Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )41w(x)xРис. 2.8. Интерференция на бесконечном числе щелей в бесконечном числе ширм.Экраны «состоят из щелей», т. е. в действительности никаких ширм нет, зато естьинтерференция света, идущего по всем возможным путям из источника в даннуюточку на экране.вычислять время распространения вдоль всевозможных траекторий лучасвета, после чего суммировать фазы тех траекторий, которые встречаются в нужной точке.
Т. е. в волновой оптике свет распространяется по всемтраекториям одновременно, постоянно интерферируя сам с собой (см. раздел 3.2).Волновая (квантовая) механика в той части,в которой она описывает свободную эволюциюзамкнутой системы, относится к теоретическоймеханике так же, как волновая оптика относится к геометрической.
В квантовой механике вместо отдельных траекторий в том же конфигурационном пространстве следует рассматривать волну(волновую функцию). И тот же функционал действия S[x(t)], экстремальное значение которогоопределяло разрешённые траектории x0 (t) в классической механике, в квантовой определяет фаiS[x(t)]волновой функции.зу e h̄Поскольку действие — размерная величина,в показателе экспоненты она делится на постоянную h̄ с размерностью действия — постояннуюРис.
2.9. Луи ВикторПьер Раймон, 7-й герцогБрольи (Луи де Бройль),1929 г. (1892–1987). W42ГЛАВА 2Планка. Постоянную Планка можно положить равной 1 и рассматриватькак естественную единицу действия.«Размерностьдействия» = «расстояние» × «импульс» = «время» ×× «энергия».Положив постоянную Планка единицей, мытем самым выбираем в качестве единицы импульса обратную единицу длины, а в качествеединицы энергии — обратную единицу времени.Таким образом, размерность импульса совпадаетс размерностью волнового вектора, а размерностьэнергии — с размерностью частоты. Из специальной теории относительности мы знаем, что круговая частота ω вместе с волновым вектором kобразуют четырёхмерный волновой вектор ki == (ω, k).
Аналогично энергия E и импульс pобразуют четырёхмерный импульс pi = (E, p).Рис. 2.10. Макс Планк Как было показано Планком, на примере излу(1858–1947)вручает чения чёрного тела, и Эйнштейном, на примеАльбертуЭйнштейну ре фотоэффекта, четырёхмерный импульс кванта(1879–1955)медаль электромагнитного излучения (фотона) и волноМакса Планка, 1929 г. Wвой вектор соответствующей волны являются одним и тем же объектом, выраженным в разныхединицах:pi = h̄ki ⇔ E = h̄ω, p = h̄k.(2.1)Де Бройль догадался, что любой частице с определённым 4-импульсом соответствует некоторая волна, чей волновой 4-вектор выражается той жеформулой.2.7.2. Комплексная амплитуда в оптике и число фотонов (ф*)Рассмотрим поле плоской монохроматической электромагнитной волны.
Электрическое поле в какой-то точке пространства может быть заданокакE = Re (A exp(−iωt)) = Re (A) cos(ωt) + Im (A) sin(ωt).Здесь A — комплексная амплитуда электромагнитной волны. Векторы Eи A перпендикулярны волновому вектору электромагнитной волны, т. е.мы можем рассматривать A как двумерный комплексный вектор, например,в плоскости (x, y), если волна бежит по z. На этой плоскости мы можемвводить различные ортонормальные базисные векторы, которым соответствуют разные взаимоисключающие поляризации, например, базис (1, 0),2.7.
Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )43(0, 1) соответствует линейным поляризациям по x и по y, а базис √12 (1, i),√1 (1, −i) — круговым поляризациям по и против часовой стрелки.2Средняя по периоду плотность энергии в электромагнитной волне пропорциональна|A|2 = (A, A∗ ) = (Re A)2 + (Im A)2 .Здесь и далее звёздочка ∗ обозначает комплексное сопряжение: z ∗ == (Re z + i Im z)∗ = Re z − i Im z.Однако в квантовой теории электромагнитная волна состоит из отдельных частиц-фотонов, энергией по h̄ω каждый. Таким образом, средняяплотность энергии в электромагнитной волне теперь соответствует средней плотности фотонов или, если фотонов мало, вероятности обнаружитьфотон в единице объёма.Электродинамика — теория линейная по электромагнитному полю,а значит линейная и по амплитуде электромагнитной волны. Это означает,что мы можем умножать амплитуды на комплексные числа, складывать ихмежду собой и снова получать амплитуды (т.
е. в линейной теории допустима линейная суперпозиция решений). Как в любой линейной теории, полезным инструментом исследования электромагнитных волн является разложение их по базису.Комплексные амплитуды (но уже в пространстве разных размерностей)сохраняются и в квантовой теории, причём их линейность (принцип суперпозиции) оказывается основополагающим принципом.Если мы разложим A по какому-то ортонормированному базису, токаждому базисному вектору ei соответствует своя поляризацияA = A1 e1 + A2 e2 ,|A|2 = |A1 |2 + |A2 |2 .При этом |A|2 — суммарная плотность фотонов, а |Ai |2 — плотность фотонов с поляризацией i. Например, если у нас есть всего один фотон с поляризацией по часовой стрелке (далее мы нормируем амплитуды на 1 фотон),т.
е. A = √12 (1, i), то мы с вероятностью 12 обнаружим фотон, поляризованный по x (прошедший через ориентированный по x поляризатор), т. е. обнаружим A = (1, 0); с вероятностью 12 обнаружим фотон поляризованныйпо y, т. е. обнаружим A = (0, 1), но с вероятностью 0 обнаружим фотон,поляризованный против часовой стрелки, т.
е. A = √12 (1, −i).В общем случае, фотон с поляризацией A обнаруживается в состоянии B с вероятностью |(A, B ∗ )|2 = |A1 B1∗ + A2 B2∗ |2 . Эта формула можетбыть легко проверена для плотности энергии произвольно (эллиптически)поляризованного света, проходящего через поляризатор.44ГЛАВА 2Если в одной области пространства накладываются две электромагнитные волны, то можно выделить два случая. Если частоты волн совпадают,а их фазы достаточно устойчивы, то происходит когерентная интерференция, т.
е. складываются не плотности энергии (плотности вероятности найти фотон), а комплексные амплитуды. Если же волны некогерентные, т. е.если частоты различаются, или фазы скачут, то интерференционная картинаусредняется по случайному сдвигу фазы, и складывать следует плотностиэнергии (плотности вероятности найти фотон).2.7.3. Преобразование Фурье и соотношения неопределённостейВолновой вектор точно определён только для монохроматической волны, заполняющей всё пространство. Аналогично, частота точно определенатолько для бесконечно длительного гармонического колебания. Преобразование Фурье позволяет раскладывать любые функции на плоские волны:if (t, r) = f (r ) = dω dk a(ω, k) ei(kr−ωt) .Для функции одной переменной:f (t) = dω a(ω) e−iωt .Поскольку для линейных (подчиняющихся принципу суперпозиции) волнэнергия квадратична по амплитуде, естественно выбирать квадратичныйвес |a|2 при усреднении по частоте (волновому вектору), а также |f |2 приусреднении по координате (четырёхмерному радиус-вектору r i = (t, r)).Средние координаты для волнового пакета f (t, r):1iii 2dt dr r |f (r )| , C = dt dr |f (r i )|2 .r0 =CСредний 4-волновой вектор для волнового пакета f (t, r):dω dk ki |a(ki )|2 , C = dω dk |a(ki )|2 = C 4 .k0i = 1C(2π)Если a(ω, k) достаточно быстро спадает при выходе из достаточно малой области, то волновой вектор и волновое число «почти определены».В качестве меры ширины волнового пакета удобно взять среднеквадратичные отклонения8 , например, для ширины пакета по времени и частоте8 На самом деле, возможны разные определения неопределённостей координат и импульсов,которым соответствуют разные, не сводимые друг к другу, точные формулировки соотношениянеопределённостей Гайзенберга.2.7.
Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ ОБ ОПТИКЕ ( Ф )45мы имеем (далее рассуждения для одной координаты)12dt dr (t − t0 )2 |f (r i )|2 ,(δt) =C(δω)2 = 1 dω dk (ω − ω0 )2 |a(ki )|2 .CЕсли взять «почти монохроматическую волну» f (t) в виде волновогопакета со средним положением t0 и шириной δt, «вырезанного» из волныс частотой ω0 , то обрезание волнового пакета приводит к уширению спектральной линии. Обрезание описывается одним параметром δt с размерностью времени. После преобразования Фурье мы обнаружим волновой пакетa(ω) со (средней) частотой ω0 и шириной δω.
При δt → ∞ δω → 0. Таким1образом, из соображений размерности δω ∼ δt. Коэффициент пропорциональности зависит от способа вырезания волнового пакета, однако он неможет быть сколь угодно мал, поскольку δω = 0 только для монохроматической волны неограниченной длины. Таким образом,δt · δω const ∼ 1.Как мы выясним ниже, в разделе 7.2 константа в данном неравенстве равна 12 .С учётом того, что в квантовой механике круговая частота и волновойвектор представляют собой энергию и импульс, выраженные в других единицах (2.1), мы получаем для времени и частоты (энергии) соотношениенеопределённостейδt · δω 12⇔δt · δE h̄ .2(2.2)Аналогичное соотношение неопределённостей для координаты и соответствующей компоненты волнового вектора (импульса):δx · δkx 12⇔δx · δpx h̄ .2Представленные в таком виде соотношения неопределённостей не содержат в себе ничего специфически квантового, а лишь демонстрируютнекоторые свойства преобразований Фурье.
В точности такие же соотношения между длиной волнового пакета и шириной спектральной линии мыможем использовать, например, в акустике или электродинамике. «Неопределённость» здесь не связана с какой-либо процедурой измерения, а является свойством самой системы.46ГЛАВА 22.7.4. Микроскоп Гайзенберга и соотношение неопределённостейМысленный эксперимент «микроскоп Гайзенберга» позволит нам вывести соотношение неопределённостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
