Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Унитарные операторы соответствуют симметриям. В число симметрий попадает также сдвиг по времени — временная эволюция системы.4.3. Дираковские обозначенияДираковские обозначения в квантовой механике во многом аналогичныматричным обозначениям, поэтому читателю полезно внимательно срав-76ГЛАВА 4Рис. 4.2нить этот раздел с разделом 4.2. Как и для матриц, для дираковских символов нет коммутативности (сомножители нельзя произвольно переставлять),но есть ассоциативность (т. е. при умножении можно свободно расставлятьскобки).Рис. 4.3. Поль Адриен Морис Дирак (1902–1984). WВ рассматриваемом формализме волновая функция c компонентами ψ(x) рассматривается как аналог матрицы-столбца и называется кетвектором, а комплексно-сопряжённая волновая функция с компонентами ψ ∗ (x) — как аналог матрицы-строки и называется бра-вектором.4.3.1.
Основные «строительные блоки» дираковских обозначений• Комплексное число (или просто — число). На числа можно множить всепрочие, используемые нами объекты, причём комплексные числа можно свободно переставлять с множителями любого сорта, на результаттакие перестановки не влияют;4.3. Д ИРАКОВСКИЕОБОЗНАЧЕНИЯ77• |ψ — кет-вектор (может обозначаться просто как ψ), рассматриваетсякак матрица-столбец, его компоненты — ψ(x);• ψ| — бра-вектор (может обозначаться просто как ψ † ), получается изкет-вектора эрмитовым сопряжением ψ| = (|ψ)† , рассматриваетсякак матрица-строка, его компоненты — ψ ∗ (x);• Â — оператор (аналог квадратной матрицы), обычно обозначается буквой в «шляпке».Эти четыре типа объектов образуют различные линейные пространства:• C — пространство комплексных чисел.• H — пространство кет-векторов. С точки зрения математики гильбертово пространство (бесконечномерное комплексное пространство соскалярным произведением и определяемой с помощью этого произведения метрикой, в котором сходятся все фундаментальные последовательности).
Кет-векторы можно складывать между собой (еслиони описывают состояния одинаковых физических систем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова получаютсякет-векторы. Элементы H превращаются в элементы сопряжённогопространства при помощи эрмитова сопряжения.• H∗ — пространство бра-векторов. Бра-векторы можно складывать между собой (если они описывают состояния одинаковых физических систем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова получаются бра-векторы. Пространство H∗ сопряжено к H — его элементы линейно отображают элементы H на C с помощью произведениястроки на столбец.• H ⊗ H∗ — пространство операторов из H в H.
Операторы можно складывать между собой (если они действуют на состояния одинаковыхфизических систем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова получаются операторы.• Нельзя складывать между собой объекты разных типов (кет-векторыс бра-векторами, и те и другие с операторами, а также волновые функции/операторы, соответствующие различным физическим системам).4.3.2. Комбинации основных блоков и их значение• φ||ψ = φ|ψ = (|φ)† |ψ — брекет = бра·кет — умножение строкина столбец — скалярное произведение φ на ψ (обе волновых функции78ГЛАВА 4должны описывать одинаковые физические системы) (см.
(4.8), сравните с (4.14)) является числом и может свободно переставляться совсеми другими множителями;• Â|ψ — действие оператора слева на кет-вектор даёт снова кетвектор (может обозначаться просто как Âψ). Данная операция линейна:Â(α|ψ + β|φ) = αÂ|ψ + β Â|φ (сравните с (4.10));• ψ| — действие оператора справа на бра-вектор даёт снова бравектор (может обозначаться просто как ψ † Â). Данная операция линейна: (αψ| + βφ|) = αψ| + βφ| (сравните с (4.11));• φ|Â|ψ = φ|Âψ = Aφψ — матричный элемент оператора представляет собой число (сравните с (4.13)).
Матричный элемент можно рассматривать как:– произведение бра-вектора φ| на кет-вектор |ψ,– произведение бра-вектора φ| на кет-вектор Â|ψ,– скалярное произведение φ на Âψ;• ψ|Â|ψ, когда  = † (про эрмитово сопряжение в дираковских обозначениях см. ниже), ψ|ψ = 1 — среднее значение наблюдаемой A посостоянию ψ;• |ψφ| — кет-бра произведение представляет собой оператор (сравнитес 4.15).– Оператор |ψφ| может действовать слева направо на кет-вектор |χ:(|ψφ|)|χ = |ψ φ|χ = φ|χ|ψ.(4.16) число– Оператор |ψφ| может действовать справа налево на бра-вектор λ|:λ|(|ψφ|) = λ|ψφ|;(4.17) число• |ψ|φ = |ψ ⊗ |φ — произведение кет-кет соответствует тензорномупроизведению ψ ⊗ φ и представляет собой кет-вектор, описывающийсистему, состоящую из двух подсистем: 1-я находится в состоянии |ψ,а 2-я в состоянии |φ (см.
(4.1), (4.2));4.3. Д ИРАКОВСКИЕОБОЗНАЧЕНИЯ79• φ|ψ| = φ| ⊗ ψ| = (|ψ|φ)† — произведение бра-бра соответствуеттензорному произведению сопряжённых волновых функций (бра-векторов) и представляет собой бра-вектор, описывающий систему, состоящую из двух подсистем, при этом порядок сомножителей берётсяобратным по отношению к произведению кет-кет, описывающим ту жесоставную систему (см. ниже правило для эрмитового сопряжения).4.3.3. Эрмитово сопряжениеЭрмитово сопряжение обозначается значком «†» и выполняется по следующим правилам (здесь a, b, c — комплексные числа, бра-векторы, кетвекторы, операторы и их всевозможные разрешённые комбинации):• (a† )† = a,• α† = α∗ , α ∈ C — эрмитово сопряжение числа совпадает с комплексным сопряжением,• (a + b)† = a† + b† — сумма сопрягается поэлементно,• (abc .
. . )† = . . . c† b† a† — при сопряжении произведения надо сопрячькаждый множитель и изменить их порядок на противоположный,• (|ψ)† = ψ|,• (ψ|)† = |ψ.Приведём некоторые примеры:• φ|Â|ψ† = φ|Â|ψ∗ = A∗φψ = A†ψφ = ψ|† |φ — это тождествовыполняется для любых пар волновых функций ψ и φ, при этом вернообратное, если φ|Â|ψ∗ = A∗φψ = Bψφ = ψ|B̂|φ, для всех пар ψ, φ(достаточно проверить это для базисных волновых функций), то B == A† (сравните с эрмитовым сопряжением из раздела 4.2),• (|ψφ|)† = |φψ|,• (φ|ψ)† = (φ|ψ)∗ = ψ|φ, число• (Â|ψ)† = ψ|† = Âψ|,• (ψ|Â)† = † |ψ,80ГЛАВА 4• (|ψ|φ)† = φ|ψ|,• (φ|ψ|)(|χ|κ) = φ|ψ||χ|κ = φ| ψ|χ |κ = ψ|χφ||κ = число= ψ|χ φ|κ. числочисло4.4.
Умножение справа, слева, . . . сверху, снизуи наискосок**Мы привыкли записывать формулы в строчку. Точнее, если мы записываем член, строящийся с помощью привычного коммутативного умножения, мы «валим» все множители в кучу, не обращая внимание на их порядок. Можно сказать, что для обычного коммутативного умножения множители пишутся не в строчку, а «в точку».Для умножения некоммутативного множители пишутся уже именнов строчку: порядок множителей уже важен.
Каждый сомножитель, еслирасписать его покомпонентно, имеет один или два индекса (дискретныхили непрерывных) и мы аккуратно соединяем сомножители в цепочку попарно, приравнивая второй индекс первого сомножителя первому индексувторого и суммирую (интегрируя) по ним:(ABC)il =Aij Bjk Ckl .jklТакое умножение компонент с суммированием (интегрированием) по соответствующим парам индексов и даёт нам некоммутативное умножение матриц (операторов).
Для такого умножения порядок сомножителей уже важен(от него зависит, какие индексы попадают в пару друг другу) и матрица Aможет действовать умножением на B как слева AB, так и справа BA:(AB)ik =Aij Bjk ,(BA)ik =Bij Ajk .jjОднако существуют объекты, компоненты которых нумеруются болеечем двумя индексами. Многочисленные примеры таких объектов даёт намтензорное исчисление. Впрочем, и в квантовой теории используется тензорное умножение, например при построении волновой функции сложнойсистемы из волновых функций её частей.Если объект имеет более двух индексов, то возникает неоднозначностьв том, какие два из них использовать при построении цепочки матричных4.4. У МНОЖЕНИЕСПРАВА , СЛЕВА ,. .
. СВЕРХУ,СНИЗУ И НАИСКОСОК **81умножений. Кроме того, даже после того, как мы договорились, какой индекс мы считаем «первым», а какой «последним», такой объект, вставленный в цепочку, несёт ещё какие-то свободные индексы, по которым егоможно умножить («сверху»? «снизу»? «наискосок»?) ещё на что-то:DABCn=ilAijDm nBj m k Ckl =Aij Bj m k Ckl Dm n .jkmjkmПодобные «ветвящиеся строчки» действительно возникают в квантовой механике.Записывать такие «неодномерные» произведения можно по-разному:• Можно на языке дираковских обозначений. Это часто удобно, хотянеобходимость упорядочить все множители в одну строчку и привносит неоднозначность.• Можно использовать индексные обозначения в тензорном духе.
Этотоже часто удобно. Вся информация о порядке множителей при этомшифруется в индексах и сомножители можно писать в строчку в произвольном порядке и свободно переставлять. По существу такие обозначения сводят «неодномерное» умножение к обычному коммутативному.• Наконец, существуют различные диаграммные обозначения, при которых сомножители произвольно располагаются на рисунке и соединяются линиями, обозначающими пары соответствующих индексов.
Такие обозначения наиболее наглядны, тем более что частоформула, описывающая процесс, совпадает с рисунком, этот процесс изображающим. (Пример такого рода — эквивалентность формулы (3.13) и рис. 3.5, см. также 3.2 «Возможно всё, что может произойти(ф*)».)Ниже мы проиллюстрируем конкретными примерами все три подхода.4.4.1. Диаграммные обозначения*В диаграммных обозначениях объекты (волновые функции, операторы, матрицы плотности) представляются в виде узлов, в которых сходитсяопределённое (для каждого сорта объекта) число линий. Вы можете себепредставить такой объект как некое электронное устройство, из которого торчит k проводков.
Каждый из проводков соответствует непрерывномуили дискретному индексу (аргументу).82ГЛАВА 4Проводки можно соединять попарно, причём соединяемые проводкимогут относиться как к разным узлам, так и к одному узлу. Такое соединение обозначает приравнивание соответствующих индексов и суммирование/интегрирование по всему их диапазону.Однако проводки бывают разных сортов и соединяются они по следующим правилам:• Каждый индекс/проводок является либо бра-, либо кет-индексом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
