Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 43
Текст из файла (страница 43)
29, N. 3, 1957 относительные состояния переводятся как соотнесённые. Такой перевод следует считать неправильным, т. к. он не демонстрирует той идейной связи с теорией относительности, которая послужила основой работыи которую Эверетт стремился отразить в заголовке.226ГЛАВА 7Формула (7.19) уже по существу не использует разложение рассматриваемого состояния |ψ по базису, т. е. того, какие именно наборы наблюдаемых мы выбрали в качестве аргументов волновой функции. Мы можем переписать (7.19) как геометрическую (не зависящую от выбора базиса) формулу для состояния относительно произвольного состояния |φподсистемы-2:|ψφ0 ⊗ |φ0 = (1̂1 ⊗ |φ0 φ0 |) |ψ⇒|ψφ0 = φ0 |ψ.(7.20)P̂φ0Зная относительные состояния |ψφ0 подсистемы-1, относительно всехвозможных состояний |φ0 подсистемы-2 мы можем восстановить состояние |ψ сложной системы. При этом мы можем забыть о редукции волновой функции при измерении, если мы включили наблюдателя в сложнуюсистему в духе многомировой интерпретации (9.3.7 «Многомировая интерпретация Эверетта (фф)»).Использование относительных состояний также полезно для понимания при моделировании измерительного прибора с точки зрения квантовоймеханики (8.2 «Моделирование измерительного прибора*»).Относительные состояния были введены Эвереттом для того, чтобы обосновать возможность применения квантовой механики к Вселеннойв целом, как к замкнутой квантовой системе.
Это прямо связано с проблемой квантования общей теории относительности (созданием квантовойтеории гравитации). При этом наблюдаемое нами состояние Вселенной интерпретируется как относительное состояние для данного состояния наблюдателя (одно из многих возможных=сосуществующих).7.5.6. Неравенство Белла и его нарушение (ф**)Как замечательно, что мы столкнулись с парадоксом. Теперьу нас есть надежда на продвижение!Нильс Бор WИстория неравенства БеллаНеравенство Белла было введено Джоном Беллом в 1964 году при анализе мысленного эксперимента Эйнштейна – Подольского – Розена, предложенного в 1935 году.7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ227Рис. 7.9.
Джон Стюарт Белл (1928–1990).http://www.s9.com/Biography/Bell-John-StewartНеравенство Белла представляет собой необходимое условие того, чтотри случайных величины с заданными корреляциями между собой могутбыть одновременно реализованы в рамках классической теории вероятностей.Подобная задача ставится без какого-либо упоминания квантовой механики. И, естественно, математики занимались ею и до 1964 года. Какпишет А. Ю. Хренников, неравенства Белла были первоначально полученына сотню лет раньше Джорджем Булем, а общее решение для системы nслучайных величин было получено Н. Н.
Воробьёвым в 1962 году.Таким образом, заслуга Белла состоит не в выводе неравенства, а в егоприменении к интерпретации квантовой механики.Вывод неравенства БеллаПусть имеются три случайных величины a, b, c, которые могут принимать значения ±1. Величины a, b, c не зависят друг от друга, а зависят отнекоторой случайной переменной λ.Рис. 7.10. Джордж Буль (1815–1864). WРис. 7.11. Николай Николаевич Воробьёв (1925–1995).
[http://emi.nw.ru]228ГЛАВА 7Мы будем обозначать угловыми скобками классическое усреднение,которое может быть записано как интеграл по вероятностной мере P (dλ)по вероятностному пространству Λ (этот интеграл может быть на самомделе взвешенной суммой, или комбинацией суммы и интеграла):A = A(λ) P (dλ).ΛТогда с учётом линейности классического среднего, используя, что a2 ≡ 1,получаемab | 1 − ac = 1 − ac.|ab − bc| = |(a − c) b| = |(1 − ac) 0×a2±1Таким образом, неравенство Буля – Белла|ab − bc| 1 − ac.(7.21)Заменив c на −c можно записать другую (эквивалентную) форму того женеравенства:|ab + bc| 1 + ac.(7.22)Смысл неравенства БеллаПредставим себе, что есть некоторый классический случайный процесс: переменная λ принимает различные значения из вероятностного пространства Λ, причём вероятность того, что λ ∈ L ⊂ Λ, задаётся как вероятностная мера 0 P (L) 1.Однако мы не наблюдаем величину λ непосредственно, вместо этогомы можем по своему усмотрению измерять две величины из набора a(λ),b(λ), c(λ), причём все величины могут принимать только значения ±1.При этом выбор пары измеряемых величин мы делаем независимо отвыпавшего λ.
Например, пара измеряемых величин выбирается уже послетого, как генератор случайных событий (рулетка, карты, кости, броуновское движение, дробовой шум) выдал конкретную точку λ (чтобы человек,управляющий генератором, ничего в нём не подкрутил), но до того, каку нас есть возможность что-то узнать о выпавшем варианте (чтобы мы тоже не могли учесть λ при выборе пары измерений).Много раз генерируя случайные значения λ с одинаковым распределением вероятности P , мы с необходимостью должны получить корреляторыab, bc, ac, удовлетворяющие неравенству Буля – Белла.7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ229И хотя каждый раз мы измеряем только две величины из трёх, третьякаждый раз тоже принимает какое-то определённое, хотя и не известноезначение (разумеется, в классическом случае). Таким образом, существует8 возможных комбинаций значений для a, b и c.
Каждой из этих комбинациймы можем приписать неотрицательную вероятностьP (a, b, c) 0,P (a, b, c) = 1.a,b,c∈{−1,+1}Корреляторы могут быть выражены через вероятности, например,ab =P (+, +, c) + P (−, −, c) − P (+, −, c) − P (−, +, c).c∈{−1,+1}И если бы вдруг оказалось, что неравенство Белла нарушено, мы не смогли бы подобрать 8 неотрицательных вероятностей P (a, b, c), что неизбежноозначало бы нарушение процедуры: не иначе человек, управляющий генератором случайных событий, знает о том, какие именно величины мырешили измерять, и подкручивает свой генератор в соответствии с этим17 .Неравенство Белла и скрытые параметрыВ квантовой механике вероятностное пространство задаётся не толькосостоянием системы, но и выбором измеряемой величины, т.
е. по существувыбором измерительной установки. В связи с этим у нас нет основанийожидать, что неравенство Белла будет выполняться для некоммутирующихнаблюдаемых, которые не могут быть измерены одновременно.Тем не менее, если неравенство Белла выполняется для некоммутирующих наблюдаемых, это оставляет надежду, что можно придумать некоторый скрытый параметр λ (который и параметризует элементарные события,по которым мы интегрируем), такой, что все наблюдаемые однозначно выражаются через этот параметр. В этом случае удалось бы придумать единоераспределение вероятностей для λ (общее вероятностное пространство)для взаимоисключающих измерений.
Единое вероятностное пространствоозначало бы, что все квантовые вероятности и неопределённости сводятсяк классической теории вероятности и, подобно классическим вероятностям,могут быть объяснены тем, что мы не знаем точного состояния системы,которое в этом случае задавалось бы уже не волновой функцией, а наборомскрытых параметров.17 Гдемой канделябр!? :)230ГЛАВА 7Однако при измерении двух некоммутирующих переменных состояние системы меняется после первого измерения, что оказывает влияние навторое.
Чтобы обойти эту сложность, мы измеряем две некоммутирующиепеременные почти одновременно (разность времён меньше, чем расстояние, делённое на скорость света) на двух установках, удалённых друг отдруга. Конечно, квантовая теория учит, что квантовое состояние изменяется мгновенно, но если квантовая теория — лишь приближённая теорияк теории с локальными скрытыми переменными, то это мгновенное влияние на расстоянии следует считать нефизическим, тем более, что дажеквантовая теория обладает своего рода локальностью, которая не допускаетсверхсветовой передачи информации.Если продемонстрировать, что квантовая механика позволяет нарушатьнеравенство Белла для некоммутирующих переменных, то это будет означать, что квантовая механика принципиально отличается от любой локальной (без мгновенного дальнодействия) классической (в том числе классической вероятностной) теории. Более того, экспериментальная проверка нарушения неравенств Белла будет экспериментом, способным опровергнутьвсе локальные классические теории разом.Корреляции для спинов*Этот раздел предполагает знакомство читателя со спиновыми волновыми функциями и операторами для спина 12 .Для построения в рамках квантовой механики контрпримера к неравенству Белла мы используем систему из двух спинов 12 , находящихся в состоянии с нулевым полным моментом:|ψ =| ↑| ↓ − | ↑| ↓.√2Здесь | ↑ и | ↓ — одночастичные состояния спин вверх и спин вниз.
Этосостояние переходит в себя при любых поворотах.Такие состояния называют ЭПР-состояниями. Они появляются приописании парадокса Эйнштейна – Подольского – Розена в формулировкеДавида Бома. Возможность нарушения неравенства Белла для такогосостояния является выделенной Беллом математической сущностью парадокса ЭПР.Измеряться будут удвоенные проекции спина одной из частиц на различные направления (они как раз могут принимать значения ±1, как и надопо условиям неравенства Белла).7.5.
К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ231Если провести измерение проекции спина одной из частиц (пусть этобудет первая частица) на ось z (или на любую другую ось, т. к. все направления для этого состояния равноправны!), то с равной вероятностью 12проекция будет равна ± 12 . После такого измерения проекции спинов обоихчастиц будут определены однозначно, причём их знаки всегда будут противоположны.Таким образом, измерение проекции спина первой частицы с равнымуспехом можно проводить как над самой первой частицей, так и над второй частицей: состояния после измерения для обоих случаев совпадают,а измеренные числа пересчитываются друг в друга заменой знака.Пусть второе измерение определяет проекцию спина первой частицына ось, повёрнутую на угол θ по отношению к оси, использованной при первом измерении.
Если первое измерение проводилось для оси z, а второе —для оси повёрнутой на угол θ вокруг оси x, то базисные одночастичныесостояния для первого и второго измерений 10|ψ1+ = | ↑ =,|ψ1− = | ↓ =;01cos θ2,|ψ2+ =sin θ2|ψ2− =.θsin θ2cos 2Таким образом, последовательные измерения удвоенных проекций спинапервой частицы на оси, составляющие угол θ, дают значения ±1, ±1 соследующими вероятностями:P (+, +, θ) = 12 |ψ1+ |ψ2+ |2 =P (+, −, θ) = 12 |ψ1+ |ψ2− |2 =P (−, +, θ) = 12 |ψ1− |ψ2+ |2 =P (−, −, θ) = 12 |ψ1− |ψ2− |2 =12121212cos2 2θ ,sin2 2θ ,sin2 2θ ,cos2 2θ .Таким образом, коррелятор для проекций на указанные оси составляетab = P (+, +, θ) − P (−, +, θ) − P (+, −, θ) + P (−, −, θ) == cos2θ2− sin2θ2= cos θ.Этот результат можно записать так:(σ , n)(σ , n ) = (n, n ) = cos(∠nn ),|n| = |n | = 1.(7.23)232ГЛАВА 7Нарушение неравенства Белла в квантовой механикеПокажем, что направления осей, для которых измеряются удвоенныепроекции спина, могут быть выбраны так, что корреляции (7.23) будут нарушать неравенство Белла (7.22).Выберем три оси, отвечающие измерениям a, b и c, лежащими в однойплоскости под углом 2π3 друг к другу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
