Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При этом суммарная вероятность, получаемая суммированием (интегрированием) вероятности (плотности вероятности) по всем значениям x,равняется 1:2+∞(x) dx = 1.−∞2Вэтом разделе мы будем считать, что переменная x непрерывна, т. е. для любого конкретного значения x его вероятность равна нулю, хотя плотность вероятности может от нуляотличаться. Если есть некоторый дискретный набор W значений x, для которых вероятностиконечны, то к соответствующим интегралам придётся добавлять суммы. Теперь суммарная3.1.
В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ53И пусть мы провели над этой классической системой измерение, которое установило, что x принадлежит определённому отрезку x ∈ [a, b]. Вероятность, что измерение даст такой результат, составляетbp[a,b] =(x) dx.aСразу после такого измерения вероятность (плотность вероятности) любого значения x вне заданного отрезка обратилась в нуль. Для точек внутри отрезка отношения вероятностей не изменились. Таким обравероятность будет задаваться так:+∞(x) dx +px = 1.x∈W−∞Мы можем упростить формулы для классических вероятностей, избавившись от сумм, если воспользуемся δ-функцией Дирака.
δ(x) — бесконечно узкий и бесконечно высокий пик,сидящий в нуле, такой, что интеграл от него равен 1. δ-функция — не настоящая функция,а обобщённая. Значение какой-либо обобщённой функции f (x) в точке x0 может быть неопределено, но зато для всякой «достаточно хорошей» функции ϕ(x) определён интеграл+∞f (x)ϕ(x)dx.−∞Определением δ-функции является соотношение:+∞δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0).−∞Мы можем модифицировать распределение вероятностей так, чтобы оно также описываловероятности дискретных событий:px0 · δ(x − x0 ).м (x) = (x) +x0 ∈WТеперь мы можем написать суммарную вероятность так:+∞м (x) dx = 1.−∞Следует заметить, что данный способ избавления от сумм не сработает для амплитуд вероятностей, т.
к. для этого пришлось бы извлекать из δ-функций квадратный корень, а извлечениекорня из обобщённых функций не определено.54ГЛАВА 3r(x)abxbxbxr(x)ar(x)aРис. 3.3. Изменение распределения вероятностей при положительном и отрицательном результатах измерения.зом, из первоначального распределения вероятностей «вырезается» отрезок [a, b], все вероятности вне его обнуляются, а все вероятности на этомотрезке делятся на p[a,b] , чтобы суммарная вероятность нового распределения снова оказалась единицей.Квантовый случайПусть квантовая система находится в суперпозиции состояний, нумеруемых параметром x, и нам заданы амплитуды вероятностей, т. е.
если xдискретно, то возведение амплитуды по модулю в квадрат даёт вероятность каждого значения x, а если x непрерывно, то возведение амплитудыпо модулю в квадрат даёт плотность вероятности как функцию от x. Приэтом суммарная вероятность, получаемая суммированием (интегрированием) вероятности (плотности вероятности) по всем значениям x, равняется 1.И пусть мы провели над этой квантовой системой измерение, котороеустановило, что x принадлежит определённому отрезку x ∈ [a, b].
Вероятность, что измерение даст такой результат, составляетb|ψ(x)|2 dx.p[a,b] =a3.1. В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ55Y(x)abxY(x)abxY(x)abxРис. 3.4. Изменение волновой функции при положительном и отрицательном результатах измерения.Сразу после такого измерения амплитуда вероятности любого значения xвне заданного отрезка обратилась в нуль. Для точек внутри отрезка отношения амплитуд вероятностей не изменились. Таким образом, из первоначальной волновой функции «вырезается» отрезок [a, b], все амплитуды√вне его обнуляются, а все амплитуды на этом отрезке делятся на p[a,b] ,чтобы суммарная вероятность нового распределения снова оказалась единицей.Измерение и проекторОперацию вырезания отрезка [a, b] из волновой функции мы можемописать с помощью линейного оператора P̂[a,b] :P̂[a,b] ψ(x) = I[a,b] (x)ψ(x),где IW — характеристическая функция множества W1, x ∈ W,IW (x) =0, x ∈ W.(3.9)(3.10)56ГЛАВА 3Оператор P̂[a,b] является проектором (т.
е. он проецирует все волновыефункции на некоторое линейное подпространство волновых функций), чтоозначает, что двухкратное действие этого оператора даёт тот же результат,что и однократное2P̂[a,b] P̂[a,b] ψ(x) = I[a,b](x)ψ(x) = I[a,b] (x)ψ(x) = P̂[a,b] ψ(x).(3.11)Определяя произведение операторов как оператор, действие которого напроизвольную волновую функцию даёт тот же результат, что и последовательное действие (справа налево) всех сомножителей, мы можем записатьопределение проектора следующим образом:P̂ 2 = P̂ .(3.12)В дальнейшем мы будем иметь дело и с другими линейными операторами,действующими на волновые функции, при этом очень многие физическиосмысленные операторы окажутся связаны с проекторами.3.1.5.
Амплитуда при измерении и скалярное произведениеПусть волновая функция Ψ(n) задаёт амплитуду вероятности обнаружить систему во взаимоисключающих состояниях φn , нумеруемых дискретным параметром n. Состояния φn образуют максимальный набор взаимоисключающих состояний, т. е. если система находится в состоянии φn ,то она не может быть найдена в состоянии φk (k = n), причём набор неможет быть расширен.Поскольку суммарная вероятность единица, следует положить условиенормировки на единицу:Ψ2 = Ψ|Ψ =|Ψ(n)|2 = 1.nТаким образом, у нас есть естественная операция взятия скалярного квадрата волновой функции. Имея операцию взятия скалярного квадрата, мыможем ввести операцию взятия скалярного произведения:Φ|Ψ =Φ∗ (n) Ψ(n).nКомпонента волновой функции Ψ(n) может быть записана как скалярное произведение функции Ψ на базисную функцию φn (φn (k) = δnk ),3.1.
В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ57которая также нормирована на единицу:Ψ(n) = φn |Ψ = Ψ|φn ∗ ,φn |φk = δnk =1, n = k,0, n = k.Мы уже знаем физический смысл компоненты Ψ(n) волновой функции, как амплитуды вероятности того, что система, находящаяся в состоянии Ψ, будет обнаружена в состоянии φn , и это позволяет нам установитьфизический смысл скалярного произведения двух нормированных на единицу волновых функций. Аргументы скалярного произведения равноправны (с точностью до комплексного сопряжения), так что Ψ∗ (n) = Ψ|φn —амплитуда вероятности обратного процесса, т.
е. амплитуда того, что система, находившаяся в состоянии φn , будет найдена в состоянии Ψ.Мы можем физически интерпретировать формулу для скалярногоумножения волновых функций в терминах умножения и сложения амплитудвероятности.Пусть Ψ определяет начальное состояние системы, а Φ — конечное(Ψ2 = Φ2 = 1). Мы рассматриваем измерение, которое должно ответить на вопрос «Находится ли система в состоянии Φ?» Прыжок в состояние Φ мы будем рассматривать как «благоприятный» результат измерения.Можно считать, что переход из состояния Ψ в состояние Φ осуществляется через любое промежуточное состояние φn , причём определить черезкакое именно из состояний φn прошла система в принципе невозможно.Амплитуда перехода из Ψ в Φ через φn задаётся как произведениеамплитуд перехода из Ψ в φn и из φn в Φ:AΦ←φn ←Ψ = Φ∗ (n) Ψ(n) .
Φ←φn φn ←ΨСуммарная амплитуда перехода задаётся суммой (интегралом, в случаенепрерывного спектра по n) по всем промежуточным состояниям φn :Φ∗ (n) Ψ(n) .(3.13)AΦ←Ψ =nΦ←φn ←ΨВычисление амплитуды перехода может быть представлено рис. 3.5,который по существу является другой записью формулы (3.13).Таким образом, оказывается, что для волновых функций имеется физически осмысленное скалярное произведение, дающее для нормированныхна единицу волновых функций амплитуду вероятности перехода из одного58ГЛАВА 3n=1F*(1)Y(1)n=2FF*(2)F*(...)Y(2) YY(...)n = ...Рис. 3.5.
Переход от Ψ к Φ совершается через все возможные взаимоисключающиесостояния n по стрелкам с соответствующими амплитудами согласно (3.13).состояния в другое при измерении. Сама структура формулы скалярногопроизведения имеет физический смысл, показывая, что переход осуществляется через все возможные взаимоисключающие промежуточные состояния.Наборы амплитуд Ψ(n) и Φ(n) можно рассматривать как компонентыкомплексных векторов.
Тогда замена базиса будет соответствовать замененабора взаимоисключающих состояний φk (базиса) новым набором состояний (базисом) φk , который состоит из суперпозиций (линейных комбинаций)состояний старого базиса. Разложение по новому базису будет ничуть нехуже, чем разложение по старому, если новый базис также будет ортонормированным, т. е. если скалярное произведение (3.13) будет в нём задаваться прежней формулой.Оказывается естественным смотреть на волновые функции как на комплексные векторы (возможно, бесконечномерные).
Аргументы волновыхфункций при этом нумеруют компоненты вектора в конкретном базисе,а значение волновой функции в точке выступает как компонента вектора.3.2. Возможно всё, что может произойти (ф*)Представим себе следующий эксперимент, в котором частицы вылетают из источника и попадают на фотопластинку, на которой возникаетинтерференционная картина.
Пусть вначале между источником и фотопластинкой нет никаких препятствий (рис. 3.6). Теперь поместим между фотопластинкой и источником экран с двумя щелями (рис. 3.7). Чтобы получитьамплитуду вероятности попадания частицы в некоторую точку пластинки,3.2. В ОЗМОЖНОВС Ё , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *)59мы должны сложить амплитуды попадания частицы в заданную точку двумя различными способами: через первую щель и через вторую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
