Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. .А дальше идёт коридор. Если распахнуть дверь в нашей гостинойпошире, можно увидеть кусочек коридора в том доме, он совсем такойже, как у нас. Но, кто знает, вдруг там, где его не видно, он совсемдругой?Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье»Уравнение Шрёдингера не содержит ничего вероятностного. Оно полностью описывает, как меняется со временем волновая функция, а волновая2.3. Д ВЕИПОСТАСИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ31функция полностью описывает состояние системы.
Более полное описание невозможно, поэтому волновую функцию часто называют просто состояние (или чистое состояние, см. ниже сноску 2). Кто-то может возразить, что как раз волновая функция описывает вероятности, но уравнениеШрёдингера об этом «не знает», в этом разделе теории ничто не побуждает нас к использованию вероятностей, вероятности появятся, когда мызаймёмся теорией измерений.Волновая функция — максимально полное описание системы в квантовой механике.
Причём уравнение Шрёдингера позволяет по волновой функции,заданной в один момент времени, предсказывать еёповедение как вперёд, так и назад по времени, если система не подвергалась внешним возмущениям/измерениям (в данном случае это практически одно и то же).Пока квантовая система эволюционирует самапо себе, квантовая механика даже более детерминистична, чем классическая, поскольку уравнение2.1.ЭрвинШрёдингера устойчиво по начальным данным: если Рис.РудольфЙозефАлекв начальный момент времени волновая функция задаШрёдингерна с некоторой ошибкой, то величина этой ошибки1 сандрне меняется со временем. Только для этого система (1887–1961). Wдолжна быть замкнутой, т. е.
наблюдателю мало «отвернуться», ему надо ещё и «выключить свет», изолировав систему от окружения.2.3.2. На наших глазах . . .Совсем по-другому ведёт себя система, когда мы её наблюдаем, т. е.подвергаем некоторому неконтролируемому внешнему воздействию. Именно в процессе измерения волновая функция проявляет свою вероятностнуюприроду, и проявляется необратимость, свойственная квантовой механике.Состояние системы меняется скачком, и после измерения мы с некоторымивероятностями имеем разные волновые функции2 и различные результатыизмерения.1 Заданная как норма в пространстве L .
Необходимые для квантовой механики свойства2и определения для пространства L2 будут даны ниже.2 Состояния, когда система с некоторыми вероятностями описывается разными волновымифункциями, называются смешанными состояниями. Смешанные состояния удобно описыватьс помощью матриц плотности, о которых ещё будет идти речь далее.32ГЛАВА 2Для того, чтобы измерение произошло, не важно, смотрит ли наблюдатель на стрелку прибора, и есть ли у прибора вообще стрелка.
То, чтонаблюдатель отвернулся, не отменяет наблюдения3 . Если вы наблюдаетепроцесс невооружённым глазом, то для прекращения измерения мало закрыть глаза, надо ещё и выключить свет. Важно, что исследуемая квантовая система подверглась неконтролируемому взаимодействию с внешнеймакроскопической средой.
Неконтролируемость взаимодействия делает егонеобратимым, и обеспечивается эта неконтролируемость тем, что среда содержит макроскопически большое количество частиц. При этом, непосредственно в контакт с исследуемым объектом может вступать одна частица,но в процессе дальнейшей передачи сигнала и его усиления (если такоеусиление нужно) в процесс вовлекается всё больше и больше частиц. Если у прибора есть стрелка, то в результате макроскопический наблюдательсможет поставить единичку в одну или другую колонку лабораторного журнала.В некоторых случаях результат измерения можно предсказывать однозначно.
Однако для этого волновая функция и измеряемая величина должны бытьсвязаны определённым соотношением, тогда говорят,что данная величина определена в данном состоянии.Для того же состояния системы (той же волновойфункции) можно подобрать другую величину, измерение которой уже не будет однозначно предсказуемо.
(Например из соотношения неопределённостиследует, что чем точнее определён импульс, тем сильнее частица «размазана» по координате.)Рис. 2.2. Макс БорнВероятность того или иного исхода измерения(1882–1970). Wфизической величины описывается правилом Борна, связывающим квадрат модуля волновой функции(амплитуды вероятности) |ψ(x)|2 с вероятностью результата измерения. Этоправило, которое мы (в простейшем случае) «угадаем» при анализе смысла комплексной амплитуды электромагнитной волны (2.7.2 «Комплекснаяамплитуда в оптике и число фотонов (ф*)»), является универсальным.Таким образом, состояние системы (заданное, например, волновойфункцией) может меняться со временем двумя принципиально различнымиспособами: предсказуемо без взаимодействия с окружением и непредсказуемо при измерении.3 Знание наблюдателем результата измерения различает селективное измерение от неселективного, но такое различие, основанное на незнании, уже полностью описывается на языкеклассической теории вероятностей.2.4.
П РИНЦИПСООТВЕТСТВИЯ ( Ф )332.4. Принцип соответствия (ф)Для того, чтобы состыковать квантовую теорию с надёжно установленными и многократно подтверждёнными экспериментом и практикой законами классической физики и определить пределы применимости классической физической интуиции, Нильс Бор ввёл в 1923 году принцип соответствия:Если при описании явления применимы две разные теории, топредсказания результатов эксперимента должны соответствоватьдруг другу.Однако язык, на котором теории описывают одно и то же явление, может быть совершенно различен, и установление соответствия между различными описаниями может само по себе быть нетривиальнойзадачей.
Также нетривиальной задачей является выяснение того, в каких именно пределах предсказания теорий совпадают. Установление этихпределов важно для определения области применимости каждой теории.Принцип соответствия — не физический, а общефилософский принцип. Применительно к квантовой механике его обычно формулируют так:Поведение квантовой системы в пределе больших квантовых чисел соответствует поведению аналогичной классической системы.Иногда общий принцип формулируют так:Новая теория должна в некотором пределе воспроизводить предсказания старой, проверенной теории.Однако такую формулировку следует считатьслишком узкой, т.
к. новая теория не всегда перекрывает область применимости старой теории полностью. На сегодняшний день у нас нет одной «самой современной» фундаментальной физической теории, а есть несколько хороших фундаментальных физических теорий, каждая из которых хорошо работаетв своей области применимости и согласуется с другими теориями там, где их области применимости пере- Рис. 2.3. Нильссекаются. Вот некоторые примеры теорий и примене- Хенрик Давид Бор(1885–1962).
Wния к ним принципа соответствия:• Ньютоновская механика (НМ) — общий предел для всех современныхфизических теорий для расстояний, времён, масс не слишком большихи не слишком малых, и скоростей много меньше скорости света.34ГЛАВА 2• Специальная теория относительности (СТО) полностью воспроизводит ньютоновскую механику в пределе малых скоростей.• Общая теория относительности (ОТО) полностью воспроизводитСТО в пределе малых масс, времён и расстояний (в малой областипространства-времени).• Нерелятивистская квантовая механика (КМ) полностью воспроизводит НМ в пределе больших расстояний, времён, действий (действиедолжно быть большое в единицах h̄, расстояние — в волнах де Бройляи т. д.).• Квантовая теория поля (КТП) (в виде стандартной модели) полностью воспроизводит КМ в пределе малых скоростей и энергий, полностью воспроизводит СТО в пределе больших расстояний, времён,действий (как КМ воспроизводит НМ).
КТП согласуется с ОТО в пределе слабых гравитационных полей, но для сильных гравитационныхполей современная КТП не работает.Мы видим, что среди перечисленных теорий две «самые современные»: ОТО и КТП. Они согласуются между собой, но ни одна не покрываетдругую полностью. Конечно, физики мечтают открыть теорию, которая бывоспроизводила в соответствующих пределах и ОТО, и КТП.
Есть разныепретенденты на роль такой теории, но среди них пока нет общепризнанного.2.5. Несколько слов о классической механике (ф)Счастливец Ньютон, ибо картину мира можноустановить лишь однажды.Жозеф Луи ЛагранжКлассическая ньютоновская механика столетиями считалась абсолютно точной и окончательной физической теорией. С начала XX века оказалось, что на самом деле она описывает предельный случай не слишкомбольших и не слишком малых расстояний, времён, масс, скоростей.
В своей области применимости, где классическая механика великолепна, она используется до сих пор и будет использоваться всегда. И, согласно принципусоответствия, любая физическая теория должна быть проверена на соответствие с ньютоновской механикой.2.5. Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ О КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ( Ф )352.5.1. Вероятностная природа классической механики (ф)Очень трудно сделать точныйпрогноз, особенно о будущем.Нильс Бор WУравнение Шрёдингера всегда устойчиво по начальным данным.В классической механике большинство интересных систем неустойчиво,т. е. первоначальная малая ошибка в начальных данных экспоненциально нарастает со временем. Например, по оценке для тороидальной Земли характерное время, за которое малые возмущения состояния двумернойатмосферы увеличиваются в e раз, составляет порядка одной недели: «Например, для вычисления погоды на два месяца вперёд нужно иметь в запасепять знаков точности.
Практически это означает, что вычислять погоду натакой срок невозможно»4 .Рис. 2.4. Аттрактор («бабочка») Лоренца — классический пример того, как детерминистическая динамика порождает хаос. Витки кривой проходят сколь угодно близкодруг к другу, в результате чего сколь угодно малая ошибка приводит к тому, что современем мы ошибёмся «лепестком».
Первоначально аттрактор Лоренца возник причисленном исследовании простейшей модели погоды.В реальности устойчивая механическая система, тем более разрешимаяаналитически, — редкая удача. Практически каждая такая система являетсяхорошим нулевым приближением для некоторого класса задач, отталкиваясь от которого можно строить теорию возмущений, внося малые поправкив уравнения и их решения.4 В. И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
