Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Входящий в него оператор ddττ =0Ĥ.сывать как ih̄ОператорdÛτ Ĥ = ih̄dτ (5.9)τ =0называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом3 .Можно провести следующую аналогию с обычными поворотами:• Ûτ — матрица поворота пространства состояний.• Ĥ — матрица угловой скорости.ih̄Мы можем легко обобщить понятие гамильтониана и на случай неавтономных систем, эволюция которых зависит от времени. В этом случае мыполучаем оператор Гамильтона явно зависящий от времени:ψ(t + τ ) = Û (t + τ, t)ψ(t),d ψ(t) = dÛ (t + τ, t) ψ(t) = 1 Ĥ(t)ψ(t),dtdτih̄τ =0dÛ (t + τ, t) .Ĥ(t) = ih̄dττ =03 Какоднажды сказал французский физик русско-еврейского происхождения Анатоль Абрагам: «Гамильтониан — армянская фамилия». Сходство усугубляется тем, что в англоязычнойлитературе слово «Hamiltonian» всегда пишется с большой буквы.5.1.
К ВАНТОВАЯМЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ131Из унитарности оператора эволюции легко получить эрмитовость гамильтониана:††Ĥ†Û (t + dt, t) = 1̂ + dt+ o(dt) = 1̂ − dt Ĥ + o(dt),(5.10)ih̄ih̄Û † (t + dt, t) = Û −1 (t + dt, t) =−1= 1̂ + dt Ĥ + o(dt)= 1̂ − dt Ĥ + o(dt)ih̄ih̄⇒Ĥ = Ĥ † .Мы определили гамильтониан через оператор эволюции, но можнолегко написать дифференциальное уравнение и начальное условие, для оператора эволюции, через гамильтониан:d Û (t , t ) = 1 Ĥ(t )Û (t , t ),Û (t0 , t0 ) = 1̂.(5.11)1 011 0dt1ih̄Для случая автономной системы, когда гамильтониан не зависит отвремени, получаем выражение оператора эволюции через операторную экспоненту−iĤ·(t1 −t0 ).(5.12)Û (t1 , t0 ) = Ût1 −t0 = e h̄Автономная эволюция (с не зависящим от времени гамильтонианом) —вращение пространства состояний с постоянной угловой скоростью.Похожие экспоненты неоднократно встретятся нам в дальнейшем прирассмотрении различных симметрий.
Как мы увидим ниже, оператор эволюции для автономной системы можно рассматривать как оператор симметрии сдвига по времени, а гамильтониан — как генератор этой симметрии.Для многих простых систем квантовый гамильтониан может быть получен из классической функции Гамильтона (т. е. энергии, выраженнойчерез координаты и импульсы) путём «добавления шляпок», т. е.
заменой классических координат и импульсов на соответствующие операторы.Обоснование такого соответствия приводится в разделе 5.2.7 «Скобка Пуассона и коммутатор*». Квантовые операторы координаты и импульса будутвведены в разделе 11.3.2 «Обобщённый импульс».5.1.5. Уравнения Шрёдингера, временны́е и стационарныеВременно́е уравнение ШрёдингераĤψ(t) = ih̄ d ψ(t)dtописывает временну́ю эволюцию волновой функции.132ГЛАВА 5Стационарное уравнение Шрёдингера имеет видĤψE = EψE .Это просто уравнение на собственные функции и собственные числа дляоператора Гамильтона.Если подставить решение стационарного уравнения Шрёдингера вовременное, то получаетсяih̄ d ψE (t) = ĤψE (t) = EψE (t),dt−ψE (t) = eiE·th̄ψE (0).Временная эволюция стационарного состояния сводится к вращению с уг− h̄i E·t.ловой скоростью ωE = Eh̄ фазового множителя eВсе средние для стационарного состояния имеют вид−At = ψE (t)|Â|ψE (t) = e=iiE·t− E·th̄ψE (0)|Â|e h̄ ψE (0)ii+ E·t− E·tψE (0)|e h̄ Âe h̄ |ψE (0)== ψE (0)|Â|ψE (0) = A0 .Таким образом, среднее от любого оператора по стационарному состояниюне зависит от времени.
Это и даёт основание называть такое состояние стационарным. При этом следует иметь в виду, что состояние остаётся неизменным только до тех пор, пока над ним не совершаются измерения, илидругие внешние возмущения4 . Если мы переопределим гамильтониан, введяĤ = Ĥ + E0 1̂,(5.13)то для нового гамильтониана Ĥ стационарные состояния останутся стационарными, но их уровни энергии сдвинутся на E0 . Таким образом мы можем сдвинуть любой уровень энергии в нуль, после чего соответствующеестационарное состояние перестанет зависеть от времени.
Такое переопределение гамильтониана не изменит средних значений и матричных элементов каких бы то ни было физических величин. Это означает, что нулевой4 Если мы попробуем измерить в стационарном состоянии физическую величину, отвечающую какому-то оператору, чьё значение в данном состоянии не определено (другими словами, если измеряемая величина не сохраняется в данной системе), то это измерение можетс разными вероятностями дать разные значения величины, кроме того, при этом оно изменитсостояние так, что оно перестанет быть стационарным, и тогда следующее измерение той жевеличины спустя некоторое время может дать уже другое значение.5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ133уровень энергии в квантовой механике определяется столь же произвольно,сколь и в классической5.Собственные функции гамильтониана, также как и любого эрмитовогооператора, образуют базис. Таким образом, любая волновая функция может быть разложена по стационарным состояниям.
Суперпозиция стационарных состояний, отвечающих разным уровням энергии, уже не являетсястационарным состоянием. Такое состояние зависит от времени нетривиальным образом:−αψ1 (t) + βψ2 (t) = αψ1 (0)e=i− E1 te h̄(αψ1 (0)iE th̄ 1+ βψ2−+ βψ2 (0)eiE th̄ 2=i(E1 −E2 )t(0)e h̄).Существенная часть временной эволюции (влияющая на средние и матричные элементы) зависит только от разности энергий, поскольку общийiфазовый множитель e− h̄ E1 t не несёт физического смысла (и может бытьизменён сдвигом нулевого уровня энергии).5.2.
Разные представления временной (унитарной)эволюции квантовой системыВременная (унитарная) эволюция системы в отсутствие измеренияописывается семейством унитарных преобразований Û (t1 , t0 ) (см. раздел 5.1.1). Опираясь на материал главы 11 «Симметрии-1 (теорема Нётер)»мы можем сказать, что унитарная эволюция представляет собой преобразование симметрии, порождённое оператором энергии (гамильтонианом).5.2.1. Унитарная эволюция: активная или пассивная*Как и любое преобразование симметрии, унитарная эволюция можетбыть представлена в двух естественных интерпретациях:• как активное преобразование, т.
е. преобразование, меняющее векторысостояния в некотором фиксированном базисе;• как пассивное преобразование, т. е. преобразование, меняющее базис,но оставляющее сами векторы состояния неизменными.5 В релятивистской квантовой теории (квантовой теории поля), как и в классической релятивистской теории, нулевой уровень энергии уже не может задаваться произвольно, посколькупреобразования Лоренца «перемешивают» энергию с импульсом.134ГЛАВА 5Базисные векторы мы нумеруем собственными числами некоторых эрмитовых или унитарных операторов.
Таким образом, если мы хотим, чтобыбазис собственных функций зависел от времени, то от времени должнызависеть операторы, с помощью которых мы определяем базис.5.2.2. Пространство состояний в разные моменты времени*Гильбертово пространство состояний квантовой системы H в разныемоменты времени t следует считать различными пространствами состоянийHt , поскольку у нас нет естественного способа сопоставить друг другусостояния в разные моменты времени:• линейная комбинация векторов состояния в разные моменты временине имеет физического смысла;• унитарная эволюция системы является естественным кандидатом на«способ отождествления состояний в разные моменты времени», но:– унитарная эволюция зависит от выбора гамильтониана;– даже нефизические преобразования (симметрии) гамильтонианамогут менять эволюцию системы, например:∗ переход в движущуюся систему координат не меняет физическую эволюцию системы, но делает ранее независящее отвремени состояние зависящим;∗ сдвиг нулевого уровня энергии также делает ранее независящее от времени состояние зависящим;∗ калибровочное (градиентное) преобразование электромагнитного поля, не меняя физического состояния системы, меняет её описание в данный момент времени и описание еёэволюции.Таким образом, описание временной эволюции квантовой системы допускает произвол в выборе базиса в каждый момент времени.
Если мыхотим сохранить непрерывность, то произвол можно описать одним произвольным унитарным оператором, непрерывно зависящим от времени.5.2.3. Представления Шрёдингера, Гайзенберга и взаимодействияМы никогда не работаем непосредственно с векторами состояния квантовых систем: все измеримые величины выражаются через матричные элементы тех или иных линейных операторов (скалярное произведение тоже5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ135можно рассматривать как матричный элемент единичного оператора). Еслизависимость от времени волновой функции задаётся оператором эволюции,то матричный элемент оператора Â(t) в момент времени t задаётся следующим образом:ϕ|Â|ψt = ϕ(t)|Â(t)|ψ(t) = ϕ(0)|Ût† Â(t)Ût |ψ(0).(5.14)Для нас не важна временная эволюция векторов состояния или операторовсамих по себе, но матричные элементы не должны зависеть от того, в какомпредставлении мы их вычисляем.Если динамика системы описывается как эволюция вектора состояния,а временная зависимость операторов A(t) никак не связана с динамикойсистемы, т.
е. |ψш (t) = |ψ(t) = Ût |ψ(0)⇔ ρ̂ш (t) = Ût ρ̂(0)Ût† ,Âш (t) = Â(t)— это представление Шрёдингера.Именно представлением Шрёдингера мы пользовались выше в разделах 5.1.1 и 5.1.4, когда писали уравнение Шрёдингера для зависящей отвремени волновой функции.Если динамика системы описывается как эволюция оператора, а векторсостояния (или матрица плотности) никак не зависит от времени, т. е.|ψг = |ψ(0) = |ψш (0)Âг (t) =Ût† Â(t)Ût=(⇔ρ̂г = ρ̂(0) = ρ̂ш (0)),Ût† Âш (t)Ût— это представление Гайзенберга.Хотя состояния и операторы в представлениях Гайзенберга и Шрёдингера эволюционируют по-разному, в нулевой момент времени они совпадают, а матричные элементы совпадают во все моменты времени:ϕш (t)|Âш (t)|ψш (t) = (ϕ(0)|Ût† )Â(t)(Ût |ψ(0)) == ϕ(0)|(Ût† Â(t)Ût )|ψ(0) = ϕг |Âг (t)|ψг .Мы видим, что два выражения для матричных элементов, расписанныхс помощью оператора эволюции, различаются лишь расстановкой скобок.Мы можем ввести также некоторое представление, промежуточноемежду представлениями Шрёдингера и Гайзенберга и обобщающее оба136ГЛАВА 5этих представления — представление взаимодействия (представлениеДирака):(0)†|ψв (t) = Ûtρ̂в (t) =Âв (t) =(0)†|ψш = ÛtÛt |ψг ,(0)†(0)(0)†(0)Ût ρ̂ш (t)Ût = Ût Ût ρ̂г Ût† Ût ,(0)†(0)(0)†(0)Ût Âш (t)Ût = Ût Ût Âг (t)Ût† Ût .(5.15)[∗](5.16)(5.17)В случае Û (0) = 1̂ представление взаимодействия совпадает с представлением Гайзенберга, а в случае Û (0) = Û — с представление Шрёдингера.Название «представление взаимодействия» связано с наиболее распространённым способом его использования, когда в качестве операто(0)ра Ût берут оператор эволюции, для гамильтониана без учёта взаимодействия, каких-либо подсистем — «невозмущённый гамильтониан» Ĥ0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
