Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Это соотношение будет очень похоже на рассмотренные выше в разделе 2.7.3 «Преобразование Фурье и соотношения неопределённостей», но будет иметь другой физический смысл:будет оценён разброс при последовательном измерении координаты и импульса для одной и той же системы.При измерении координаты частицы с помощью света длины волны λ ∼ k1 наилучшая точность измерения координаты (наилучшая разрешающая способность микроскопа)δx ∼ k1 ∼ λ.При этом на частице должен рассеятьсяпо крайней мере один фотон, который передаст импульс порядка δpx ∼ h̄k. Рассеяниена точечной частице даст сферическую волну,т.
е. фотон может рассеяться в произвольномнаправлении. Если рассеянный фотон попадётРис. 2.11. Вернер Гайзенберг в объектив микроскопа, то, в какую бы сто(примерно 1926–1927 гг.) рону он не летел, микроскоп направит его на(1901–1976). Wдатчик. Определить конкретную траекториюфотона в микроскопе принципиально невозможно9 . В предельном случае для попадания в объектив микроскопа фотону достаточно отлететь в нужное полупространство.
Поскольку направление рассеяния фотона неизвестно, переданный частице импульс не можетбыть определён, т. е. измерение координаты размывает значение импульсане менее чем на δpx .Таким образом, для произведения неточностей получаем:δx · δpx ch̄,9 Условиеc = const ∼ 1.интерференции, см. ниже раздел 3.1 «Вероятности и амплитуды вероятности».ГЛАВА 3Понятийные основы квантовой теорииЗа что ставятся оценки:5 — знает и понимает,4 — знает, но не понимает,3 — не знает и не понимает,2 — не знает, не понимает, да ещёи раздражает.Преподавательский фольклорНетерпеливый читатель может пропустить и эту главу, как и предыдущие главы. Здесь всё ещё нет последовательного изложения квантовой механики.
Будут лишь даны некоторые ключевые идеи, следствиями которыхможно пользоваться по-обезьяньи без понимания. Однако, если квантоваятеория и в самом деле нужна читателю, то лучше запоминать не столькоформулы, сколько идеи. Если же вы хотите не просто считать, а ещё и понимать, то лучше с этими идеями не только ознакомиться, но и обдуматьих ещё раз, уже познакомившись с аппаратом квантовой теории.3.1.
Вероятности и амплитуды вероятностиКвантовая механика принципиально отличается от классической. Эторазличие состоит вовсе не в наличии в квантовой механике вероятностей,поскольку и классическая механика может быть переформулирована так,что вероятности там появятся. Мы можем описывать поведение классической системы как эволюцию облака вероятностей в фазовом пространстве(в пространстве координат и импульсов), причём для неустойчивых системна больших временах на более подробное описание мы рассчитывать неможем.На взгляд автора, главным отличием квантовой теории является то, чтопомимо вероятностей p в ней появляются амплитуды вероятности A —48ГЛАВА 3комплексные числа, квадрат модуля которых задаёт вероятность (или плотность вероятности)p = |A|2 = (ReA)2 + (ImA)2 = A∗ A.(3.1)Таким образом, вероятность взаимнооднозначно определяется модулемамплитуды вероятности, тогда как фаза амплитуды вероятности оказывается тем существенным элементом квантовой теории, который полностьютеряется в классике.A = |A|eIm Aij|A|jRe AРис.
3.1. |A| — то, что было в классике, ϕ — квантовые эффекты.2Волновая функция даёт максимально полное описание квантовой системы, но она задаёт только лишь амплитуды вероятностей для всевозможных результатов измерений. Мы можем считать, что аргументами волновойфункции являются всевозможные результаты измерений некоторого наборавеличин (полного набора независимых наблюдаемых), а значения функциизадают соответствующие амплитуды.
Причём нет необходимости помещатьв аргументы функции все возможные величины, надо ограничиться лишьтеми, которые одновременно измеримы, т. е. такими, что измерение однойвеличины из набора не влияет на все остальные, но набор таких величиндолжен быть полным, т. е. таким, чтобы любая физическая величина, измеримая одновременно с аргументами волновой функции, выражалась черезних1 . Таким образом, понятие волновой функции сводится к понятию амплитуды вероятности.1 Мыещё вернёмся далее к обсуждению волновой функции.3.1. В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ49Вероятности в классической механике обусловлены нашим незнаниемточного состояния системы. В квантовой механике невозможно знать о системе больше, чем её волновая функция.
Тем не менее, многое в поведенииамплитуд вероятности можно понять по аналогии с поведением вероятностей.В ряде случаев, когда в классике мы складывали или умножали вероятности, в квантовой механике надо аналогично складывать или умножатьамплитуды вероятности.Волновая функция аналогична распределению вероятностей, и подобно ему задаёт вероятность всех возможных исходов измерения некоторогонабора величин, полностью задающего состояние системы. То есть есливсе эти величины определены, то состояние системы определяется однозначно.
В классической механике других состояний систем и не бывает.В квантовой механике такие состояния образуют лишь базис в линейномпространстве состояний.3.1.1. Сложение вероятностей и амплитудЕсли какое-то событие может произойти двумя различными способами, и мы знаем вероятность каждого из этих способов, то классическаявероятность события вычисляется как сумма вероятностей этих способов.Если из начального состояния 1 классическая система попадает в конечное состояние 3 через промежуточное состояние 2 или 2 , то мы можемзаписать:p(1→2→3 или 1→2 →3) = p(1→2→3) + p(1→2 →3) .(3.2)Если конечный результат чуть-чуть различается и классическая системав одном случае в итоге попадает в состояние 3, а в другом в чуть-чутьотличное состояние 3 , то вероятности по-прежнему складываются:p(1→2→3 или 1→2 →3 ) = p(1→2→3) + p(1→2 →3 ) .(3.3)Таким образом, в классике мы можем не различать похожие результаты3 и 3 и произвольным образом огрублять конечный результат, т.
к. на вычислении вероятностей это не скажется.В квантовой механике формулу (3.2), для случая когда конечный результат в точности совпадает, необходимо заменить аналогичной формулой для амплитудA(1→2→3 или 1→2 →3) = A(1→2→3) + A(1→2 →3) ,(3.4)а формулу (3.3), для случая когда конечный результат хотя бы чуть-чутьотличается, следует оставить без изменений.50ГЛАВА 3Рис. 3.2. Сложение амплитуд вероятности.Возводя формулу (3.4) в квадрат, получаем (для упрощения записиздесь (1 → 2 → 3) обозначается как a, а (1 → 2 → 3) — как b)p(a или b) = |A(a или b) |2 == |Aa |2 + |Ab |2 + (A∗a Ab + Aa A∗b ) == |Aa |2 + |Ab |2 + 2|Aa | |Ab | cos(ϕa − ϕb ) =√= pa + pb + 2 pa pb cos(ϕa − ϕb ).(3.5)Здесь ϕa = arg Aa , ϕb = arg Ab — фазы амплитуд вероятности.
В третьейстрочке формулы мы воспользовались теоремой косинусов.Формула (3.5) отличается от (3.2) лишним членом, который называется интерференционным членом:√(A∗a Ab + Aa A∗b ) = 2|Aa | |Ab | cos(ϕa − ϕb ) = 2 pa pb cos(ϕa − ϕb ). (3.6)Интерференционный член, как правило, не является малой поправкой, онсравним по величине с классическими слагаемыми. В зависимости от разности фаз между амплитудами интерференционный член может быть положительным, отрицательным или нулём. Так, если |Aa | = |Ab |, то квантовая вероятность p(a или b) = 2|Aa |2 (1 + cos(ϕa − ϕb )) может меняться отнуля до удвоенной классической вероятности 4|Aa |2 .Почему мы не видим интерференционного члена в классических опытах? Это может происходить по одной из двух причин.1.
В классических опытах мы не можем зафиксировать фазы амплитудвероятности, которые случайно меняются от опыта к опыту. В результате происходит усреднение по фазе, и интерференционный член исчезает.3.1. В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ51Если мы плохо различаем похожие, но не совпадающие состояния системы (как в классике), то мы вместо реальной интерференционной картинынаблюдаем усреднённую (сглаженную), а поскольку интерференционныйчлен оказывается быстро осциллирующим, при усреднении по несколькимпохожим результатам он может исчезнуть.2.
Другая причина исчезновения интерференционного члена — наблюдение (неконтролируемое взаимодействие системы с окружением, возможно непроизвольное), которое в принципе позволяет определить как именносистема прошла из начального состояния в конечное. Таким образом, попадание системы в одну точку разными путями будет различимым, посколькуинформация о пути либо известна, либо «записана» в окружении.
А дляразличимых событий мы должны складывать не амплитуды, а вероятности,т. е. интерференционный член исчезает.3.1.2. Умножение вероятностей и амплитудЕсли событие происходит «в два приёма», т. е. если нас интересует вероятность того, что система из состояния 1 перейдёт сначала в состояние 2,а потом в состояние 3, то в классической теории вероятности нам надоумножить вероятность перехода 1 → 2 на вероятность перехода 2 → 3:p(1→2→3) = p(1→2) p(2→3) .(3.7)В квантовой теории данная формула переносится на амплитуды вероятностиA(1→2→3) = A(1→2) A(2→3) .(3.8)Подобно тому, как вероятность p(1→2) того, что после 1 произойдёт 2,называют условной вероятностью, амплитуду A(1→2) естественно назватьусловной амплитудой вероятности.Взяв абсолютные величины от левой и правой частей формулы (3.8)и возведя их в квадрат, мы получим в точности формулу (3.7).
Поэтому может возникнуть вопрос о том, получили ли мы что-нибудь новое при заменеформулы для вероятности на формулу для амплитуд. Однако вероятностине содержат информации о фазах, поэтому разница между умножением вероятностей и амплитуд станет важной, если амплитуду, полученную какпроизведение, нам придётся складывать с какой-то другой амплитудой.3.1.3. Объединение независимых подсистемЕщё один случай умножения вероятностей — объединение независимых подсистем. Пусть одна подсистема описывается распределением 1 (x),52ГЛАВА 3а вторая — 2 (y), тогда совместное распределение задаётся их произведением. Такое произведение называется тензорным произведением:(x, y) = ρ1 (x) · ρ2 (y)⇔ = 1 ⊗ 2 .Аналогично если одна подсистема описывается волновой функцией ψ1 (x),а вторая — ψ2 (y), то совместная волновая функция задаётся их тензорнымпроизведением:ψ(x, y) = ψ1 (x) · ψ2 (y)⇔ψ = ψ1 ⊗ ψ2 .Ниже мы ещё вернёмся к обсуждению описания состояния сложной системы и её подсистем.3.1.4.
Распределения вероятностей и волновые функциипри измеренииСейчас мы приведём правила изменения распределения вероятностейпри классическом измерении и волновой функции при квантовом.В обоих случаях в результате измерения из плотности вероятности (какфункции измеряемых величин) или волновой функции (амплитуды вероятности, как функции измеряемых величин) вырезается кусок, который соответствует результату измерения.Описания обоих процедур ведётся почти одинаковыми словами. Различия в описаниях выделяются жирным шрифтом.Классический случайПусть классическая система находится в одном из состояний, нумеруемых параметром x, и нам задано распределение вероятностей, т. е.если x дискретно, то мы знаем вероятность px каждого значения x, а если x непрерывно, то мы знаем плотность вероятности (x), как функциюот x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
