Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 40
Текст из файла (страница 40)
7.2, состоящий из двух полупрозрачных зеркал (вероятность отражения — 12 ) и двух обычных зеркал,при правильной юстировке ведёт себя следующим образом:8• 1-е полупрозрачное зеркало расщепляет входящий в него фотон ψ0в суперпозицию двух волновых пакетов √12 (ψ1 + iψ2 ), каждый из которых проходит по своей траектории;• два обычных зеркала направляют волновые пакеты на 2-е полупрозрачное зеркало, преобразуя их в состояние √12 (iψ3 − ψ4 );• 2-е полупрозрачное зеркало собирает из двух волновых пакетов сноваодин −ψa , который выходит вправо.В результате вошедший в интерферометр фотон всегда выходит вправов состояние ψa и никогда вниз в состояние ψb .При этом важно, что фотон внутри интерферометра находится в суперпозиции двух состояний и мы в принципе не можем определить по какомуплечу он прошёл.
Внесение в систему измерительного прибора, способного определить куда пошёл фотон, разрушает интерференцию, и фотонс равной вероятностью попадает как в состояние ψa , так и ψb . К такомуэффекту приводит, например, перекрытие одного из плеч, однако ниже мырассмотрим более изощрённую схему.Представим себе набор бомб с очень чувствительным взрывателем,который способен сработать от толчка одного фотона.
Однако некоторые8 Каждое отражение доставляет фазовый множитель i. Фазовые множители, связанныес распространением волнового пакета внутри интерферометра, полагаем равными (результатюстировки), в результате чего их можно отбросить.210ГЛАВА 71032a4Рис. 7.2.
Интерферометр Маха – Цандера выпускает фотоны только по одному направлению из двух возможных.бомбы неисправны и энергии фотона недостаточно для возбуждения ихвзрывателя.На рис. 7.3 одно из непрозрачных зеркал закреплено на носу неисправной бомбы. В этом случае интерферометр работает по-прежнему: сколькобы фотонов в него не входило, все выходят в состояние ψa .Рис. 7.3. Интерферометр Маха – Цандера с неисправной бомбой работает по-прежнему.Исправную бомбу можно рассматривать как измерительный прибор,детектирующий наличие фотона в нижнем плече интерферометра (плечо 2-4).Если бомба детектирует фотон, то бомба взрывается, и волновой пакетиз верхнего плеча (плечо 1-3) исчезает.
Это изображено на рис. 7.4.Если бомба не детектирует фотон, то имеет место измерение без взаимодействия. В результате исчезает волновой пакет в нижнем плече интерферометра, интерференция разрушается и фотон может выйти из интерферометра как вправо, так и вниз.Таким образом, если мы запускаем один фотон в интерферометр с исправной бомбой, то возможны следующие исходы:7.3.
И ЗМЕРЕНИЕБЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ *Рис. 7.4. Если бомба исправна, то с вероятностьювается.12211фотон идёт вниз и бомба взры-Рис. 7.5. Если бомба исправна, то с вероятностью 12 фотон идёт вправо и бомбане взрывается. Тем не менее разрушается интерференция и фотон может выйти каквправо, так и вниз.• с вероятностью 12 бомба взрывается и мы узнаём, что она была исправна;• с вероятностью 14 бомба не взрывается, фотон выходит вправо (в состояние ψa ) и мы не знаем исправна ли бомба;• с вероятностью 14 бомба не взрывается, фотон выходит вниз (в состояние ψb ) и мы узнаём, что бомба исправна, не взорвав её при этом.Таким образом, если нам дали большое количество бомб, срабатывающих от одного фотона, то в классическом случае мы не можем отобратьнекоторое количество заведомо исправных бомб, не взорвав их при этом.В квантовом случае описываемая схема позволяет, тратя по одному фотону212ГЛАВА 7на бомбу, взорвать только половину исправных бомб, и совершить чудо:выделить четверть исправных бомб, не взорвав их при этом.Испытывая бомбы по несколько раз, можно приблизить 1 nдолю1 отобранных (выявленных без взрыва исправных) бомб к ∞= 3 , а долюn=1 4взорванных — к 23 .
Меняя коэффициенты отражения полупрозрачных зеркал, можно приблизить долю отобранных бомб к 12 .Другие способы измерения без взаимодействия позволяют:• сделать долю взорванных бомб сколь угодно малой;• сделать долю невыявленных исправных бомб сколь угодно малой;• сделать долю исправных бомб, выявленных без взрыва, сколь угодноблизкой к 1.7.4.
Квантовый эффект Зенона (парадокс незакипающегочайника)**ДВИЖЕНИЕДвиженья нет, сказал мудрец брадатый.Другой смолчал и стал пред ним ходить.Сильнее бы не мог он возразить;Хвалили все ответ замысловатый.Но, господа, забавный случай сейДругой пример на память мне приводит:Ведь каждый день пред нами солнце ходит,Однако ж прав упрямый Галилей.А. С. Пушкин7.4.1. При чём здесь Зенон?Квантовое измерение, в отличие от классического, всегда влияет насостояние измеряемой системы.
Одним из наиболее ярких проявлений этого влияния является квантовый эффект Зенона, в русской литературе такжеименуемый парадоксом незакипающего чайника. При этом особенно интересно то, что измерение может осуществляться без взаимодействия.«Мудрец брадатый» из пушкинского стихотворения — Зенон Элейский9 известен поколениям школьников как один из самых больших чудаков древней Греции, утверждавший, что движение невозможно, и придумывавший в доказательство этой глупости различные смешные парадоксы9 Считается, что Зенон из Элеи (Z ήνων) жил в период ок. 490 – ок.
430 до н. э. Его работыизвестны только в пересказе: в изложении Аристотеля и по комментариям к нему Симпликия.(Кстати, «Симпликий»=«Простак» — имя весьма подозрительное.) По всей видимости, мы7.4. К ВАНТОВЫЙЭФФЕКТЗ ЕНОНА213(апории Зенона). Над этими парадоксами бывает очень весело посмеятьсяна лекции, глядя на них с недоступных старику Зенону высот математического анализа и классической механики.
Однако в квантовой механикенекоторые рассуждения Зенона внезапно приобретают физический смысл,более того, соответствующие физические эффекты наблюдаются экспериментально.В апории «стрела» невозможностьдвижения доказывается примерно следующим образом: летящая стрелав каждый момент времени где-то находится/покоится, но стрела не может одновременно лететь и покоиться, а значит движение невозможно.Невозможности движения это рассуждение, конечно, не доказывает, но оно Рис.
7.6. Портрет Зенона с сайтадоказывает невозможность движения, «Элементы»когда это движение каждый момент вре- (http://elementy.ru/trefil/zeno_paradox)мени точно измеряют: если очень точно и бюст какого-то Зенона. Авторуизмерить положение летящей части- не вполне ясно, почему авторыучебников по философии уверены,цы, то её волновая функция схлопнется что это «тот самый Зенон».в очень узкий волновой пакет, для которого неопределённость координаты мала, а неопределённость импульса очень велика, после этого летела частицаили покоилась будет уже не важно.
Более того, если повторять измерениеочень часто, так, чтобы волновой пакет не успел расплыться и сдвинуться,то измерение скомпенсирует эволюцию волновой функции и частица каждый раз будет обнаруживаться в одном и том же месте (т. е. перестанетдвигаться)10 .Таким образом, квантовый эффект Зенона состоит в замораживании(или замедлении) эволюции системы, подвергающейся частым и точнымизмерениям.уже никогда не сможем узнать, что в точности писал сам Зенон, и существовал ли он вообще (или, например, был выдуман Аристотелем). Однако достаточно ли принципиальна этаневозможность для того, чтобы надо было принимать во внимание интерференцию различных вариантов прошлого, содержащих (или не содержавших) различных Зенонов Элейских(см. рис. 7.6), не ясно.10 Пусть в начальный момент времени волновая функция свободной частицы в импульсном представлении имеет вид ψ0 (p) = √√1πp0частицы Ĥ =2p̂2m2− p22pe0. Используя гамильтониан свободнойp̂2 tполучаем оператор эволюции Ût = e−i 2mh̄ и в момент времени t вол-214ГЛАВА 7Впервые квантовый эффект Зенона был предсказан в 1958 году советским физиком Леонидом Александровичем Халфиным11 .
Имя Зенона эффекту дали Байдьянат Мизра и Джордж Сударшан в 1978 году. Эффект длявероятности переходов между атомными уровнями был экспериментальноподтверждён в 1989 году12 .Рассмотрим квантовый эффект Зенона на простейшем примере. Пустьэволюция квантовой системы описывается как вращение вектора состоянияв заданной плоскости с постоянной угловой скоростью ω = δEh̄ . Это соответствует тому, что система находится в суперпозиции двух стационарныхсостояний с различной на δE энергией, причём амплитуды обоих стационарных состояний одинаковы по модулю. (Плоскость вращения будет, разумеется, комплексной, но подбором фазовых множителей и нулевого уровняэнергии её можно сделать обычной вещественной евклидовой плоскостью.)Пусть плоскость вращения натянута на ортонормированные состояния Ψ и Φ, тогда, если в нулевой момент времени волновая функция равнялась Ψ, в момент времени δt имеемψ(δt) = Ψ cos(ω δt) + Φ sin(ω δt).Если теперь провести измерение, отвечающее на вопрос «Находится лисистема в состоянии Ψ?», то вероятность ответа «да» и скачка в состояние Ψ составит cos2 (ω δt), а вероятность ответа «нет» и скачка в состояние Φ составит sin2 (ω δt).
Для ω δt 1 имеем2(ω δt)22≈ 1 − (ω δt)2 ,pда = cos (ω δt) ≈ 1 −2pнет = sin2 (ω δt) ≈ (ω δt)2 .2новую функцию ψ(p, t) = Ût ψ0 (p) =− p2√√1e 2p0πp0p20t1+i mh̄. Амплитуда обнаружениячастицы в момент времени t в начальном состоянии ψ0 задаётся скалярным произведени−1/2p20t. Соответствующая вероятность P0 (t) = |ψ0 |ψ(t)|2 =ем ψ0 |ψ(t) = 1 + i 2mh̄−1/2p4 t 2t 2 p4≈ 1 − 8m2 h̄0 2 . Если на протяжении времени T сделать N измерений= 1 + 4m02 h̄2с интервалом t = T /N , то суммарная вероятность ухода частицы из состояния ψ0 составит2p4Pух. (T, N ) ≈ N (1 − P0 (T /N )) = TN 8m20h̄2 . Мы видим, что Pух. (T, N ) → 0 при N → ∞,т. е.
частые измерения, определяющие осталась ли частица в прежнем состоянии, «останавливают» движение частицы.11 Халфин Л. А. // ДАН СССР. — 1957. — Т. 115. — С. 277; ЖЭТФ. — 1958. — Т. 33. — С. 1371;Квантовая теория распада физических систем: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — ФИАНСССР, 1960.12 Science. November 1989. — Vol. 246.
— P. 888.7.4. К ВАНТОВЫЙЭФФЕКТЗ ЕНОНА215Важно, что pнет оказывается квадратично по времени. Из этого следует, чтоесли мы на конечном времени t проделаем n измерений, интервал междукоторыми δt = nt , то суммарная вероятность получения ответа «нет» ведётсебя как 2(ωt)2n → ∞.Pнет ≈ n · pнет ≈ n · ω nt= n → 0,Таким образом, чем чаще мы подвергаем систему измерению «Не ушлали система из исходного состояния Ψ?», тем ближе к единице вероятностьтого, что система осталась в исходном состоянии. Достаточно частыми измерениями мы можем удержать систему в исходном состоянии сколь угодно долго со сколь угодно малой вероятностью случайного скачка в другоесостояние13 , что и даёт нам эффект Зенона.Эффект Зенона может осуществляться путём измерения без взаимодействия, если вместо наличия системы в состоянии Ψ проверять наличиесистемы в состоянии Φ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
