Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Полный («возмущённый») гамильтониан, порождающий эволюцию Ût , представляют как сумму невозмущённого гамильтониана Ĥ0 и некоторой добавки V̂ , описывающей взаимодействие:Ĥ = Ĥ0 + V̂ .Операторы в представлении взаимодействия совпадают с операторамив гайзенберговском представлении для невозмущённого гамильтониана, нопоявляется зависимость волновой функции от времени, связанная с возмущением (взаимодействием).В тех случаях, когда представление явно не указано, мы будем подразумевать представление Шрёдингера. Аналогично указание на представление может отсутствовать, когда формулы одинаково записываются в разныхпредставлениях (см.
следующий раздел).5.2.4. Функции от операторов в разных представленияхПереход между различными представлениями операторов в фиксированный момент времени осуществляется с помощью унитарного преобразования:Â → Û † ÂÛ .Новый оператор при этом можно рассматривать как представление старогооператора в новом базисе. Функция от операторов, определяемая с помощью операций сложения, умножения на число и умножения операторовмежду собой, не зависит от базиса.
Поэтому смена базиса (переход к новому представлению) может с равным успехом осуществляться как до, так5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ137и после вычисления функции, например:( + bB̂)г = Ût† ( + bB̂)Ût = Ût† ÂÛt + bÛt† B̂ Ût = Âг + bB̂г ,(ÂB̂)г = Ût† (ÂB̂)Ût = (Ût† ÂÛt )(Ût† B̂ Ût ) = Âг B̂г .Аналогичные формулы можно получить и для более сложных объектов,таких как коммутатор и матричная экспонента (достаточно расписать этиоперации через сложение/вычитание и умножение):[Â, B̂]г = (ÂB̂ − B̂ Â)г = Âг B̂г − B̂г Âг = [Âг , B̂г ],†(e )г = Ût† e Ût = eÛt ÂÛt = eÂг .5.2.5.
Гамильтониан в представлении ГайзенбергаКогда мы определяли представление Гайзенберга, мы не делали никаких специальных предположений о виде гамильтониана, т. е. в общемслучае гамильтониан — некоторый зависящий от времени эрмитов оператор Ĥ(t). Однако для большинства задач гамильтониан от времени не заiвисит, в этом случае Ût = e− h̄ Ĥ t и оператор эволюции коммутирует с гамильтонианом:[Ĥ, Ût ] = 0.Таким образом, для автономных систем (когда гамильтониан не зависит отвремени) получаем:iĤг = e h̄Ĥ t−ĤeiĤ th̄i= e h̄Ĥ t −eiĤ th̄Ĥ= Ĥш .5.2.6. Уравнение ГайзенбергаДля того, чтобы задать дифференциальное уравнение, описывающеевременную эволюцию гайзенберговских операторов, продифференцируемпо времени гайзенберговский оператор, выраженный через шрёдингеровский оператор и оператор эволюции:Âг = Ût† Âш Ût ,dÛt†dÂгdÛdÂ=Âш Ût + Ût† Âш t + Ût† ш Ût .dtdtdtdt138ГЛАВА 5Используя уравнение (5.11), мы получаем:dÛt†= i Ût† Ĥ,dth̄dÂгdÂш†† dÂшii.= Ût [Ĥ, Âш ]Ût + ÛtÛt = [Ĥг , Âг ] +dth̄dth̄dtdÛt= − i Ĥ Ût ,dth̄(5.18)гПолные и частные производные от операторов по времениВ формуле Гайзенберга (5.18) фигурируют две разные производные отоператора по времени:dÂгdÂш.,dtdtгПервая формула — «просто производная по времени» в представленииГайзенберга, вторая — «просто производная по времени» в представленииШрёдингера (которую потом выразили в представлении Гайзенберга).ÂшПри этом производная ddtникак не зависит от гамильтониана, т.
е. наней никак не сказывается временная эволюция системы.Введём следующее определение: полная производная от оператора Âпо времени — оператор, среднее от которого по любому состоянию равнопроизводной по времени от среднего по этому же состоянию:"#d = d Â.(5.19)dtdtУдобнее всего вычислять полную производную по времени в представлении Гайзенберга, поскольку в этом случае от времени зависят толькооператоры (не не волновые функции), и полная производная от оператораоказывается «просто производной по времени».Определим также частную производную по времени от оператора Â,как полную производную при замороженной эволюции системы, т. е. в случае Ĥ ≡ 0 (т. е.
Û ≡ 1̂). Частная производная по времени совпадает с «просто производной» в представлении Шрёдингера.Таким образом мы перенесли из классической теоретической механикив квантовую механику понятия частной и полной производной по времениот наблюдаемой величины.dÂшd = dÂг ,∂ Â=.dt гdt∂t шdt5.2. РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ139Теперь мы можем переписать формулы Гайзенберга следующим образом:d = ∂  + i [Ĥ, Â].(5.20)dt∂th̄Эта формула применима в любом представлении, поэтому мы убрали указание на то, в каком представлении берутся входящие в неё операторы.Интегралы движенияОпределив полную производную от оператора по времени, мы можемобратиться к вопросу об интегралах движения. Чтобы оператор  задавалинтеграл движения достаточно, чтобы оператор явно не зависел от времении коммутировал с гамильтонианом∂  = 0,∂t[Ĥ, Â] = 0⇒d = 0.dtТакой эрмитов оператор порождает соответствующую однопараметрическую группу симметрий (унитарных операторов) вида eia .
Это соответствует выводам раздела 11.3 «Непрерывные симметрии и законы сохранения».Правило Лейбница и коммутатор*Правило Лейбница для полной производной по времениdÂB̂ =  dB̂ + d B̂dtdtdtследует из тождества:[ÂB̂, Ĉ] = [Â, Ĉ]B̂ + Â[B̂, Ĉ].(5.21)Эту формулу легко проверить, расписав коммутаторы в левой и правой частях равенства как разности произведений операторов.
Эту формулу можноназвать правилом Лейбница для коммутатора, относительно операторного умножения.Для операторов есть ещё одно естественное умножение — сам коммутатор. Два раза применив формулу (5.21), мы получаем уже правило Лейбница для коммутатора, относительно коммутатора6[[Â, B̂], Ĉ] = [ÂB̂, Ĉ] − [B̂ Â, Ĉ] = [[Â, Ĉ], B̂] + [Â, [B̂, Ĉ]].(5.22)6 Обратите внимание, здесь коммутатор выступает сразу в двух ипостасях: как производнаяи как произведение.140ГЛАВА 5Отсюда следует:!!d[Â, B̂]= Â, dB̂ + d , B̂ .dtdtdtС учётом антисимметрии коммутатора формула (5.22) может быть переписана как тождество Якоби для коммутатора:[[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0.(5.23)Антисимметрия, линейность и наличие тождества Якоби позволяетрассматривать коммутатор как скобку Ли, задействуя в квантовой механикемощный математический аппарат теории алгебр Ли. Возможность рассмотрения коммутатора как скобки Ли будет важна и для установления соответствия с теоретической механикой, где аналогичную роль играет скобкаПуассона.Пример: эволюция волнового пакета для свободной частицыГамильтониан для свободной частицы получается из классического надеванием шляпок на H и p (в координатном представлении, когда волновые∂функции представлены как функции от координат, p̂ = −i ∂x) в формуле дляклассической функции Гамильтона (в выражении энергии через координаты и импульсы):p̂2Ĥ =.2mИспользуя его, мы можем написать полные производные по времени отоператоров координаты и импульса (координата и импульс не зависят отвремени явно, так что частная производная по времени вклада не даёт):$$%%p̂2p̂2dp̂p̂dx̂ii, p̂ = 0,, x̂ = i (p̂ [p̂, x̂] + [p̂, x̂] p̂) = m .==dth̄ 2mdth̄ 2m2mh̄ −ih̄−ih̄Мы воспользовались здесь тождеством (5.21).Формулы совпадают с классическими «с точностью до шляпок».В представлении Гайзенберга мы получаем:dp̂г= 0,dtp̂г (0) = p̂ш ;p̂гdx̂г= m,dtx̂г (0) = x̂ш .5.2.
РАЗНЫЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ141Система легко интегрируется:p̂г (0)p̂шx̂г (t) = x̂ш + t m = x̂г (0) + t m .p̂г (t) = p̂ш = p̂г (0);При усреднении по произвольной волновой функции (которая в гайзенберговском представлении не зависит от времени) получаем, что в среднемволновой пакет движется с постоянной скоростью:p̂t = p̂0 ;p̂0x̂t = x̂0 + t m .(5.24)Для вычисления среднеквадратичных отклонений нам понадобятся операторы x̂2г и p̂2г :2p̂2p̂шt (p̂ x̂ + x̂ p̂ ).p̂2г (t) = p̂2ш ;x̂2г (t) = x̂ш + t m= x̂2ш + t2 ш2 + mш шш шmДля среднеквадратичных отклонений получаем:δp2 t = p̂2 t − p̂2t = δp2 0 ;(5.25)2t (p̂x̂ + x̂p̂ − 2x̂ p̂ ) + δx2 .δx2 t = x̂2 t − x̂2t = t 2 δp2 0 + m0000mЛинейный по времени член в δx2 t можно обнулить выбором нулевогомомента времени, однако для любого t выполняется соотношение неопре2делённостей δx2 t δp2 t h̄ .
При больших положительных или отрица4тельных временах размер волнового пакета неограниченно расплывается,что однозначно говорит нам, что размер волнового пакета действительноникак не связан с размером самой частицы.5.2.7. Скобка Пуассона и коммутатор*В теоретической механике наблюдаемые представляются не эрмитовыми операторами, как в квантовой механике, а функциями от каноническихпеременных (координат и импульсов), т. е.
классическая наблюдаемая имеетвидF (Q, P, t).(5.26)Полная производная от классической наблюдаемой (с учётом динамическойэволюции системы) имеет видdF = ∂F + ∂F dQa + ∂F dPa .dt∂t∂Qa dt∂Pa dta142ГЛАВА 5Производные по времени от координат и импульсов в классической механике выражаются с помощью уравнений Гамильтона:dQa= ∂H ,dt∂PadPa= − ∂H .dt∂QaГде H(Q, P ) — функция Гамильтона, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
