Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. существуютсобственные числа сколь угодно большие по абсолютной величине, некоторые состояния из H не попадают в его область определения, но при этомобласть определения может быть плотна в пространстве H. К числу неограниченных с плотной в H областью определения относятся операторы импульса, координаты (в бесконечном пространстве), энергии и др.14Впрочем, когда подобные неограниченные эрмитовы операторы Âс плотной областью определения используются как генераторы, для построения соответствующих унитарных операторов eiα (α ∈ R), унитарныеоператоры оказываются определены всюду. Благодаря ограниченности собственных чисел (|u| ≡ 1) для всех унитарных операторов область определения совпадает с областью значений и совпадает со всем пространством H.Когда при определении неограниченного эрмитового оператора мы пишем  = † , то это означает также совпадение всюду плотных областейопределения для операторов  и † .
Именно для таких операторов доказывается теорема о диагонализации (полноте базиса собственных функций).Так что если мы доказали, что некоторый оператор является симметричным, т. е. чтоφ|Âψ = Âφ|ψдля всякой пары φ, ψ, для которой определена левая часть равенства, то этоещё не эрмитовость.(*) Требование совпадения областей определения  и † можно рассматривать по аналогии с конечномерным пространством как требованиеквадратности матрицы. Эрмитову матрицу мы можем диагонализовать,а для этого она должна быть квадратной.
В конечномерном случае условие квадратности матрицы  означает, что области определения для неёи сопряжённой матрицы † совпадают. Аналогично мы требуем совпадения областей определения операторов  и † в бесконечномерном случае.Часто, когда говорят об эрмитовости какого-либо оператора, на самомделе имеют в виду эрмитовость другого оператора, который получается из14 Вобщем случае ограниченным называется оператор Â, для которого конечна нормаA = supψÂψψ< ∞.106ГЛАВА 4исходного доопределением (продолжением) на большую область определения.Например, оператор импульса на прямой можно определить как эр∂митов оператор, продолжив оператор −ih̄ ∂x.
Оператор импульса на полупрямой является симметричным для функций, обращающихся в ноль награнице, но он не может быть продолжен до эрмитового оператора. По этойпричине импульс на полупрямой не имеет собственных функций.Для отличия эрмитовых (или продолжаемых до эрмитовых) операторов от просто симметричных мы можем использовать следующий простойкритерий: эрмитов оператор всегда диагонализуется (имеет полный базиссобственных векторов).Именно эрмитовы операторы в квантовой механике сопоставляютсянаблюдаемым величинам, так что «чисто математическое» различие междусимметричными и эрмитовыми операторами на самом деле имеет физический смысл.4.7.8. След оператора*Данный раздел нужен в первую очередь для работы с матрицами плотности (4.8 «Матрица плотности*»).
При первом чтении всё, что касаетсяматриц плотности, можно пропустить, включая этот раздел.По аналогии со следом матрицы можно ввести след оператора как сумму (интеграл) диагональных матричных элементов:⎛⎞⎛⎞tr  = ⎝+dx⎠ Axx = ⎝+dx⎠ x|A|x.(4.49)x∈Wx∈Ux∈Wx∈UВ отличие от конечномерных матриц, для которых след определён всегда, для операторов соответствующий интеграл (сумма) может расходиться.В частности, след единичного оператора равен размерности пространстваи расходится для бесконечномерного пространства.Для оператора, записанного как произведение кет-вектора на бра-вектор, след можно записать следующим образом:tr |ψφ| = φ|ψ.(4.50)Если дополнить формулу (4.50) условием линейности следа:tr(α + B̂) = α tr  + tr B̂,то её можно принять в качестве определения следа вместо (4.49).(4.51)4.7.
О ПЕРАТОРЫ107То, что (4.47), (4.50), (4.51) ⇒ (4.49), очевидно.В свою очередь из определения (4.49) сразу следует линейность (4.51),а формула (4.50) легко выводится:⎛⎞tr |ψφ| = ⎝+dx⎠ φx |ψφ|φx =x∈W⎛=⎝x∈Udx⎠ φ|(|φx φx |)|ψ =+x∈W⎡⎛= φ| ⎣⎝⎞x∈Ux∈W+⎞⎤dx⎠ |φx φx |⎦ |ψ = φ|1̂|ψ = φ|ψ.x∈UФормула (4.50) позволяет циклически переставлять под следом нетолько операторы (матрицы), но и бра- и кет-векторы (строки и столбцы):tr(ab . . .
yz) = tr(zab . . . y) = tr(b . . . yza).(4.52)Здесь a, b, . . . , y, z — произвольный набор чисел, операторов, бра- и кетвекторов, записанных в виде произведения, для которого имеет смысл след,т. е. в виде оператора или числа (матрицы 1 × 1).Мы можем принять (4.52) вместе с условием линейности (4.51) в качестве ещё одного определения следа, если ввести условие, что след числаравен самому числу:tr α = α,α ∈ C.(4.53)(!!!) Определив след от числа как само это число, мы определили эточисло как матрицу 1 × 1, однако мы можем понимать то же число какматрицу n × n вида α1̂, где 1̂ — единичная матрица n × n.
Очевидно, чтоtr(α1̂) = nα = α = tr α.Частичный след оператора*Пусть пространство состояний представлено в виде тензорного произведения:H = H1 ⊗ H2 .Это означает, что волновая функция представляется как функция от двухнаборов аргументов, отвечающих первому и второму пространствам:ψ(x, y) = y|x|ψ.108ГЛАВА 4|ψ =ψ(x, y)|x|y.x,y(Для упрощения формул мы пишем только суммы, как для дискретногоспектра.) Здесь (y|x|)† = |x|y — базисное состояние в пространстве H,записанное как произведение базисных состояний |x и |y в пространствах H1 и H2 .Ядро оператора в пространстве H оказывается функцией (для непрерывного спектра м.
б. обобщённой функцией) уже от двух двойных набороваргументов:A(x, y; x , y ) = y|x|Â|x |y . =|x|yA(x, y; x , y )y |x |.x,y;x ,y Для оператора на пространстве H = H1 ⊗ H2 мы можем определитьчастичный след по пространству H2 :|xA(x, y; x , y)x | =y|Â|y.(4.54)trH2  =x,y;xyПолучившийся объект является не числом, как обычный след, а оператором над пространством H1 . Ядро следа зависит только от одного двойногонабора переменных и задаётся соотношениемA(x, y; x , y).(4.55)trH2 Â(x; x ) =y;yЗаметим, что при преобразовании базиса в пространстве H2 векторы и операторы в пространстве H1 не преобразуются (т. е. с точки зрениятрансформационных свойств ведут себя как скаляры/числа, хотя и не коммутативные).Все приведённые выше способы вычисления следа относятся такжеи к частичному следу по H2 с той оговоркой, что в качестве состояний, покоторым берётся след, рассматриваются только состояния на H2 . В частности, по аналогии с (4.53) (и с теми же оговорками!) для любого оператора Â1 : H1 → H1trH2 Â1 = Â1 .(4.56)Между частичным и полным следом существует очевидное соотношение:tr  = trH1 trH2  = trH2 trH1 Â.(4.57)4.8.
М АТРИЦАПЛОТНОСТИ *1094.8. Матрица плотности*До сих пор мы описывали состояния с помощью векторов состояния (волновых функций),однако существует другой, более общий способописания состояния квантовой системы — матрица плотности.Матрица плотности была введена Л. Д. Ландау и И. фон Нейманом в 1927 году.Наибольшее, что мы в принципе можем знатьо состоянии квантовой системы, — вектор состояния |ψ (волновая функция ψ(x)) с точностью допроизвольного фазового множителя (если фиксировать нормировку). Поэтому вектор состояния Рис. 4.4.
Лев Давыдовичназывают ещё чистым состоянием. Такое состоя- Ландау (1908–1968).ние может быть описано матрицей плотности (насамом деле не матрицей, а оператором)ρ̂1 = |ψψ|,ψ|ψ = 1.(4.58)Если мы не знаем в каком чистом состоянии находится система, но знаем с какой вероятностью pk какой вектор состояния |ψk ей соответствует,то нам известно смешанное состояние. Такое состояние может быть описано матрицей плотностиρ̂ =|ψk pk ψk |,ψk |ψk = 1.(4.59)kСостояния |ψk нормированы, но не обязательно ортогональны.В общем случае матрица плотности — неотрицательно определённыйэрмитов оператор с единичным следом, т. е.ρ̂ = ρ̂† ,ψ|ρ̂|ψ 0, ∀ψ ∈ H,tr ρ̂ = 1.(4.60)Смысл этих условий: вещественность и неотрицательность вероятности,нормировка суммарной вероятности на единицу.
От условия единичногоследа матрицы плотности можно отказаться, приняв, что матрица плотности определена с точностью до вещественного положительного множителя.Тогда значение следа задаёт нормировку матрицы плотности.Нормированная на единицу матрица плотности однозначно определяется состоянием системы и содержит всю информацию, необходимую для110ГЛАВА 4описания системы, т. е. позволяет вычислять временную эволюцию системы (про эволюцию на языке матрицы плотности см.
ниже в главе 5«Принципы квантовой механики») любые вероятности, получаемые при измерениях, и средние любых наблюдаемых.Вычисление среднего значение задаётся следующим образом:Âρ = tr(Âρ̂).(4.61)Используя линейность следа, возможность циклически переставлятьсомножители (включая бра- и кет-векторы) под следом (4.52), убедимсяна примере матриц плотности (4.58) и (4.59), что вычисляемое по формуле (4.61) соответствует принятым нами ранее для волновых функцийправилам:Âρ1 = tr(Âρ̂1 ) = tr(Â |ψψ|) = tr(ψ|Â |ψ) = ψ|Â |ψ = Âψ ,Âρ = tr(Âρ̂) = tr Â|ψk pk ψk | =pk tr(Â |ψk ψk |) ==kkpk ψk |Â |ψk =kpk Âψk .kТаким образом, в одном случае мы получили то же самое среднее, чтои для волновой функции, а в другом — среднее взвешенное с весами pk отсредних значений оператора по чистым состояниям ψk .Вероятность обнаружения системы, описываемой матрицей плотности,в состоянии, принадлежащем некоторому подпространству, как и для случая исходного чистого состояния (4.29), задаётся как среднее от ортогонального проектора P̂ на соответствующее подпространствоp = P̂ ρ = tr(P̂ ρ̂).(4.62)Вычисление вероятностей и изменение матрицы плотности при измерениибудет обсуждено ниже в главе 5 «Принципы квантовой механики».4.8.1.
Роль и смысл матрицы плотности*Исходя из приведённых выше формул для средних в состоянии, задаваемом матрицей плотности, мы можем заключить, что если волновыефункции (чистые состояния) учитывают только чисто квантовые неопределённости наблюдаемых величин, то матрицы плотности (смешанные состояния) учитывают как квантовые неопределённости, так и наше классическое незнание того, в каком именно квантовом состоянии находитсясистема.4.8. М АТРИЦАПЛОТНОСТИ *111Заметим, что представление матрицы плотности через волновые функции в виде (4.59) неоднозначно. Таким образом, разделение квантовыхи классических вероятностей в матрице плотности в принципе невозможно.Задаваемое матрицей плотности смешанное состояние (4.59) можнорассматривать как среднее взвешенное от чистых состояний (4.58).
Здесьимеется аналогия с классической механикой, где смешанное состояние, задаваемое распределением вероятностей в фазовом пространстве (Q, P ),также может рассматриваться как среднее взвешенное от чистых состояний ч (Q, P ) = δ(Q − Q0 ) δ(P − P0 ).Матрица плотности является естественным языком для описания состояния квантовой системы в статистической физике. В частности, распределение Гиббса, при котором вероятность квантового состояния системыс энергией E пропорциональна e−E/T , где T — температура, выраженнаяв единицах энергии (kT , если ввести постоянную Больцмана k), задаётсяследующей матрицей плотности нормированной на статсумму:−ρ̂ = eĤT,Z = tr ρ̂.Среди физиков нет единства в том, считать ли более фундаментальным описание на языке матрицы плотности, или на языке волновой функции.
Матрица плотности предоставляет нам более общее описание, но приэтом вносимые матрицей плотности вероятности можно объяснить простонезнанием точного состояния системы (волновой функции). Кроме того,принцип суперпозиции и явление интерференции более удобно описыватьс использованием волновых функций, а не матриц плотности.4.8.2. Матрица плотности для подсистемы*Целое больше, чем сумма частей.Аристотель, «Метафизика»Описание квантовой системы на языке матрицы плотности становится необходимым, когда система является частью (подсистемой) некоторойбольшой системы. Чтобы перейти от системы к подсистеме, необходимоусреднить (взять частичный след) по переменным, описывающим то, чтоне попадает в выбранную подсистему:ρ̂1 = tr2 ρ̂,ρ1 (x; x ) = ρ(x, y; x , y) dy.(4.63)112ГЛАВА 4При таком переходе от системы к подсистеме чистое состояние можетперейти в смешанное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
