Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Каждая изэтих амплитуд вычисляется как произведение амплитуды попадания в соответствующую щель и условной амплитуды попадания из этой щели в заданную точку пластинкиAf = A1 A1→f + A2 A2→f .(3.14)w(x)xРис. 3.6. Частицы беспрепятственно падают на экран.Рис. 3.7. Интерференция на 2 щелях.60ГЛАВА 3w(x)A2®1'A1®1'A1A2|A1A1®1'A1'®f++A1A1®2'A2'®f++A2A2®1'A1'®f+2+A2A2®2'A2'®f+|A1'®fA1®2'A2®2'A2'®fxРис.
3.8. Интерференция на 2 ширмах с 2 щелями каждая.Поставим после экрана с двумя щелями ещё один экран с двумя щелями (рис. 3.8). Теперь амплитуда попадания частицы в щели 1 и 2 определяется по аналогичным формулам:A1 = A1 A1→1 + A2 A2→1 ,A2 = A1 A1→2 + A2 A2→2 .(3.15)Если подставить эти формулы в (3.14), то получится сумма по всемкомбинациям щелей, через которые может пройти частица по пути к фотопластинке:Af = A1 A1→1 A1 →f + A2 A2→1 A1 →f ++ A1 A1→2 A2 →f + A2 A2→2 A2 →f . (3.16)Будем и далее добавлять между источником и фотопластинкой всё новые и новые экраны, а в экранах будем делать всё новые и новые щели.
Амплитуда вероятности попадания частицы в заданную точку фотопластинки даётся всё более и более громоздкими суммами по всем возможнымкомбинациям щелей, через которые может пройти частица, а каждый членсуммы задаётся длинным произведением условных амплитуд вероятностипопадания частицы из одной точки в другую.В пределе мы можем поставить экраны всюду между источником и фотопластинкой, а в каждом экране сделать щели тоже всюду (рис. 3.9).
Этосоответствует тому, что никаких экранов между источником и пластинкойбольше нет, и мы вернулись к первоначальной ситуации. Зато теперь мы понимаем, что амплитуда попадания частицы из одной точки в другую может3.2. В ОЗМОЖНОВС Ё , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *)61быть вычислена суммированием (интегрированием) амплитуд по всем возможным траекториям, по которым частица могла бы пройти. При формализации этих качественных рассуждений мы получим метод фейнмановскихинтегралов по траекториям, широко применяемый в современной квантовой теории.w(x)2|?exp(iS[x(t)/h])Dx(t)| ==|lim ?A1A1®2'...An®f|An®f2A1xРис.
3.9. Снова, как в оптике, мы можем считать, что частица распространяетсяпо всем траектория одновременно, а амплитуда вероятности задаётся как сумма(точнее интеграл) по всем возможным траекториям.Амплитуда вероятности задаётся как экспонента от действия вдольтраектории⎞⎛t1L(x, ẋ) dt⎠.(3.17)exp i S[x(t)] = exp ⎝ ih̄h̄t0Амплитуда быстро колеблется при переходе от траектории к траектории,поэтому вклад большинства траекторий взаимно уничтожается. Основнойвклад, как правило, дают те траектории, около которых эти колебания замедляются, т. е. те траектории, для которых действие S[x(t)] при малойвариации траектории δx(t) меняется мало, т.
е. для траекторий, удовлетворяющих условиюδS[x(t)] = S[x(t) + δx(t)] − S[x(t)] + o(δx) == ∂ S[x(t) + ε · δx(t)]= 0,∀δx(t).∂ε(3.18)ε=0В этом случае вклады соседних траекторий складываются с одинаковойфазой и усиливают друг друга. Условие (3.18) совпадает с принципом экс-62ГЛАВА 3тремального действия в теоретической механике, который, таким образом,в некотором смысле «выводится» из квантовой механики.При суммировании амплитуд свой вклад вносят и траектории, невозможные с классической точки зрения, например в рассматриваемом вышепримере мы учитывали траектории, на которых частица сама собой разворачивается в пустом пространстве, нарушая, тем самым, закон сохраненияимпульса. Следует учитывать и траектории, для прохождения которых у системы не хватает энергии.
С этим связан туннельный эффект, позволяющий частице с некоторой вероятностью проходить через потенциальныйбарьер, для преодоления которого у неё недостаточно энергии.Метод интегралов по путям естественно обобщается на процессы,в ходе которых частицы могут рождаться, уничтожаться и превращаться друг в друга. В этом случае надо дополнительно просуммировать повсем возможным процессам взаимопревращений частиц.
Так, например,для описания рассеяния электрона на электроне надо суммировать амплитуды процессов на рис. 3.10.++++++Рис. 3.10. Рассеяние электрона на электроне определяется как суперпозиция следующих процессов: электроны свободно движутся; электроны свободно движутся, но мы их перепутали (поскольку электроны принципиально неразличимы, надосуммировать амплитуды, а не вероятности), электроны обменялись одним виртуальным фотоном (для которого энергия и импульс связаны «неправильным образом»),электроны обменялись одним виртуальным фотоном и перепутались, электроны обменялись сперва одним фотоном, а потом вторым, электроны испустили по фотону,и каждый поглотил «чужой» фотон, и т. д.(**) Диаграммы на рис. 3.10 являются на самом деле формулами. Каждая линия изображает распространение частицы между начальным и конечным состояниями всеми возможными способами. Интеграл по траекториям,соответствующий одной такой линии (пропагатор), мы можем вычислитьодин раз, а далее использовать готовое выражение.
После этого вычисление амплитуды процесса будет сводиться к суммированию всех возможных3.2. В ОЗМОЖНОВС Ё , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *)63диаграмм, в которых имеются два начальных электрона, два конечных, а всевершины имеют вид как на рис. 3.113 .Рис. 3.11. Вершина для взаимодействия электрона с электромагнитнымполем.Рис. 3.12. Ричард Филлипс Фейнман(1918–1988).Такие рисунки и соответствующие им амплитуды называются диаграммами Фейнмана. Здесь ровные линии со стрелками обозначают электроныи позитроны, а волнистые — фотоны. Всевозможных промежуточных процессов бесконечно много, но, как правило (в хороших теориях), хорошееприближение получается суммированием первых самых простых диаграммФейнмана.
Подобный набор картинок, изображающих протекание процессавсеми возможными способами, задаёт для этого процесса ряд теории возмущений, причём степень малости вклада каждой диаграммы определяетсячислом вершин (каждая вершина — множитель).3.2.1. Большое в малом (ф*)Конечно, это были совсем не пчёлы; по правде говоря, этобыли слоны, в чём Алиса очень скоро убедилась.Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье»Мы можем придти к следующему общефилософскому заключению.В квантовой системе, как правило, может произойти всё, что не запрещено законами сохранения, хотя и с различными амплитудами вероятности.Так, если мы столкнём на ускорителе две частицы с энергией, достаточнойдля рождения зелёного слоника, то с некоторой ненулевой вероятностьюзелёный слоник возникнет (хотя эта вероятность будет заметно меньше, чем3 Поскольку здесь важна идея вычисления амплитуды как суммы амплитуд всех возможныхпроцессов, мы не останавливаемся на деталях диаграммной техники.64ГЛАВА 3Рис.
3.13. Зазеркальный слон.Рис. 3.14— Взгляни-ка на то облачко, . . . — Это вьются Бегемошки. . . .— А что они едят? — снова спросила Алиса.— Мелкую рыбёшку и лягушек! . . .— А если рыбок не будет? . . .— Тогда они, конечно, умрут, . . .— И часто так бывает?— Всегда, . . . .Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье»Как и бегемошкам, виртуальным частицам не хватает энергии, чтобы существовать, и они всегда распадаются4вероятность самопроизвольной сборки слоника из отдельных атомов в результате броуновского движения, а среднее время ожидания такого событияна много порядков превысит возраст Вселенной). Но даже если энергиянашего ускорителя недостаточна для рождения зелёных слонов, то в процессе столкновения двух частиц зелёный слоник может возникнуть в промежуточном состоянии, чтобы потом распасться (аналогично прохождениючастицы при туннельном эффекте через потенциальный барьер, высота которого превышает энергию частицы).
Правда существовать такой виртуальный слоник сможет очень короткое время, определяемое соотношениемнеопределённостиδE · δt ∼ h̄,(3.19)где δE — энергия, которой нам не хватает, чтобы создать слоника, δt —время его существования, а h̄ — постоянная Планка.
Хотя вклад процессовс участием виртуальных слоников в рассеяние элементарных частиц исчезающе мал, но другие, не столь тяжёлые, объекты действительно начинают заметно (измеримо) влиять на жизнь элементарных частиц на энергияхмного меньших, чем энергия, необходимая для их рождения.Так, например, при β-распаде свободного нейтрона (см.
рис. 3.155 )он испускает виртуальный калибровочный W − бозон, который тяжелее4 Рисунки слона и бегемошки художника И. И. Казаковой воспроизведены по изданию Льюис Кэрролл «Приключения Алисы в стране чудес; Алиса в Зазеркалье», Петрозаводск: Карелия, 1979.5 Сплошная стрелка — фермион (длинная — барион, короткая — лептон), прозрачная стрелка — заряд. Для античастицы сплошная стрелка рисуется на заднем конце. Для заряженнойчастицы прозрачная стрелка рисуется на переднем конце для положительного заряда, и на3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
