Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 47
Текст из файла (страница 47)
М ОДЕЛИРОВАНИЕИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА *249Таким образом, исходная волновая функция частицы в результате измерения умножается на свёртку3 φ0 (• − Tτ q) и f ∗ .Например, при свёртке двух гауссовых пакетовQ2Q21 · e− 2a2 ,φa = √4πa21 · e− 2b2φa = √4πb2√шириной a и b получаем гауссов пакет шириной c = a2 + b2 :'4'4πa2 b2 φ =ca2 + b2−2ab · e2a + b2'Q2222(a +b )=4−4πa2 b21·e22 4a +bπ(a2 + b2 )Q22(a2 +b2 ).Если f задаётся прямоугольным импульсом,1, |Q − Q0 | δQ,1f (Q − Q0 ) =2 δQ 0, |Q − Q0 | > δQ,а φ0 — гауссовым пакетомQ21 · e− 2a2 ,φ0 = √4πa2то в результате мы получаем сглаженный «почти прямоугольный» импульсшириной 2 δQ с размытыми краями (a — ширина размытия), локализованный около точки Q0 :F (q) = 12 δQ+δQ−δQT0− τ1 · e− (Q−Q2a2√42πaq)2dQ.Ранее (уравнение (3.9) в разделе 3.1.4 «Распределения вероятностей и волновые функции при измерении») мы уже постулировали, что при измерении волновая функция умножается на прямоугольный импульс (характеристическую функцию), который «вырезает» из неё часть, соответствующуюдиапазону, в который попала измеренная величина.
Теперь, путём анализа квантового процесса измерения с точки зрения квантовой механики, мы3 Свёртка(f ∗ g) двух функций f и g определяется соотношением(f ∗ g)(t) = f (τ ) g(t − τ ) dτ.R250ГЛАВА 8получили обобщение этого правила, которое допускает замену прямоугольного импульса на сглаженный импульс, либо на волновую функцию общеговида4 .Мы сдвинули границу между системой и наблюдателем, включив в систему «стрелку» прибора. Взаимодействие системы и стрелки мы рассмотрели в рамках унитарной квантовой механики (с помощью оператора эволюции).
Однако результат измерения положения стрелки наблюдателем мыснова были вынуждены постулировать как неунитарный процесс, не описываемый унитарной квантовой механикой.Таким образом, мы «вывели» проекционный постулат для системы, нов качестве исходного положения использовали аналогичный проекционныйпостулат, но уже для стрелки прибора. Тем не менее, новый проекционныйпостулат имеет более общий вид, чем исходный. Теперь волновые функции,получаемые при взаимоисключающих результатах измерения, могут бытьуже не ортогональными. Однако по-прежнему конечная волновая функциялинейна по начальной.8.3. Возможна ли иная теория измерений? (фф)Прежде всего следует отметить, что теория измерений состоит из двухчастей:• формула для вероятности определённого исхода измерения;• формула для волновой функции после измерения с определённым исходом (проекционный постулат).Статус этих двух частей теории измерений в рамках квантовой механики различен.Формула для вероятностей едва ли может быть модифицирована.
Повсей видимости она столь же фундаментальна, как унитарная эволюция.Единственность этой формулы была выведена при определённых предположениях Эвереттом (см. раздел 8.3.1 «Эвереттовский “вывод” теории измерений (фф*)»). Ниже мы продемонстрируем «жёсткость» этой формулыс точки зрения отсутствия релятивистских парадоксов.Проекционный постулат является естественным приближением. Мыможем рассматривать модифицированные теории измерений, в которых4 Замена характеристической функции на функцию R → [0, 1] общего вида соответствуетзамене обычного множества, нечётким множеством (fuzzy set), когда для точек определяетсяне принадлежность/непринадлежность к множеству, а вероятность принадлежности. Впрочем,классические нечёткие множества не позволяют описать умножение на волновую функциюпроизвольного вида, а значит уместнее рассматривать квантовые (нечёткие) множества, дляпопадания точек в которые задаётся не вероятность, а амплитуда вероятности.8.3.
В ОЗМОЖНАЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ? ( ФФ )251проекционный постулат изменён (см. правило (8.1) в разделе 8.2.1 «Измерительный прибор по фон Нейману**»), или выводится из иных постулатов. (Если эти «иные постулаты» представляются кому-то более естественными.)Помимо фундаментальных аспектов теории следует помнить и о простой корректности её применения: при анализе конкретного экспериментанадо аккуратно исследовать, какие именно физические величины мы меримна самом деле.8.3.1. Эвереттовский «вывод» теории измерений (фф*)Если строить теорию измерений, опираясь только на те понятия, которые уже были введены для описания эволюции замкнутой системы (линейное пространство чистых состояний, на котором задано скалярное произведение), то формула для вероятностей фиксируется однозначно при некоторых разумных (по крайней мере пока) предположениях.Такого рода вывод был проделан Х.
Эвереттом. Мы обобщим этот вывод и сформулируем в виде теоремы, явно оговорив условия, которые былиопущены Эвереттом.Теорема Эверетта. Вероятность исходу измерения может быть приписана единственным способомpφψ =|φ|ψ|2ψ|φφ|ψ,=22ψ|ψφ|φψ φ(8.2)при условии, что:• вероятность исхода pφψ ∈ [0, 1] определяется только векторами состояния до измерения |ψ и после измерения |φ, причём состоянияопределяются с точностью до ненулевого множителя;• зависимость вероятности от состояний непрерывна;• вероятность инвариантна относительно произвольных унитарных преобразований пространства состояний;• pψψ = 1;• суммарная вероятность равна 1, т. е. если дан максимальный набор взаимоисключающих чистых состояний |φi (ортогональный базис), тосуммарная вероятность равна 1:pφi ψ = 1;i• размерность пространства состояний не меньше 3.252ГЛАВА 8Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО .Поскольку состояния определены с точностью до ненулевого множителя, мы можем перейти к рассмотрению векторов состояний |ψ̃, |φ̃, |φ̃i ,нормированных на единицу.
Более того, мы можем считать, что скалярноепроизведение φ̃|ψ̃ вещественно и неотрицательно, т. е. φ̃|ψ̃ = |φ̃|ψ̃|.Поскольку формула не должна зависеть от унитарных преобразований, искомая вероятность pφψ = pφ̃ψ̃ должна выражаться через скалярное произведение φ̃|ψ̃, т. е.ψ|φφ|ψ2.pφψ = g(|φ̃|ψ̃| ) = gψ|ψφ|φДля суммарной вероятности получаемg(|φ̃i |ψ̃|2 ) = 1 = ψ̃2 =|φ̃i |ψ̃|2 . iig0 (|φ̃|ψ̃|2 )Ясно, что функция g0 (|φ̃|ψ̃|2 ) = |φ̃|ψ̃|2 удовлетворяет этому условию.Заметим, что g(0) = 0, т.
к., выбрав |φ1 = |ψ, мы получаемg(0).1 = 1 +g(1)i=1Покажем, что функция g единственна.Мы всегда можем выбрать векторы |φi так, чтобы |ψ принадлежалплоскости, натянутой на |φ1 и |φ2 . Отсюда получаем, чтоg(x) + g(1 − x) = 1,x = |φ1 |ψ|2 ∈ [0, 1].Отсюда g( 21 ) = 12 .Мы всегда можем выбрать векторы |φi так, чтобы |ψ принадлежалпространству, натянутому на |φ1 , |φ2 и |φ3 . Пусть |φ3 |ψ|2 = 12 .
Отсюдаполучаем, чтоg(x) + g( 21 − x) + 1 = 1,2x = |φ1 |ψ|2 ∈ [0, 12 ].Отсюда g( 41 ) = 14 :g( 14 ) + g( 34 ) = 11/4⇒g( 34 ) = 3 .48.3. В ОЗМОЖНАЛИ ИНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ? ( ФФ )253Аналогично беря значение |φ3 |ψ|2 в уже установленных точках, мы можем показать, что g 2kn = 2kn , n = 0, 1, 2, . . . , k = 0, 1, . . . , 2n .Это множество точек плотно на отрезке [0, 1]. Из непрерывности функции gзаключаем, что g(x) = x, x ∈ [0, 1].ОбсуждениеМы доказали теорему Эверетта, использовав весьма общие и естественные предположения. Если мы «верим в квантовую механику», т. е. еслимы считаем, что разработанная для описания замкнутых систем унитарная квантовая механика в самом деле позволяет описать Вселенную вокругнас, и нам не требуется вводить в теорию никаких новых ингредиентов,то теорема должна нас убедить, что никаких других формул для квантовойвероятности в принципе не может быть.Однако в названии этого раздела слово «вывод» было взято в кавычки.
Дело в том, что у нас нет достаточных оснований полагать, что процесс измерения описывается на языке унитарной квантовой механики, безвведения дополнительных структур. Например, если процесс измерения характеризуется не только начальным и конечным состояниями системы, нои какими-то выделенными состояниями, характеризующими измерительную установку, то приведённое доказательство теоремы уже не работает(квантовая механика при этом могла бы даже оставаться унитарной).
Темболее теорема не должна работать, если мы рассмотрим какое-либо нелинейное обобщение квантовой теории.8.3.2. «Жёсткость» формулы для вероятностей (фф)Можем ли мы тем или иным способом (см., например, раздел 9.3.9 «Активное сознание (фф*)») управлять квантовыми случайностями, или хотябы изменить квантовые вероятности по сравнению со стандартной формулой |ψn |2 ?Продемонстрируем на примере измерения системы (кубита), имеющейдва базисных состояния |0 и |1, что управление вероятностями привелобы к возможности передавать информацию на расстоянии со сколь угоднобольшой скоростью, грубо нарушая постулаты специальной теории относительности.Пусть наш кубит находится в состоянии, зацепленном с другим кубитом:|0|0 + |1|1|Ψ =.(8.3)√2254ГЛАВА 8Пусть первый кубит находится у Алисы, а второй у Бориса.Алиса измеряет состояние своего кубита в базисе |0, |1. При этомкубит Бориса оказывается в том же состоянии, что и кубит Алисы:|Ψ −→ |0|0 или |1|1.Таким образом, управляя результатом своего измерения, Алиса тем самымуправляет результатом измерения, которое чуть позже производит Бориснад своим кубитом.Мы видим, что если почти на полпути между Алисой и Борисом естьисточник запутанных кубитов, которые прилетают к Алисе чуть-чуть раньше, то Алиса может передавать Борису информацию на любое расстояниесо сколь угодно малой задержкой! Для такой передачи не надо даже полностью управлять результатом измерения, достаточно лишь чуть-чуть сдвинуть вероятность в желаемую сторону, тогда, повторив передачу несколькораз, удастся передать Борису любое сообщение, закодировав его состояниями |0 и |1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
