствует случившемуся результатуизмерения. Это селективное измерение.Неселективное измерение не даёт наблюдателю информации о том, чему равна измеряемая величина. Наблюдатель лишь знает чему равна вероятность того или иного исхода.
Для каждого конкретного исхода он мог бызадать волновую функцию, но он не знает какой именно исход состоялся.Любое измерение до того, как оно проведено, или до того, как до насдошла информация об исходе измерения, следует рассматривать какнеселективное.Состояние после неселективного измерения в случае общего положения описывается не волновой функцией, а матрицей плотности, даже еслипервоначальное состояние было чистым.При известном исходе измерения k (селективное измерение) нормированная на вероятность матрица плотности после измерения выражается какρ̂k = P̂k ρ̂до P̂k ∈ Hk ⊗ Hk∗ ,tr ρ̂k = pk .При неизвестном исходе измерения (неселективное измерение) нам надопросуммировать матрицы плотности по всем возможным исходам:ρ̂н. с. =tr ρ̂н.
с. = 1.(5.40)P̂k ρ̂до P̂k ,kВеса, соответствующие вероятностям исходов, здесь не нужны, т. к. ρ̂k нормированы на вероятности.Если матрица плотности записана в базисе собственных векторов измеряемой величины, то после неселективного измерения матрица становится блочно-диагональной — все диагональные блоки, отвечающие определённому k, сохраняются, все недиагональные блоки обнуляются.Матрица до измерения: ρ̂ = 1̂ρ̂1̂ =P̂k ρ̂P̂k =P̂k ρ̂P̂k .kkk,k 5.3.
И ЗМЕРЕНИЕ155Недиагональные слагаемыеP̂k ρ̂P̂k ,k = k ,после измерения обнуляются и из двойной суммы остаётся сумма диагональных элементов (5.40). Можно сказать, что неселективное измерениеобнуляет члены, связанные квантовой интерференцией, но не трогает членов, связанных с классическими вероятностями.(ф) Состояние системы после селективного измерения в принципе непредсказуемо (можно предсказать лишь вероятности исходов). Состояниесистемы после неселективного измерения, заданное как матрица плотности, предсказуемо заранее, оно содержит все возможные результаты измерений.(фф*) В литературе при обсуждении процедуры измерения много путаницы между селективным и неселективным измерением. В частности,вопрос о природе выбора системой того или иного исхода измерения (т.
е.вопрос о квантовых вероятностях, имеющий смысл только для селективного измерения) часто (почти всегда) подменяется выводом в том или иномприближении формулы (5.40) для неселективного измерения.5.3.3. Приготовление состоянияПроцедура измерения превращает состояние системы в собственноедля некоторого эрмитового оператора (наблюдаемой). Формально мы можем придумать эрмитов оператор P̂φ , для которого собственным состоянием будет любое наперёд заданное состояние |φ, причём данное состояниебудет невырожденным, например:P̂φ = |φφ|.При измерении наблюдаемой P̂φ мы получаем одно из двух значений: либо 0, либо 1 (мы считаем, φ = 1).
В последнем случае система попадаетв состояние |φ.Таким образом, имея исходную систему в произвольном состояниии измеряя некоторую, специально подобранную физическую величину, мыпри благоприятном исходе измерения помещаем систему в нужное нам состояние.Описанная процедура измерения с последующим отбором называетсяприготовлением состояния.Например, мы можем приготовить фотоны в состоянии с определённой линейной поляризацией, пропустив их через поляризатор. Часть156ГЛАВА 5фотонов при этом окажется забракованной (поглотится или отразится, в зависимости от устройства поляризатора).Разумеется, приготовление состояния срабатывает не всегда, а с вероятностью |ψ|φ|2 , которая в случае общего положения отлична от нуля.Не всегда удаётся придумать физический эксперимент, измеряющийискусственно сконструированную наблюдаемую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
