Главная » Просмотр файлов » Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г.

Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 29

Файл №1238820 Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г.) 29 страницаУчебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820) страница 292020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Полный («возмущённый») гамильтониан, порождающий эволюцию Ût , представляют как сумму невозмущённого гамильтониана Ĥ0 и некоторой добавки V̂ , описывающей взаимодействие:Ĥ = Ĥ0 + V̂ .Операторы в представлении взаимодействия совпадают с операторамив гайзенберговском представлении для невозмущённого гамильтониана, нопоявляется зависимость волновой функции от времени, связанная с возмущением (взаимодействием).В тех случаях, когда представление явно не указано, мы будем подразумевать представление Шрёдингера. Аналогично указание на представление может отсутствовать, когда формулы одинаково записываются в разныхпредставлениях (см.

следующий раздел).5.2.4. Функции от операторов в разных представленияхПереход между различными представлениями операторов в фиксированный момент времени осуществляется с помощью унитарного преобразования:Â → Û † ÂÛ .Новый оператор при этом можно рассматривать как представление старогооператора в новом базисе. Функция от операторов, определяемая с помощью операций сложения, умножения на число и умножения операторовмежду собой, не зависит от базиса.

Поэтому смена базиса (переход к новому представлению) может с равным успехом осуществляться как до, так5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ137и после вычисления функции, например:( + bB̂)г = Ût† ( + bB̂)Ût = Ût† ÂÛt + bÛt† B̂ Ût = Âг + bB̂г ,(ÂB̂)г = Ût† (ÂB̂)Ût = (Ût† ÂÛt )(Ût† B̂ Ût ) = Âг B̂г .Аналогичные формулы можно получить и для более сложных объектов,таких как коммутатор и матричная экспонента (достаточно расписать этиоперации через сложение/вычитание и умножение):[Â, B̂]г = (ÂB̂ − B̂ Â)г = Âг B̂г − B̂г Âг = [Âг , B̂г ],†(e )г = Ût† e Ût = eÛt ÂÛt = eÂг .5.2.5.

Гамильтониан в представлении ГайзенбергаКогда мы определяли представление Гайзенберга, мы не делали никаких специальных предположений о виде гамильтониана, т. е. в общемслучае гамильтониан — некоторый зависящий от времени эрмитов оператор Ĥ(t). Однако для большинства задач гамильтониан от времени не заiвисит, в этом случае Ût = e− h̄ Ĥ t и оператор эволюции коммутирует с гамильтонианом:[Ĥ, Ût ] = 0.Таким образом, для автономных систем (когда гамильтониан не зависит отвремени) получаем:iĤг = e h̄Ĥ t−ĤeiĤ th̄i= e h̄Ĥ t −eiĤ th̄Ĥ= Ĥш .5.2.6. Уравнение ГайзенбергаДля того, чтобы задать дифференциальное уравнение, описывающеевременную эволюцию гайзенберговских операторов, продифференцируемпо времени гайзенберговский оператор, выраженный через шрёдингеровский оператор и оператор эволюции:Âг = Ût† Âш Ût ,dÛt†dÂгdÛdÂ=Âш Ût + Ût† Âш t + Ût† ш Ût .dtdtdtdt138ГЛАВА 5Используя уравнение (5.11), мы получаем:dÛt†= i Ût† Ĥ,dth̄dÂгdÂш†† dÂшii.= Ût [Ĥ, Âш ]Ût + ÛtÛt = [Ĥг , Âг ] +dth̄dth̄dtdÛt= − i Ĥ Ût ,dth̄(5.18)гПолные и частные производные от операторов по времениВ формуле Гайзенберга (5.18) фигурируют две разные производные отоператора по времени:dÂгdÂш.,dtdtгПервая формула — «просто производная по времени» в представленииГайзенберга, вторая — «просто производная по времени» в представленииШрёдингера (которую потом выразили в представлении Гайзенберга).ÂшПри этом производная ddtникак не зависит от гамильтониана, т.

е. наней никак не сказывается временная эволюция системы.Введём следующее определение: полная производная от оператора Âпо времени — оператор, среднее от которого по любому состоянию равнопроизводной по времени от среднего по этому же состоянию:"#d = d Â.(5.19)dtdtУдобнее всего вычислять полную производную по времени в представлении Гайзенберга, поскольку в этом случае от времени зависят толькооператоры (не не волновые функции), и полная производная от оператораоказывается «просто производной по времени».Определим также частную производную по времени от оператора Â,как полную производную при замороженной эволюции системы, т. е. в случае Ĥ ≡ 0 (т. е.

Û ≡ 1̂). Частная производная по времени совпадает с «просто производной» в представлении Шрёдингера.Таким образом мы перенесли из классической теоретической механикив квантовую механику понятия частной и полной производной по времениот наблюдаемой величины.dÂшd = dÂг ,∂ Â=.dt гdt∂t шdt5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ139Теперь мы можем переписать формулы Гайзенберга следующим образом:d = ∂  + i [Ĥ, Â].(5.20)dt∂th̄Эта формула применима в любом представлении, поэтому мы убрали указание на то, в каком представлении берутся входящие в неё операторы.Интегралы движенияОпределив полную производную от оператора по времени, мы можемобратиться к вопросу об интегралах движения. Чтобы оператор  задавалинтеграл движения достаточно, чтобы оператор явно не зависел от времении коммутировал с гамильтонианом∂  = 0,∂t[Ĥ, Â] = 0⇒d = 0.dtТакой эрмитов оператор порождает соответствующую однопараметрическую группу симметрий (унитарных операторов) вида eia .

Это соответствует выводам раздела 11.3 «Непрерывные симметрии и законы сохранения».Правило Лейбница и коммутатор*Правило Лейбница для полной производной по времениdÂB̂ =  dB̂ + d B̂dtdtdtследует из тождества:[ÂB̂, Ĉ] = [Â, Ĉ]B̂ + Â[B̂, Ĉ].(5.21)Эту формулу легко проверить, расписав коммутаторы в левой и правой частях равенства как разности произведений операторов.

Эту формулу можноназвать правилом Лейбница для коммутатора, относительно операторного умножения.Для операторов есть ещё одно естественное умножение — сам коммутатор. Два раза применив формулу (5.21), мы получаем уже правило Лейбница для коммутатора, относительно коммутатора6[[Â, B̂], Ĉ] = [ÂB̂, Ĉ] − [B̂ Â, Ĉ] = [[Â, Ĉ], B̂] + [Â, [B̂, Ĉ]].(5.22)6 Обратите внимание, здесь коммутатор выступает сразу в двух ипостасях: как производнаяи как произведение.140ГЛАВА 5Отсюда следует:!!d[Â, B̂]= Â, dB̂ + d , B̂ .dtdtdtС учётом антисимметрии коммутатора формула (5.22) может быть переписана как тождество Якоби для коммутатора:[[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0.(5.23)Антисимметрия, линейность и наличие тождества Якоби позволяетрассматривать коммутатор как скобку Ли, задействуя в квантовой механикемощный математический аппарат теории алгебр Ли. Возможность рассмотрения коммутатора как скобки Ли будет важна и для установления соответствия с теоретической механикой, где аналогичную роль играет скобкаПуассона.Пример: эволюция волнового пакета для свободной частицыГамильтониан для свободной частицы получается из классического надеванием шляпок на H и p (в координатном представлении, когда волновые∂функции представлены как функции от координат, p̂ = −i ∂x) в формуле дляклассической функции Гамильтона (в выражении энергии через координаты и импульсы):p̂2Ĥ =.2mИспользуя его, мы можем написать полные производные по времени отоператоров координаты и импульса (координата и импульс не зависят отвремени явно, так что частная производная по времени вклада не даёт):$$%%p̂2p̂2dp̂p̂dx̂ii, p̂ = 0,, x̂ = i (p̂ [p̂, x̂] + [p̂, x̂] p̂) = m .==dth̄ 2mdth̄ 2m2mh̄ −ih̄−ih̄Мы воспользовались здесь тождеством (5.21).Формулы совпадают с классическими «с точностью до шляпок».В представлении Гайзенберга мы получаем:dp̂г= 0,dtp̂г (0) = p̂ш ;p̂гdx̂г= m,dtx̂г (0) = x̂ш .5.2.

РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ141Система легко интегрируется:p̂г (0)p̂шx̂г (t) = x̂ш + t m = x̂г (0) + t m .p̂г (t) = p̂ш = p̂г (0);При усреднении по произвольной волновой функции (которая в гайзенберговском представлении не зависит от времени) получаем, что в среднемволновой пакет движется с постоянной скоростью:p̂t = p̂0 ;p̂0x̂t = x̂0 + t m .(5.24)Для вычисления среднеквадратичных отклонений нам понадобятся операторы x̂2г и p̂2г :2p̂2p̂шt (p̂ x̂ + x̂ p̂ ).p̂2г (t) = p̂2ш ;x̂2г (t) = x̂ш + t m= x̂2ш + t2 ш2 + mш шш шmДля среднеквадратичных отклонений получаем:δp2 t = p̂2 t − p̂2t = δp2 0 ;(5.25)2t (p̂x̂ + x̂p̂ − 2x̂ p̂ ) + δx2 .δx2 t = x̂2 t − x̂2t = t 2 δp2 0 + m0000mЛинейный по времени член в δx2 t можно обнулить выбором нулевогомомента времени, однако для любого t выполняется соотношение неопре2делённостей δx2 t δp2 t h̄ .

При больших положительных или отрица4тельных временах размер волнового пакета неограниченно расплывается,что однозначно говорит нам, что размер волнового пакета действительноникак не связан с размером самой частицы.5.2.7. Скобка Пуассона и коммутатор*В теоретической механике наблюдаемые представляются не эрмитовыми операторами, как в квантовой механике, а функциями от каноническихпеременных (координат и импульсов), т. е.

классическая наблюдаемая имеетвидF (Q, P, t).(5.26)Полная производная от классической наблюдаемой (с учётом динамическойэволюции системы) имеет видdF = ∂F + ∂F dQa + ∂F dPa .dt∂t∂Qa dt∂Pa dta142ГЛАВА 5Производные по времени от координат и импульсов в классической механике выражаются с помощью уравнений Гамильтона:dQa= ∂H ,dt∂PadPa= − ∂H .dt∂QaГде H(Q, P ) — функция Гамильтона, т. е.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
4,31 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее