Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Все три пары осей равноправны и мыполучаем1ab = bc = ac = cos 2π3 = −2.При подстановке в неравенство Белла (7.22) получаем противоречие:| ab + bc | 1 + ac − 12− 12⇒1 1.2− 12Таким образом, действительно, с классической локальной точки зрения поведение квантовых коррелированных систем может быть парадоксальным, и парадокс ЭПР действительно является парадоксом. Впрочем,физики, последовательно придерживающиеся неклассического и/или нелокального взгляда на мир, могут не видеть здесь парадокса.Ещё раз отметим, что каждый раз при измерении пары величин измерения осуществляются над разными частицами практически одновременно(чтобы разность времен была недостаточна для путешествия сигнала соскоростью света), но результат всегда пересчитывается для первой частицы.
Реально для набора статистики нам понадобится проводить не 3, а покрайней мере 4 разных измерения. Например, измерения a каждый раз проводятся над первой частицей, измерение b — над второй, а измерение c —над второй или первой в зависимости от того, в паре с каким измерениемоно выполняется.Нарушение неравенства Белла на экспериментеНарушение неравенства Белла было экспериментально провереноА. Аспектом в 1982 году. От описанной выше схемы эксперимент Аспектаотличался использование фотонов вместо электронов, что математическиэквивалентно, т. к.
фотоны также имеют две независимых поляризации18 .Более существенно то, что большая часть фотонов в эксперименте Аспекта не регистрировалась детекторами. Таким образом, реально наблюдаемые пробегали не 2 значения ±1, отвечающих двум поляризациям фотона/электрона, а три значения: добавлялся 0, отвечающий потере фотона.18 Т. к.
спин фотонов неподелить на 2.1,2а 1, углы между направлениями анализаторов для фотонов надо7.6. Т ЕОРЕМАО НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ **233Если предположить, что потеря фотона может коррелировать с его поляризацией, то можно построить такой набор классических вероятностей длякаждой из комбинаций трёх исходов, которая позволит воспроизвести экспериментальные корреляции.Таким образом, эксперимент Аспекта подтверждает нарушение неравенств Белла тольков предположении независимости события регистрации фотона от его поляризации.Теоретически это означает, что эксперимент Аспекта не полностью закрывает возможность построения локальной теории скрытых параметров, хотя и сильно ограничиваетРис. 7.12. Алан Аспект.свойства таких теорий.7.6.
Теорема о невозможности клонирования квантовогосостояния**Теорема о невозможности клонирования квантового состояния утверждает, что невозможно, имея квантовую систему в некотором произвольномнеизвестном состоянии ψ, приготовить две системы в том же состоянии ψ.Однако, если состояние ψ известно, то мы можем приготовить в этомсостоянии произвольное число систем, причём нам даже не нужна исходнаясистема-образец в этом состоянии.Приготовление системы подразумевает возможность произвольногочередования любых измерений с унитарной эволюцией под действием произвольных гамильтонианов с отбором систем по результатам измерений.Эти три процедуры позволяют также описать приготовление системы которого зависит от результатов промежуточных измерений.Если не нормировать волновые функции на единицу, то процесс приготовления системы сводится к последовательному действию на исходноесостояние (здесь |φ0 — состояние окружения)|Ψ0 = |ψ|φ0 различных унитарных операторов и проекторов, произведение которыхдаёт некоторый линейный оператор K̂.Линейность оператора, приготовления состояния K̂ подсказывает идеюдоказательства:Начальное состояние |Ψ0 линейно по |ψ, следовательно, конечноесостояние |Ψ1 = |ψ|ψ|φ1 также должно быть линейно по ψ, что,вероятно, невозможно.234ГЛАВА 7Рассмотрим два линейно независимых состояния ψ1 и ψ2 и предположим, что мы можем клонировать и эти состояния, и их сумму ψ1 + ψ2с помощью одного оператора K̂.Для ψ1 и ψ2 получаемK̂|ψ1 |φ0 = |ψ1 |ψ1 |φ1 ,K̂|ψ2 |φ0 = |ψ2 |ψ2 |φ2 .Для ψ1 + ψ2 в силу линейности K̂K̂|ψ1 + ψ2 |φ0 = |ψ1 |ψ1 |φ1 + |ψ2 |ψ2 |φ2 + |ψ1 |ψ2 0 + |ψ2 |ψ1 0.С другой стороны, если состояние ψ1 + ψ2 клонируется тем же оператором K̂:K̂|ψ1 + ψ2 |φ0 = |ψ1 + ψ2 |ψ1 + ψ2 |φ1+2 == |ψ1 |ψ1 |φ1+2 + |ψ2 |ψ2 |φ1+2 + |ψ1 |ψ2 |φ1+2 + |ψ2 |ψ1 |φ1+2 .Из линейной независимости ψ1 и ψ2 следует линейная независимость ихтензорных произведений|ψ1 |ψ1 ,|ψ2 |ψ2 ,|ψ1 |ψ2 ,|ψ2 |ψ1 .В силу этого, сравнивая два выражения для K̂|ψ1 + ψ2 |φ0 , получаем, приравнивая последние тензорные множители при одинаковых первых двух:|φ1+2 =|φ1+2 =|φ1+2 =|φ1+2 =|φ1 ,|φ2 ,0,0.Таким образом, мы не можем клонировать с помощью одного и тогоже оператора K̂ даже состояния из двумерного линейного подпространства,натянутого на ψ1 и ψ2 .
Случай же одномерного подпространства интересане представляет, поскольку знание одномерного подпространства означаетзнание состояния (с точностью до множителя).Если можно было бы клонировать некоторое состояние системы, то мымогли бы, совершая различные измерения для разных «клонов», полностью(с точностью до общего множителя) определить волновую функцию системы, однако в силу теоремы о невозможности клонирования произвольнаяволновая функция единичной системы оказывается недоступна измерению.7.6. Т ЕОРЕМАО НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ **235Невозможность клонирования также означает невозможность «подсмотреть» унитарную эволюцию системы, не прерывая её. В частности,это накладывает ряд принципиальных ограничений на работу с квантовымкомпьютером (невозможность «следить» за процессом вычислений, невозможность полностью использовать квантовый параллелизм и т.
д.).7.6.1. Смысл невозможности клонирования (ф*)Теорема о невозможности клонирования квантового состояния гласит,что, имея некоторую систему в неизвестном (произвольном) квантовом состоянии? мы не можем приготовить две системы (или более) в таком жесостоянии. Разумеется, если мы знаем в каком состоянии система, то мыв принципе можем приготовить сколь угодно много систем в таком же состоянии.Чтобы понять, какие физико-философские последствия имеет теорема о невозможности клонирования, давайте предположим противное:представим себе, что у нас есть некоторое клонирующее устройство,осуществляющее клонирование квантового состояния, и изучим, к какимпоследствиям это может привести.Многократно измеряя для системы в одинаковом состоянии какойлибо полный набор совместных наблюдаемых n, мы можем (благодаряклонирующему устройству) набрать статистику и получить распределениевероятностей всевозможных исходов измерения, т.
е. определить функциюpn = |ψn |2 для данного базиса.Это пока не позволяет определить саму волновую функцию, т. к. мыпока знаем только модули амплитуд |ψn |, но не фазы arg(ψn ). Однако,обладая клонирующим устройством, мы можем набрать статистику длянескольких разных полных наборов наблюдаемых и получить распределения вероятностей для различных базисов.Неизмеримость волновой функции (ф*)Совокупность распределений вероятности для всевозможных наборов наблюдаемых называется квантовой томограммой19 .
Квантовая томограмма позволяет полностью определить исходное неизвестное состояние(с точностью до физически незначащего общего фазового множителя). По19 На самом деле для задания квантовой томограммы нам даже не нужны распределениявероятностей для всех возможных полных наборов наблюдаемых. Например, для одиночнойчастицы на прямой достаточно задать распределения по всевозможным комбинациям αx ++ βp, а для одиночного спина 12 — распределения по проекциям спина на всевозможныенаправления. Более подробно квантовая томография будет обсуждена в другом разделе.236ГЛАВА 7существу квантовая томограмма — иное представление состояния квантовой системы.Таким образом, клонирующее устройство позволило бы нам измерятьна эксперименте квантовую томограмму, т. е.
квантовое состояние (волновую функцию) единичной системы.Без клонирующего устройства, обладая единичной системой в неизвестном состоянии, наибольшее, что мы можем сделать, — один раз измерить какой-либо полный набор совместных наблюдаемых. При этом мыполностью уничтожим исходное состояние системы: состояние спроецируется на собственное подпространство, отвечающее найденным значениямизмеренных наблюдаемых.
Единственное, что мы можем достоверно сказать про исходное состояние, что и до измерения его проекция на данноеподпространство была отлична от нуля.Возьмём простейший случай, когда система представляет собой квантовый бит (кубит — система с двумерным пространством состояний), например спин электрона, или поляризацию фотона. Квантовый бит, в отличие от классического, может помимо базисных состояний |0 и |1 принимать их произвольные линейные комбинации α|0+β|1. Даже после фиксации нормировки и фазы у нас остаётся бесконечно большое множество соβстояний, параметризуемое отношением α. Для параметризации отношенияβ(однокомплексноечислоилидвавещественных)нам потребуется бескоαнечно много двоичных цифр, т.
е. бесконечно много классических битов.Любое количество классических битов мы могли бы извлечь из одногоквантового бита, если бы у нас было клонирующее устройство.В реальности (без клонирующего устройства) мы можем извлечь изодного квантового бита только один бит классической информации.Невозможность квантовой телепатии (ф*)Итак, клонирующее устройство позволило бы измерять волновуюфункцию.
К чему бы это привело? Мы могли бы передавать информациюна расстоянии со сколь угодно большой скоростью! При этом грубо нарушались бы принципы специальной теории относительности.Пусть у нас есть два кубита (спина) в запутанном состоянии|I =| ↑| ↓ − | ↓| ↑| →| ← − | ←| →=.√√22Здесь мы использовали два одночастичных базиса: спин вверх-вниз и спинвправо-влево.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
