Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Связаны между собой эти базисы следующими соотноше-7.6. Т ЕОРЕМАниями:| → =О НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ **| ↓ + | ↑,√2| ← =237| ↓ − | ↑.√2Пусть первый кубит находится в распоряжении Алисы, а второй — в распоряжении Бориса. Если Алиса измеряет свой кубит в базисе вверх-вниз илив базисе вправо-влево. Кубит Бориса мгновенно попадает в состояние тогоже базиса с ориентацией, противоположной измеренной Алисой:измерение ": |I −→ | ↑| ↓ или | ↓| ↑,измерение ↔: |I −→ | →| ← или | ←| →.Если у Бориса есть клонирующее устройство, то он может клонировать свой кубит и измерить в каком состоянии он находится.
Если кубитБориса в состоянии | ↑ или | ↓, то это значит, что Алиса использовала базис вверх-вниз. Если кубит Бориса в состоянии | ← или | →, то это значит,что Алиса использовала базис влево-вправо. Таким образом, если почти наполпути между Алисой и Борисом расположен источник, который испускает к ним запутанные кубиты, которые прибывают к Алисе чуть раньше, чемк Борису, то Алиса может практически мгновенно передавать Борису информацию, кодируя её выбором базиса (вверх-вниз — 1, влево-вправо — 0).Если у Бориса нет клонирующего устройства, то у него нет возможности узнать угадал ли он базис, который использовала Алиса. Если Борисиспользует тот же базис, то он будет всегда получать другое направлениеспина, чем Алиса.
Корреспонденты при этом получают две цепочки случайных значений ↑, ↓, так что каждому значению Алисы соответствует противоположное Бориса. Однако Алиса не может влиять на то, выпадет лией при очередном измерении ↑ или ↓20 , таким образом, она не может передать информацию. Если же используются разные базисы, то результатыизмерений корреспондентов оказываются и вовсе никак не связаны. Возможны промежуточные ситуации, при использовании других базисов, нов любом случае (см. 7.5.3 «Зацепленные состояния при неселективном измерении (ф*)») Алиса не может передать Борису информацию, производялюбые манипуляции над своей частью запутанной системы.Другое доказательство невозможности клонирования (ф*)Рассуждения предыдущего раздела можно рассматривать не только каквывод следствий из теоремы о невозможности клонирования квантового20 Обсуждение этого см.
в разделах 8.3.2 «“Жёсткость” формулы для вероятностей (фф)»,9.3.9 «Активное сознание (фф*)».238ГЛАВА 7состояния, но и как альтернативное доказательство этой теоремы. В разделе 7.6 «Теорема о невозможности клонирования квантового состояния**»при доказательстве использовалось описание результата измерения с помощью проекционного постулата. Однако проекционный постулат в квантовой механике «на плохом счету»: многие физики смотрят на него какна некоторое довольно сомнительное приближение, в отличие от унитарной эволюции и формул для расчёта вероятностей. В предыдущем разделемы привели иное доказательство невозможности клонирования квантовогосостояния, не используя проекционный постулат, заменив его предположением о невозможности квантовой телепатии.7.7.
Квантовая телепортация**Квантовая телепортация — эффект переноса квантового состояния с одного объекта на другой без непосредственного взаимодействия. В процессе квантовой телепортации осуществляется измерение, но сам по себе результат этого измерения не позволяет определить передающееся квантовоесостояние, однако позволяет определить, какому воздействию должен подвергнуться второй объект, чтобы очутиться в состоянии, в котором ранеепребывал первый.Рассмотрим простейший случай квантовой телепортации, при которомтелепортируется спиновое состояние одного квантового бита. Квантовыйбит, q-бит или кубит — система, для которой в данных условиях существенны лишь два линейно ортогональных состояния, например частица соспином 12 (спин вверх и спин вниз), фотон (две ортогональные поляризации), два близких (или вырожденных) энергетических уровня какой-либомолекулы и т.
п. Два ортонормированных состояния кубита обозначим как 10|0 =,|1 =.01В процессе квантовой телепортации участвуют три кубита — исходный (1-й), вспомогательный (2-й) и конечный (3-й), а также два макроскопических экспериментатора, которых, следуя криптографической традиции,мы будем называть Алиса и Борис (он же Боб в иностранной литературе),и классическая линия связи между ними.В начале эксперимента исходный кубит находится в некотором неизвестном состоянии α|φ0 = α|0 + β|1 =,|α|2 + |β|2 = 1.β7.7. К ВАНТОВАЯТЕЛЕПОРТАЦИЯ **239Конечный и вспомогательный кубит находятся в запутанном ЭПР-состоянии|Ψ1 =|1|0 − |0|1.√2Здесь 1-й множитель соответствует вспомогательному кубиту, а 2-й — конечному. Таким образом, состояние всех трёх кубитов описывается волновой функцией|Φ0 = |φ0 |Ψ1 = √1 (α|0 + β|1)(|1|0 − |0|1).2Множители расположены в порядке номеров кубитов.Предполагается, что 1-й и 2-й кубиты находятся в распоряжении Алисы, а 3-й в распоряжении Бориса.
2-й и 3-й кубиты находятся в запутанномсостоянии (когда-то раньше они были приведены в это состояние). Например, Борис мог до начала эксперимента (даже до того, как 1-й кубит попалв состояние |φ0 ) приготовить кубиты 2, 3 и отдать 2-й Алисе.Алиса совершает измерение над двумя имеющимися у неё кубитами.Измеряется физическая величина, соответствующая двухчастичному оператору4Â =n |Ψn Ψn |,n=1где состояния |Ψn образуют ортонормированный базис двухчастичных запутанных состояний (одно из них — |Ψ1 — нам уже встречалось):|Ψ1 =|1|0 − |0|1,√2|Ψ2 =|1|0 + |0|1,√2|Ψ3 =|1|1 − |0|0,√2|Ψ4 =|1|1 + |0|0,√2Ψn |Ψm = δnm .240ГЛАВА 7Оператор Â — двухчастичный.
Чтобы указать, какие именно частицы измеряются, мы можем выписать его трёхчастичный вариант, написав тензорноепроизведение с одночастичным единичным операторомÂ12 =  ⊗ 1̂.Оператор Â12 действует на первые две частицы как оператор Â, а состояниетретей не изменяет.Собственные функции оператора Â12 имеют видÂ12 |Φnϕ = n|Φnϕ ,|Φnϕ = |Ψn |ϕ,n ∈ {1, 2, 3, 4},где |ϕ — произвольная одночастичная волновая функция.Измеряя Â12 , мы определяем число n ∈ {1, 2, 3, 4}, при этом состояниесистемы после измерения принимает вид |Φnϕ :|Φ0 = |φ0 |Ψ1 = √1 (α|0 + β|1)(|1|0 − |0|1) =21= √ (α|0|1|0 − α|0|0|1 + β|1|1|0 − β|1|0|1) =2|Ψ2 − |Ψ1 |Ψ4 − |Ψ3 1α= √|0 − α|1 +√√222|Ψ2 + |Ψ1 |Ψ4 + |Ψ3 |0 − β|1 =+ β√√22= 1 (|Ψ1 [−α|0 − β|1] + |Ψ2 [α|0 − β|1] +2+ |Ψ3 [β|0 + α|1] + |Ψ4 [β|0 − α|1]).Таким образом, исходное состояние |Φ0 разлагается на собственныесостояния оператора Â12 следующим образом:|Φ0 =41 |Ψ |ϕ .2 n nn=1Здесь|ϕ1 = −α|0 − β|1 =−α,−β7.7.
К ВАНТОВАЯТЕЛЕПОРТАЦИЯ **241α|ϕ2 = α|0 − β|1 =,−β β,|ϕ3 = β|0 + α|1 =αβ.|ϕ4 = β|0 − α|1 =−αПосле измерения Â12 частицы 1 и 2 с равной вероятностью14 2=12попадают в одно из состояний |Ψn , а частица 3 в соответствующее состояние |ϕn . Каждое из состояний |ϕn содержит оба числа α и β, и оно можетбыть превращено в исходное состояние |φ0 с помощью соответствующегоунитарного оператора:|φ0 = Ûn |ϕn ,где−1 01 0Û1 == −Ê, Û2 == σ̂z ,0 −10 −1010 −1= σ̂x , Û4 == −iσ̂y .Û3 =101 0Эти четыре матрицы выражаются через матрицы Паули и единичную матрицу.Поскольку состояние всё равно определяется с точностью до фазового множителя, мы можем не обращать внимание на фазовые множителив формулах для унитарных операторов Ûn .Если кубиты реализованы как частицы со спином 12 , то, с точностьюдо фазовых множителей, матрицы Ûn для n ∈ {2, 3, 4} совпадают с операторами поворота на угол π вокруг осей z, x и y соответственно.
Такиеповороты можно реализовать, накладывая на определённое время магнитное поле вдоль соответствующей оси координат. В случае n = 1 третьячастица сразу оказывается в состоянии |φ0 с точностью до знака.Заметим, что если исходный кубит, который подвергается телепортации, находился в зацепленном состоянии с другими системами, то телепортация переносит зацепленность на 3-й кубит, а 1-й кубит остаётся зацепленным только со вторым. Благодаря этому, систему квантовых кубитовв запутанном состоянии можно телепортировать в несколько приёмов, передавая за раз по одному кубиту.242ГЛАВА 7Квантовая телепортация одного кубита (спинового состояния фотона)была успешно осуществлена на эксперименте с вероятностью 14 : на эксперименте пока удалось осуществить измерение, отличающее первый исходизмерения (состояние |Ψ1 ) от остальных трёх, но не различить оставшиеся три состояния между собой.
Таким образом, телепортацию удавалосьосуществить только в случае n = 1.ГЛАВА 8Место теории измеренийЭта глава продолжает предыдущую главу 7 «Эффекты теории измерений» и в существенной степени перекликается с главой 9 «На грани физики и философии (фф*)», поскольку философские споры вокруг квантовойтеории в существенной степени связаны с пониманием процесса измерения. Различие между эти главами состоит в том, что здесь больше физики,а там — философии. Те рассуждения, которые приводят к конкретным физическим выводам, а не просто к удивлению и философскому озарениюбыли помещены сюда, а нестрогие рассуждения о реальности, сознании ипознании — в следующую главу.Некоторые исторически связанные рассуждения оказались разнесеныпо двум главам.
Введённое Эвереттом понятие относительного состояния имоделирование измерительного прибора по фон Нейману имеют смысл прилюбой интерпретации квантовой механики. Однако мотивированные этимипостроениями многомировая интерпретация Эверетта и «абстрактное Я»фон Неймана уже не физика, а философия физики.8.1. Структура квантовой теории (ф)8.1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
