Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Получившаяся при этом конструкцияD ⊂ H ⊂ D(4.37)называется оснащённым гильбертовым пространством.10 Это остаётся верным до тех пор, пока D плотно в H, если слишком сильно уменьшить D,то мы перестанем различать разные обобщённые функции с точки зрения их действия наосновные.94ГЛАВА 4Конкретный выбор пространства основных функций D зависит от решаемой задачи.Однако мы ещё не выяснили природу интеграла по непрерывномуспектру в формуле (4.30), а также природу «скалярного произведения» состояний непрерывного спектра друг на друга, в частности в формуле длянормировки (4.34).Про смысл «скалярного произведения» векторов непрерывного спектра друг на друга см.
ниже в разделе 4.6.3 «Замена базиса», а также в разделах 4.7.1 «Ядро оператора» и 4.7.2 «Матричный элемент оператора».4.6.3. Замена базисаПрежде всего отметим, что формула (4.30) для разложения кет-векторапо базису сама по себе не позволяет вычислить какое бы то ни было число,поскольку она записана через другие кет-векторы. Чтобы получить из кетвектора число (хотя бы его компоненту по какому-либо базису), его надодомножить слева на бра-вектор. Так и сделаем, умножим формулу (4.30)слева на некоторый базисный вектор ξm | (непрерывного или дискретногоспектра, из старого базиса {|φx }x∈U∪W , или из какого-либо другого):⎛⎞ψ(x) |φx ⎠,ξm | × ⎝|ψ = ψ(x) |φx dx +Uψ(m) = ξm |ψ =x∈Wψ(x) ξm |φx dx +Uψ(x) φx (m) dx +=Uψ(x) ξm |φx =(4.38)x∈Wψ(x) φx (m).x∈WПолученная формула (4.38) выражает компоненты ψ(m) вектора |ψ в новом базисе, через его же компоненты ψ(x) в старом базисе.
При этомотображение записалось как линейное отображение одного векторного пространства на другое с ядром, задаваемым скалярными произведениями базисных векторов двух наборов друг на друга ξm |φx . Это ядро имеетвполне конкретный смысл и является, вообще говоря, обобщённой функцией от m и x. Как обобщённая функция ξm |φx может не иметь определённого значения при каких-то значениях переменных, но имеет смыслкак форма записи линейного отображения. Даже если значение функцииξm |φx при каких-то значениях аргумента определено, интеграл, формально соответствующий скалярному произведению волновых функций непре-4.6. Б АЗИСЫВ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ95рывного спектра, может расходиться. Например, скалярное произведениедвух волн де Бройля, отвечающих различным значениям импульса в одномерном случае сводится к пределу, который не существует, но которому мыформально приписываем нулевое значение:+∞+∞ i(p −p )xip1 x ip2 x21−h̄ψp1 |ψp2 =e h̄ e h̄ dx =edx =−∞−∞+R i(p2 −p1 )xh̄edx = 0.= limR→+∞−Rsin(2(4.39)p2 −p1h̄R)(p2 −p1 )/h̄Замена базиса и унитарные операторы*Мы описали замену базиса как отображение из одного векторного пространства в другоеG : H1 → H2 .Здесь H1 и H2 — два векторных пространства, элементами которых являются наборы компонент вектора состояния из пространства H по базисамномер 1 и номер 2.
Конечно, пространства H, H1 и H2 одинаковы (изоморфны), но иногда бывает полезно различать сам вектор состояния и егопредставление через набор компонент.Если оба векторных пространства H1 и H2 «устроены» одинаково, т. е.если мы можем пронумеровать векторы дискретного спектра обоих базисов и установить между ними взаимно-однозначное соответствие, пронумеровать векторы непрерывного спектра обоих базисов и также установитьмежду ними взаимно-однозначное соответствие, то такая одинаковая нумерация устанавливает естественное отображение между элементами обоихвекторных пространств:J : H1 → H2 ,J −1 : H2 → H1 .При этом у нас появляется возможность рассматривать те же формулы некак замену базиса (отображение вектора из H1 в H2 ), а как преобразование вектора, т.
е. отображение вектора из H1 на другой вектор того жепространства H1 :Û = J −1 G : H1 → H1 .96ГЛАВА 4Поскольку такое преобразование взаимно-однозначно (⇒обратимо)и сохраняет скалярное произведение (оба базиса одинаково нормированы),то оно называется унитарным преобразованием и описывается унитарнымоператором Û .Наоборот, если M1 : H → H1 задаёт компоненты вектора состоянияпо некоторому базису, а Û : H → H — унитарный оператор, то M2 == M1 Û : H → H1 задаёт компоненты вектора состояния по новому базису.Для любого базиса любой унитарный оператор задаёт некоторую замену базиса на новый базис, «устроенный» так же как исходный, и наоборот, любая замена базиса, при которой оба базиса «устроены» одинаково, задаёт унитарный оператор.Унитарное преобразование — обобщение поворота, а унитарныйоператор — обобщение матрицы поворота.Если базисы «устроены» различно, например в одном векторы нумеруются дискретным индексом, а в другом — непрерывным, то такую заменубазиса нельзя естественным образом представить как унитарное преобразование11 .Преобразование ФурьеРассмотрим пространство L2 (R) и базис, состоящий из волн де Бройля(состояний с определённым импульсом h̄k):ξk (x) = √1 eikx = φx |ξk ,2πk ∈ R.Здесь φx0 (x) = δ(x−x0 ) — волновые функции исходного базиса (состоянияс определённым значением координаты x0 ).Переход к новому базису соответствует преобразованию Фурье.
Этотбазис является ортонормированным, т. е.ξk |ξl = δ(k − l).Хотя матричный элемент ξk |ξl является обобщённой функцией, при k = lона имеет хорошо определённое (нулевое) значение, однако соответствую11 В некоторых книгах унитарными операторами называют также отображение одного пространства на другое. Однако в данном пособии унитарные преобразования понимаются какотображение пространства на себя, для того чтобы любое преобразование можно было бырассматривать двояким образом: как активное преобразование (преобразование вектора), либо как пассивное преобразование (замена базиса).4.6.
Б АЗИСЫВ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙщий интегралξk |ξl = 12π97+∞ei(l−k)x dx−∞расходится (см. (4.39)). При стремлении к бесконечности пределов интегрирования+R2 sin((l − k)R)ei(l−k)x dx =,R → +∞l−k−Rзначение интеграла колеблется, но не стремится к какому-либо пределу. Мыможем домножить подынтегральное выражение на какой-либо регуляризующий фактор, например e−α|x| , после чего перейти к пределу α → +0,но смысл формулы ξk |ξl = δ(k − l) не в этом, а в том, что скалярноепроизведение для функций и их преобразования Фурье записывается одинаково:+∞+∞∗φ|ψ =φ (x)ψ(x)dx =φ∗ (k)ψ(k)dk,−∞+∞∗φ (k) = φ|ξk =−∞−∞eikx dx,φ (x) √2π∗+∞ψ(k) = ξk |ψ =−∞e−ikx ψ(x)dx.√2π+∞+∞ψ(x)|φx dx =ψ(k)|ξx dk мы можем удобно заПоскольку |ψ =−∞−∞писать друг через друга ψ(k) = ξk |ψ и ψ(x) = φx |ψ, используя ядро ξk |φx = φx |ξk ∗ :+∞ψ(k) =ξk |φx ψ(x)dx,−∞+∞ψ(x) =−∞eikx√ ψ(k)dk =2π+∞φx |ξk ψ(k)dk.−∞Если величина x безразмерна, то k тоже безразмерна и мы можем рассматривать преобразование Фурье по своему выбору как замену базиса, либокак унитарное преобразование.
Если же x и k размерны, то мы можем рассматривать преобразование Фурье как замену базиса, но не можем рассматривать их как унитарное преобразование, впрочем, мы всегда можем обезразмерить переменные, разделив x и умножив k на некоторую константу x0с размерностью x.98ГЛАВА 4Часто в физике в качестве аргумента преобразования Фурье выбирается не волновое число k, а импульс p = h̄k.
В этом случае нормированные√волновые функции нового базиса должны быть поделены на h̄:iξp (x) = √ 1 e h̄2πh̄px,p ∈ R.Другое преобразование Фурье*Определённое выше преобразование Фурье отличается от обратногопреобразования Фурье только знаком в комплексной экспоненте, однако1наличие нормировочного множителя √12π , или √2πh̄, часто неудобно. Темiболее, что без этого множителя волновая функция ψp (x) = eikx = e h̄ pxоказывается отнормирована на одну частицу, на единицу объёма.Избавиться от корней можно, переопределив скалярное произведениев импульсном представлении:+∞dpφ|ψ =φ∗ (p)ψ(p).2πh̄(4.40)−∞Можно сказать, что мы ввели в пространстве импульсов/волновых чиdpdkсел меру вида 2πh̄= 2π. То есть интегрирование по импульсу всегдаведётся по такой мере.
Если размерность пространства импульсов n, тоdn pdn kтакая мера имеет вид (2πh̄)n = (2π)n .Теперь мы можем записывать преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье без корней:ψ(p) = φp |ψ =ψ(x) = φx |ψ =−eie h̄ipxh̄ ψ(x)dx,pxψ(p)dp,2πh̄−φp (x) = eiφx (p) = e h̄ipxh̄px= φx |φp ,= φp |φx = φx |φp ∗ .Условия нормировки для импульсного базиса и для координатного базисаимеют различный вид:φx |φx = φx (x) = δ(x − x ),φp |φp = φp (p) = 2πh̄ δ(p − p ).Именно такие соглашения предпочитают в большинстве книг физики.Это весьма удобно: все дифференциалы импульса делятся на 2πh̄, и ника-4.7.
О ПЕРАТОРЫ99ких корней не возникает. Однако при этом прямое и обратное преобразования Фурье выглядят различно, различаются условия нормировки, а пространство волновых функций в координатном и импульсном представлении различаются даже после обезразмеривания, что затрудняет рассмотрение преобразований Фурье в качестве унитарных преобразований. По этойпричине математики часто предпочитают преобразование Фурье в том виде, в котором они приведены в разделе 4.6.3.4.7. ОператорыОператоры в квантовой теории во многом аналогичны матрицам.В случае, когда пространство волновых функций конечномерно, операторыоказываются обычными матрицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
