Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Арнольд, «Математические методы классической механики», Добавление 2: «Геодезические левоинвариантных метрик».36ГЛАВА 2Неустойчивость уравнений классической механики работает как своеобразный микроскоп, который вытягивает на макроуровень всё более и более мелкие возмущения первоначальной системы. Это приводит к тому,что классическая механика позволяет делать предсказания на сколь угодно длинные сроки только тому, кто знает начальные данные с бесконечнойточностью, т. е.
может оперировать с бесконечным объёмом информации5 .(Этот «кто-то» носит гордое имя Демона Лапласа.)На достаточно больших временах (по сравнению с характерным временем нарастания возмущений) классическая механическая система «забывает» начальные данные (за исключением «хороших»=аддитивных сохраняющихся величин, таких как энергия), и мы можем делать для неё лишьвероятностные предсказания.2.5.2. Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф). . .
в пространстве ничего не пропадает; если ты оставишь в нёмпортсигар, так достаточно рассчитать элементы его траектории, прибытьна то же место в надлежащее время, и портсигар, следуя по своейорбите с астрономической точностью, попадёт к тебе в руки в заранеерассчитанную секунду.С. Лем, рассказ «Патруль», серия «Приключениязвёздного навигатора Пиркса»Простейшие классические механические системы, такие как гармонический осциллятор, часто бывают и устойчивы, и аналитически решаемы, и темсамым, вдвойне не типичны.
Это одна из причин того, за что их любят в школе и на младший курсах. Конечно, приятно, когда уравнения решаются аналитически. Именно точные аналитические решения производят впечатление наиболее «настоящих». Кому-тоРис. 2.5. Демон Ла- возможно кажется, что все уравнения должны такпласа (Laplace No Ma) решаться. Такую точку зрения в комбинации с лапо версии японских пласовским детерминизмом можно было бы назватьмультипликаторов.«аналитическим детерминизмом». Сам Лаплас «анаc[P-G/R]литического детерминизма», скорее всего, не придер5 Чтобы задать произвольное вещественное число, необходимо знать бесконечное количество цифр после запятой. В теории случайных процессов вещественное число является однойиз стандартных моделей случайного процесса, поскольку с помощью вещественных чисел изотрезка [0, 1] можно пронумеровать все бесконечные последовательности цифр.2.6.
Т ЕОРЕТИЧЕСКАЯМЕХАНИКА КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ( Ф )37живался, и своего демона придумал исключительно как мысленный эксперимент, ведь в своих астрономических вычислениях ему приходилосьвместо точных аналитических решений пользоваться последовательнымиприближениями теории возмущений.Теория возмущений сегодня строится в рамках различных физическихтеорий, но исторически первой была как раз небесная механика.
Основную идею теории возмущений можно описать так: мы упрощаем изучаемую систему настолько, чтобы появились простые решения (так называемые «невозмущённые решения», очень приятно, когда это точные аналитические решения), после чего ищем решения исходной системы в виде«невозмущённые решения» + «поправки».Например, рассматривая движение планет, лун, комет и других тел солнечной системы, мы сперва учитываем только притяжение планет к Солнцуи лун к соответствующим планетам, считая при этом Солнце, планеты и луны материальными точками и пренебрегая ускорениями планет при расчётедвижения лун.
В этом приближении планеты и луны движутся по замкнутым эллиптическим орбитам, в соответствии с законами Кеплера. Послеэтого мы начинаем вводить разные поправки: учитываем те силы гравитационного притяжения и силы инерции, которыми первоначально пренебрегли, учитываем, что небесные тела не точки, а стало быть действуютещё и приливные силы, что приливные силы могут вызывать в веществетрение и переводить механическую энергию в тепловую, что кометы придвижении вблизи Солнца теряют вещество и т.
д. и т. п.Первым крупным успехом классической теории возмущений следует,вероятно, считать открытие в 1846 году планеты Нептун, ранее предсказанной на основе анализа возмущений других планет.На сегодня понятно, что в большинстве теорий (как классических, таки квантовых) точное аналитическое решение — скорее счастливое исключение, чем правило. Тем не менее, кажется, что бессознательный аналитический детерминизм продолжает оставаться мировоззрением многих людей,которые далеки от науки, но «верят в науку». Во всяком случае, в художественной литературе подобные настроения частенько проскальзывают.2.6.
Теоретическая механика классическаяи квантовая (ф)После того как Ньютон сформулировал законы Ньютона и создал наих основе классическую механику, считавшуюся незыблемой вплоть до создания специальной теории относительности (СТО), развитие механики непрекратилось.38ГЛАВА 2Выдающимися математиками и механиками был разработан принципэкстремального действия (2.7.1 «Механика и оптика геометрическая и волновая (ф)»), на основе которого был дан ряд исключительно изящныхформулировок классической механики, в которых характер механическойсистемы полностью описывался заданием некоторой функции (лагранжианили гамильтониан6 ), а конкретное состояние системы описывалось как точка некоторого абстрактного фазового пространства (или как распределениев этом пространстве).По существу был разработан специальный математический язык дляописания механических теорий (моделей) с конечным числом степеней свободы.
Этот язык оказался настолько удачным, что появившаяся в началеXX века специальная теория относительности также была описана на этомязыке.Модификации теоретической механики для систем с бесконечным числом степеней свободы столь же изящно описывают механику сплошнойсреды и классические теории поля (первой из которых была электродинамика Максвелла).Мощный математический аппарат классической теоретической механики не пригоден для описания квантовой механики. Однако он может бытьмодифицирован для квантового случая.Существенная часть данной книги — изложение теоретической квантовой механики для систем с конечным числом степеней свободы. Подобноклассической теоретической механике, это специальный язык для описанияфизических теорий, который содержит квантовый гамильтониан (описывает характер физической системы) и квантовые состояния.
Между гамильтонианами соответствующих систем в классической и квантовой механикебудет установлено соответствие, хотя и не однозначное7 .Как и в классическом случае, обобщение квантовой механики на бесконечное число степеней свободы даст квантовую теорию поля (КТП). Переход к релятивистскому случаю потребует не только замены гамильтонианов, но и одновременно перехода к квантовой теории поля, поскольку прибольших энергиях становятся существенными процессы рождения частиц,а значит число степеней свободы оказывается переменным (потенциальнобесконечным).6 Лагранжиан (функция Лагранжа) — разность кинетической и потенциальной энергий, выраженная как функция от обобщённых координат и скоростей.
Гамильтониан (функция Гамильтона) — суммарная энергия, выраженная как функция обобщённых координат и импульсов.7 Квантовая (теоретическая) механика систем с конечным числом степеней свободы оказывается похожа на классическую теорию поля (классическую механику с бесконечным числомстепеней свободы). В частности, это позволит вывести уравнение Шрёдингера из вариационного принципа, как классические уравнения поля (4.11 «Вариационный принцип»).2.7. Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )392.7. Несколько слов об оптике (ф)В классической оптике можно выделить три эпохи:• Геометрическая оптика,• Волновая оптика,• Волновая оптика как раздел классической электродинамики.Геометрическая оптика похожа на классическую механику, а волновая оптика обладает многими существенными чертами квантовой теории.Благодаря этому мы сможем многое понять в квантовой механике, простопо-новому взглянув на оптику и её историю в сравнении с механикой классической и квантовой.Позднее, в разделе 12.11 «Квантованные поля» (ф*) мы обсудим связьмежду классической и квантованной теориями поля на более детальном(хотя и не исчерпывающем) уровне.2.7.1.
Механика и оптика геометрическая и волновая (ф)Как известно, классическая механика была создана Ньютоном («Philosophiae Naturalis Principia Mathematica», 1687) по образу и подобию геометрии. В своих «Математических началах натуральной философии» Ньютонне писал формул, а в подражание «Началам» Евклида (1-е печатное издание: «Elementa geometriae», 1482) описывал все законы на геометрическомязыке.w(x)xРис. 2.6. Прохождение света через 2 щели в геометрической оптике.40ГЛАВА 2w(x)exp(iwt1)exp(iwt1®f)exp(iwt2)exp(iwt2®f)xРис.
2.7. Интерференция на 2 щелях.Мопертюи («Essay de Cosmologie», 1750), Эйлер («Reflexions surquelques loix generales de la nature», 1748), Лагранж («Mécanique analytique»,Париж, 1788) и Гамильтон («On a general method in Dynamics», PhilosophicalTransactions, 1834, 1835) переформулировали классическую ньютоновскую(геометрическую) механику по образу и подобию геометрической оптики. Согласно принципу Ферма (ок. 1660), свет распространяется по траекториям с экстремальным (часто минимальным) временем прохождения.Аналогично, согласно принципу экстремального действия, движение механической системы происходит таким образом, чтобы функционал действия S[x(t)] вдоль траектории x0 (t) был экстремален. Но если в геометрической оптике траектория луча света была кривой в трёхмерном физическом пространстве, то в теоретической механике траектория системы —кривая в конфигурационном пространстве, точки в котором задаются совокупностью обобщённых координат всех частей системы.Однако вскоре выяснилось, что распространение света более правильно описывается волновой оптикой.
Вместо отдельных лучей в том же физическом пространстве следует рассматривать волну. Согласно принципуГюйгенса – Френеля (1816 г.), каждая точка фронта световой волны можетрассматриваться как источник вторичных волн, интерференция которых,с учётом фазы, задаёт дальнейшее распространение света. При этом фаза волны определяется как eiωt , где t — время распространения. То самоевремя, которое входило в принцип Ферма.Если многократно повторять построение вторичных волн, каждый разразбивая волновые фронты на много мелких участков, то нам придётся2.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
