Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Наэтом множестве операции умножения на вещественное число, операцииумножения элементов множества друг на друга, операция взятия среднего и операция взятия скобки Пуассона могут быть не определены, и в этойнеопределённости нет ничего страшного.Для предсказания результата измерения нам на самом деле нужнатолько одна операция — операция вычисления вероятности того или иногоисхода измерения в данном состоянии.В классическом случае такая наблюдаемая по-прежнему задаётсяфункцией F (Q, P ), но значения функции F уже не обязаны быть вещественными, а могут принадлежать произвольному множеству V :F : (Q, P ) → F (Q, P ) ∈ V.Ни одна из операция необходимых для алгебры наблюдаемых, не являетсяпри этом обязательной.В квантовом случае нам достаточно задать разбиение пространства наортогональные подпространства для дискретного спектра (или проектор-118ГЛАВА 4нозначную меру для непрерывного спектра):{P̂α }α∈V ,P̂α = 1̂,P̂α† = P̂α ,P̂α P̂β = δαβ P̂α .αЭтого достаточно, чтобы определить вероятность любого исхода измерения α:pα = ψ|P̂α |ψ.Умножать волновую функцию на элемент множества V ⊂ C мы не можем,так что такой наблюдаемой нельзя сопоставить оператор.
Соответственно,нельзя вычислить и среднее значение.Понятно, что мы можем вручную перенумеровать элементы V вещественными числами и всё-таки определить оператор наблюдаемой величины, но после этого не следует удивляться тому, что получившийся искусственный оператор ведёт себя неестественным образом.Приведём пример такого неестественного оператора.Угол поворота вокруг какой-либо оси мы можем задавать вещественным числом.
При этом сложение таких углов, умножение их на вещественные числа и усреднение будет иметь хороший геометрический смысл. Однако угловая координата (для определённости возьмём угол ϕ в цилиндрических координатах) такого хорошего смысла уже не имеет. Нулевое значение угловой координаты, в отличие от нулевого значения угла поворота,никак не выделено, это лишает смысла операции сложения угловых координат, их умножения на число и усреднения.
Операция вычитания угловыхкоординат, тем не менее, имеет смысл. Чтобы увидеть это, достаточно повернуть систему координат вокруг оси z на некоторый угол δϕ, при этомпреобразовании исходные величины и результаты «нехороших» действийпреобразуются по разным законом:ϕ1ϕ1ϕ2ϕ2(ϕ1 + ϕ2 )(ϕ1 + ϕ2 )(ϕ1 + ϕ2 )(ϕ1 + ϕ2 )→→→→→→→→ϕ1 + δϕ,ϕ1 + δϕ < 2π,ϕ1 + δϕ − 2π, ϕ1 + δϕ 2π,ϕ2 + δϕ,ϕ2 + δϕ < 2π,ϕ2 + δϕ − 2π, ϕ2 + δϕ 2π,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ < 2π,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ − 2π, 4π > (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ 2π,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ − 4π, 6π > (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ 4π,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ − 6π, (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ 6π.4.10.
О ПЕРАТОРЫКООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА119Одно из следствий этого — невозможность (в общем случае) определения «среднего направления» путём усреднения оператора угловой координаты.А так ли нам нужны операции алгебры наблюдаемых, если мы можемсчитать вероятности и без их помощи? На самом деле нам нужна скобкаПуассона, чтобы записать уравнения временной эволюции. (Здесь мы забегаем вперёд, обращаясь к материалу раздела 5.2 «Разные представлениявременной (унитарной) эволюции квантовой системы».)Если мы описываем временную эволюцию через состояния (представление Лиувилля в классике или представление Шрёдингера в квантовомслучае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуассона:• состояние (распределение вероятностей в классике или матрицу плотности в квантовом случае);• гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамильтона в квантовом случае).Если мы описываем временную эволюцию через наблюдаемые (представление Гамильтона в классике или представление Гайзенберга в квантовом случае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуассона:• наблюдаемую;• гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамильтона в квантовом случае).Впрочем, если мы задали наблюдаемую величину не оператором, а набором проекторов {P̂α }α∈V и соответствующих им разрешённых значений αиз произвольного множества V , то мы можем с помощью скобки Пуассона записать уравнение эволюции не для оператора наблюдаемой (которыйпопросту отсутствует), а для проекторов P̂α (хороших эрмитовых операторов).Единственная наблюдаемая, вещественность (эрмитовость) которойдля нас принципиально важна, — гамильтониан.4.10.
Операторы координаты и импульсаОператоры координаты и импульса, на самом деле, уже были намиопределены, т. к. мы уже задали для них наборы собственных чисел и базисы собственных функций. Здесь мы рассмотрим одномерный случай, когдапространство состояний в координатном представлении задаётся как L2 (R).120ГЛАВА 4В координатном представлении (в базисе собственных функций оператора координаты) базисные функции самого координатного базиса имеютвид, обычный для непрерывного спектра:φx0 (x) = φx |φx0 = δ(x − x0 ).В том же координатном представлении базис собственных функций оператора импульса задаётся волнами де Бройля:iφp0 (x) = φx |φp0 =√12πh̄e h̄p0 x.В импульсном представлении (в базисе волн де Бройля)φp0 (p) = φp |φp0 = δ(p − p0 ).В том же импульсном представлении базис собственных функций оператора координаты задаётся комплексным сопряжением волн де Бройля:φx0 (p) = φp |φx0 = φx0 |φp ∗ =√12πh̄−eipxh̄ 0 .Таким образом, как уже упоминалось ранее, координатное и импульсное представление связаны друг с другом преобразованием Фурье (см.
раздел 4.6.3).В своём представлении каждый оператор действует умножением на аргумент волновой функции (см. 4.7.3 «Базис собственных состояний»). Операторы импульса в координатном и координаты в импульсном представлении задаются как дифференциальные операторы. (Проверьте, что приведённые выше базисные состояния являются собственными для этих операторов!)∂x̂ ψ(x) = x ψ(x),p̂ ψ(x) = −ih̄ ∂xψ(x);p̂ ψ(p) = p ψ(p),∂x̂ ψ(p) = +ih̄ ∂pψ(p).Коммутатор операторов p̂ и x̂ вне зависимости от представления имеет вид:[x̂, p̂] = ih̄.(4.64)Именно уравнение (4.64) можно считать «настоящим» определениемкоординаты и импульса.(**) Строго говоря, область определения коммутатора [x̂, p̂] состоитиз функций, которые остаются квадратично интегрируемыми после взятия4.11.
ВАРИАЦИОННЫЙПРИНЦИП121производной и умножения на x. Множество таких функций плотно в L2 (R).Тем не менее, в некоторых случаях область определения коммутатора [x̂, p̂]оказывается важной. Если мы будем рассматривать волновые функции периодичные с периодом a, то в область определения коммутатора попадуттолько функции, для которых ψ(0) = ψ(a) = 0.
И хотя такие функции такжеплотны в пространстве L2 ([0, a]), собственные функции оператора импульса (при таких граничных условиях спектр импульса дискретен) в областьопределения коммутатора уже не попадают.Задача о неправильном коммутатореМногие студенты поначалу считают коммутатор координаты и импульса так:∂[x̂, p̂] = x̂p̂ − p̂x̂ = x(−ih̄ ∂x) + ih̄∂∂∂x x = −ih̄x ∂x + ih̄.
1лишний членНайдите ошибку и не делайте такую ошибку сами.4.11. Вариационный принципСреднее значение энергии в состоянии |ψ может быть записано каксреднее взвешенное от стационарных уровней энергии. Это позволяет заключить, что минимальное среднее значение энергии не может быть меньше,чем энергия основного состояния (состояние с минимальной возможнойэнергией):ψ|Ĥ|ψE0 = min.(4.65)ψ=0 ψ|ψАналогичные методы могут применяться и к другим эрмитовым операторам, но для того, чтобы минимум (максимум) достигался, необходимо,чтобы спектр был ограничен снизу (сверху).4.11.1.
Вариационный принцип и уравнения Шрёдингера**Мы можем написать (4.65) как условный минимум (но достижим онбудет, только если основное состояние принадлежит дискретному спектру)E0 = min ψ|Ĥ|ψψ|ψ=1122ГЛАВА 4и искать условный минимум методом лагранжевых множителей E0 = min ψ|Ĥ|ψ + E(1 − ψ|ψ) .ψ=0E[ψ|,|ψ]То есть у нас есть функционалE[ψ|, |ψ] = ψ|Ĥ|ψ + E(1 − ψ|ψ),если ψ(x) — комплексная функция, илиE1 [ψ] = (ψ|Ĥ|ψ) + E(1 − (ψ|ψ)),если ψ(x) — вещественная функция, а скобки обозначают вещественноескалярное произведение.Варьируя функционал по ψ|, |ψ и по E, получаем δE = δψ| Ĥ|ψ − E|ψ + ψ|Ĥ − ψ|E |δψ + δE (1 − ψ|ψ) .
нормировкастац. ур. Шрёдингерасопр. ст. ур. Шр.Эта вариация обращается в ноль, если выполнено стационарное уравнениеШрёдингера и условие нормировки на 1.16При этом лагранжев множитель оказывается собственным значениемэнергии.При записи функционала E в виде интеграла для стандартного гамильp̂2тониана Ĥ = 2m+ U (x) (p̂ = −ih̄∇) 2∗∗ − h̄ ∗∗E[ψ (x), ψ(x)] =ψψ + U (x) ψ ψ + E(1 − ψ ψ) dx =2m 2h̄∗∗∗=(∇ψ ) (∇ψ) + U (x) ψ ψ + E(1 − ψ ψ) dx2m(4.66)мы получаем интегральный функционал, подобный функционалам, минимизация которых даёт условиях равновесия в статике.
От действия в теоретической механике он отличается отсутствием времени.16 Стационарные точки функционала дают все стационарные состояния, а не только основное! Однако минимум достигается только на основном состоянии, а прочие дают седловыеточки, при условии, что спектр неограничен сверху. Если спектр ограничен сверху, то кромеминимума появится ещё и максимум, достигаемый на состоянии и наибольшей энергией.4.11. ВАРИАЦИОННЫЙПРИНЦИП123Мы можем получить и нестационарное уравнение Шрёдингера, есливведём функционал действияt1 S[ψ(t)|, |ψ(t)] =ψ(t)|Ĥ|ψ(t) − ψ(t)|ih̄ ∂∂t |ψ(t) dt.t0В интегральном виде для того же стандартного гамильтониана 2h̄∗∗∗∗∂S[ψ (x), ψ(x)] =(∇ψ ) (∇ψ) + U (x) ψ ψ − ψ ih̄ ∂t ψ dx dt.2m(4.67)Варьируя по ψ| и |ψ, получаемt1δS =t0! ∂∂δψ(t)| Ĥ|ψ(t) − ih̄ ∂t |ψ(t) + ψ(t)|Ĥ + ih̄ ∂t ψ(t)| |δψ(t) dt.
ур. Шрёдингерасопр. ур. ШрёдингераТаким образом, мы можем получить уравнение Шрёдингера из действия,как уравнение теории поля в расширенном (с добавлением времени, какдополнительной координаты) конфигурационном пространстве.4.11.2. Вариационный принцип и основное состояниеВ некоторых случаях может быть удобно искать точную или приближённую волновую функцию основного состояния, минимизируя среднюю энергию (4.65).Мы можем искать минимум среди волновых функций ψ(λ) определённого вида, параметризуемых конечным числом параметров λ, тогдазадача становится задачей поиска минимума функции нескольких переменных.
Если вид волновых функций, среди которых ищется минимум, удачноугадан, то полученная волновая функция может оказаться хорошим приближением к реальной волновой функции основного состояния:E0 ≈ minλψ(λ)|Ĥ|ψ(λ).ψ(λ)|ψ(λ)Также иногда может быть полезен тот факт, что средняя энергия полюбому состоянию даёт оценку сверху на энергию основного состояния:E0 ψ|Ĥ|ψ.ψ|ψ(4.68)124ГЛАВА 4Например, чтобы доказать наличие отрицательных собственных значений,достаточно предъявить одно состояние (не обязательно собственное!), средняя энергия в котором отрицательна.4.11.3. Вариационный принцип и возбуждённые состояния*Точно так же как при поиске основного состояния, мы можем искатьпервое возбуждённое состояние и оценивать его энергию, если ограничимпоиск минимума подпространством, ортогональным основному состоянию:E1 =ψ|Ĥ|ψ.ψ=0,ψ0 |ψ=0 ψ|ψmin(4.69)Аналогично можно искать и последующие состояния:En =ψ|Ĥ|ψ.ψ=0,ψk |ψ|k<n =0 ψ|ψmin(4.70)Однако, если основное и последующие состояния определены не точно, то такой метод даёт дополнительные ошибки, за счёт того, что в результате подпространство, выделенное условиемψ̃k |ψ|k<n = 0,где ψ̃k — приближённые собственные состояния, окажется не ортогональнонастоящим собственным состояниям ψk .ГЛАВА 5Принципы квантовой механики5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
