Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Физический смысл скалярного произведенияВ данном разделе мы снова получим и обсудим выводы раздела 3.1.5«Амплитуда при измерении и скалярное произведение».Вероятность pk некоторого исхода измерения из раздела 4.5.2 можнозаписать в следующем виде:φk |ψ = φk ||φk =φk |φk =pk δkk = pk .kkkОднако при этом начальная волновая функция ψ и конечная — φk нормированы по-разному: одна на единицу, а другая на вероятность.Если обе волновые функции, начальную ψ и конечную φ, отнормировать на единицу, то скалярное произведение даёт амплитуду вероятноститого, что система, находившаяся в состоянии ψ, будет обнаружена в состоянии ϕ.
Другими словами, мы имеем систему в состоянии ψ и ставим опыт,который должен ответить на вопрос: «А не находится ли система в состоянии ϕ?» Причём если ответ будет положительным, то система и в самомделе окажется в этом состоянии. Скалярное произведениеAϕψ = ϕ|ψзадаёт соответствующую амплитуду вероятности8 .Сама вероятность имеет видpϕψ = |ϕ|ψ|2 = ψ|ϕϕ|ψ == ψ|(|ϕϕ|)|ψ = ψ|P̂ϕ |ψ = tr(P̂ψ P̂ϕ ), (4.29)8 В классической теории мы бы имели всегда вероятность 0 для несовпадающих чистыхсостояний (состояний с определёнными значениями координат и импульсов) и вероятность 1для совпадающих чистых состояний.
В квантовой теории мы можем подобрать такой наборсостояний, что квадрат каждого равен 1, а скалярное произведение разных состояний будет давать 0. Причём мы сможем задать базис из таких взаимоисключающих состояний. Нопоскольку пространство состояний является линейным пространством, в него будут попадать и всевозможные линейные комбинации базисных векторов, которые соответствуют тому,что различные взаимоисключающие состояния имеют место одновременно с некоторой амплитудой вероятности. В классической механике мы тоже можем получать при измеренииразличные значения с некоторыми вероятностями, для смешанных состояний, задаваемыхраспределениями вероятностей.90ГЛАВА 4P̂ψ = |ψψ|,P̂ϕ = |ϕϕ|.Оператор P̂ϕ представляет собой проектор на направление ϕ (см.
(4.26),(4.27), (4.28) в случае невырожденного состояния).4.6. Базисы в пространстве состояний4.6.1. Разложение по базису в пространстве состояний, нормировкабазисных векторовСобственно задавая чистое состояние |ψ как волновую функцию ψ(x)от какого-то набора переменных x, мы уже имеем дело с разложением вектора состояния по некоторому базису.|ψ = ψ(x) |φx dx +ψ(k) |φk .(4.30)k∈WUЗдесь |φx |φk — базисные кет-векторы непрерывного и дискретного спектров с номерами x и k соответственно. По непрерывному спектру (x ∈ U )идёт интегрирование, а по дискретному (k ∈ W ) — суммирование.Базисные векторы с различными номерами ортогональны друг другу.Однако базисные векторы дискретного и непрерывного спектров нормируются по-разному. Хотя в обоих случаях это нормировка на ядро единичногооператора9 .
То есть нормировка проводится так, чтобы компоненту вектора состояния (значение волновой функции) можно было бы получить какскалярное произведение:ψ(k) = φk |ψ = φk | ψ(x) |φx dx + φk |ψ(k ) |φk ==Uψ(k ) φk |φk =k ∈Wψ(x) = φx |ψ = φx |=U9 Ядроk ∈Wψ(k ) δkk ,k ∈Wψ(x ) |φx dx + φx |Uψ(x ) φx |φx dx =ψ(k) |φk =k∈Wψ(x ) δ(x − x ) dx .Uоператора — разложение оператора по базису.
Подробнее см. раздел 4.7.6.4.6. Б АЗИСЫ91В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙПричём условия нормировки для базисных векторов задают одновременно компоненты базисных векторов по базису, к которому эти векторыотносятся, т. е. φx0 (x) = φx |φx0 , т. к. и то, и другое определяется скалярным произведением выбранного базисного вектора на все векторы базиса.Таким образом, базисные векторы дискретного спектра нормируютсяна δ-символ:φk |φl = δkl = φl (k).(4.31)То естьφk |φl = 0,φk |φk = 1.k = l,(4.32)(4.33)А базисные векторы непрерывного спектра нормируются на δ-функцию:φx |φy = δ(x − y) = φy (x).(4.34)То естьφx |φy = 0,x = y,(4.35)φx |φx = ∞скалярное произведениене определено (расходится).(4.36)Для базисных векторов непрерывного спектра скалярный квадрат оказывается не определён, т.
е. вероятности для состояния, описываемого такими состояниями, не могут быть отнормированы на единицу! В этом состоитсущественное отличие от базисных векторов дискретного спектра, которыенормированы на единицу и представляют собой вполне «хорошие» векторычистых состояний.Строго говоря, базисные векторы непрерывного спектра вообще не относятся к пространству состояний H, поскольку для всех векторов состояний задано скалярное произведение.Обратите внимание, что уравнения (4.32), (4.33) эквивалентны условию нормировки (4.31), но аналогичные уравнения (4.35), (4.36) не эквивалентны условию нормировки (4.34) (бесконечности, в отличие от единиц,бывают разные).
А учитывая, что δ-функция обладает свойством δ(ax) == δ(x)|a| (для одномерной переменной x), мы видим, что нормировка однойединственной функции непрерывного спектра невозможна. Нормируетсясразу набор векторов непрерывного спектра, причём нормировка зависитот нумерации векторов: замена x → ax требует изменения нормировки баφxзисных φx → √.a92ГЛАВА 4При работе с состояниями непрерывного и дискретного спектра обычно условие квадратичной интегрируемости волновой функции заменяют наболее мягкое условие локальной (на любом конечном интервале) квадратичной интегрируемости и ограниченности на бесконечности.4.6.2.
Природа состояний непрерывного спектра*Итак, рассматривая базисные векторы непрерывного спектра, мыневзначай вылезли из первоначально постулируемого пространства H квадратично интегрируемых (суммируемых) функций. Оказывается, что такиевекторы вроде уже и не состояния, и скалярное произведение с их участиемопределено не всегда: когда надо посчитать соответствующую этому базисному вектору компоненту «хорошего» состояния ψ(x) = φx |ψ, то скалярное произведение определено, а когда надо посчитать скалярный квадратφx |φx — оно вдруг отказывается работать, но выдаёт нечто осмысленное,если взять φx |φy .
Попытаемся понять, что же это такое с двух точек зрения: с точки зрения физики, и с точки зрения математики.С точки зрения физики ненормируемые состояния не могут быть реализованы, поскольку суммарная вероятность всех исходов не должна превышать единицу. Таким образом, состояния непрерывного спектра физически нереализуемы. Таким образом, если физическая величина имеет непрерывный спектр возможных значений, то не существует состояний, в которых её значение из непрерывного спектра было бы определено однозначно.Это также означает, что значение величины из непрерывного спектра может быть измерено только с конечной точностью.
Это относится, например,к состояниям, в которых определено значение координаты.Однако мы можем приближать функцию непрерывного спектра «хорошими» квадратично интегрируемыми функциями, и такое приближениебудет в некотором смысле сходиться, т. е.∀ψ ∈ D ⊂ Hlim ψn |ψ = φx0 |ψ = ψ(x0 ).n→∞Например, мы можем приближать дельта-функцию узкими и высокими прямоугольными импульсами или гауссовыми кривыми с единичным интегралом.Таким образом мы можем приближать невозможное состояние непрерывного спектра, в котором x определён с бесконечной точностью «хорошими» состояниями, в которых x определён с конечной (но сколь угодномалой) неопределённостью.
Невозможное состояние непрерывного спектра при этом оказывается некоторой вполне законной идеализацией. Да, для4.6. Б АЗИСЫВ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ93этого состояния полная вероятность оказывается бесконечной, а значит мыне можем считать абсолютные вероятности, однако мы можем считать относительные вероятности как отношения частот попадания какой-то величины в те или иные интервалы.С точки зрения математики, упомянутая выше сходимость — сходимость в смысле слабого предела, т. е.wlim ψn (x) = δ(x − x0 ) = φx0 (x)n→∞⇔∀ψ ∈ D ⊂ H⇔lim ψn |ψ = φx0 |ψ = ψ(x0 ).n→∞Такую сходимость применяют для того, чтобы определить обобщённыефункции класса D как линейные функционалы над основными функциями класса D. Сходимость в слабом смысле в пространстве H совпадаетсо сходимостью по норме · , которую мы определили с помощью скалярного квадрата.
Линейные функционалы над пространством H относятсяк пространству H∗ , которое изоморфно исходному и отождествляется с нимпри эрмитовом сопряжении. Можно сказать, что пространство обобщённыхфункций класса H совпадает с H∗ . Поэтому в пространстве H ряды, приближающие δ-функцию, расходятся.
Нужное нам пространство основныхфункций не совпадает с исходным пространством состояний D = H. Чтобы расширить класс обобщённых функций, нам надо сузить класс основных функций: чем шире выбор в ψ, тем уже выбор в φ, при условии чтоинтеграл типа скалярного произведения сходитсяφ∗ (x) ψ(x)dx.Другими словами, включение каждой новой функции в D накладываетдополнительное условие на все функции, которые могут быть включеныв D .10Угловые скобки в дираковских обозначениях, помимо скалярного произведения волновых функций из пространства H, теперь могут обозначатьи другую операцию: действие линейного функционала из D на волновуюфункцию из D.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
