Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для числовых функций, когда У = Я = К, зто не что иное, как знакомм возможность вынесения постоянного множителя за знак дифференцирования. Пример 4. Пусть снова У = У(х) — окрестность точки х нормированного пространства Х, и пусть ~: У -+ У = У1 х... х У„ — отображение У в прямое произведение нормированных пространств УБ...,У„. Задание такого отображения равносильно заданию и отображений Б: У -+ У;, г = 1,...,п, связанных с )' соотношением х + 1(х) = у = (у1,..., у„) = (Ях),..., 1„(х)), справедливым в любой точке с1. Если теперь в формуле (1) учесть, что 1(х+ 6) — 1(х) = (~1(х+ Й) — Ях),...,~„(х+ Й) — ~„(х)), Ь(х)й = (Ь1(х)Ь,..., Ь„(х)й), (*;м=( (',й)...(*;ю то со ссылкой на результаты примеров б из ~1 и 10 из ~2 можно заключить, что рассматриваемое отображение ~ дифференцируемо в точке х тогда и только тогда, когда дифференцируемы все его компоненты Л: с1 — ~ У;, ~ = 1,...,и, причем в случае дифференцируемости отображения 1 имеет место равенство ГЛ Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 80 Пример 5.
Пусть теперь А Н ~(Х1,...,Х„;У), т.е. А — непрерывный и-линейный оператор, действуюший из произведения Х1 х... х х Х„линейных нормированных пространств Х1,..., Х„в линейное нормированное пространство У. Докажем дифференцируемость отображения А:Х1х...хХ„=Х-+У и найдем его дифференциал. < Используя полилинейность А, находим, что А(х + Ь) — А(х) = А(х1+ Ь~,..., х„+ Ь„) — А(х1,..., х„) = = А(хн...,х„)+А(Ь1,хз,...,х„)+... +А(хм...,х„нЬ„)+ + А(Ь1, Ь|, хз, х„) +...
+ А(хн, хв-з, Ьп — 1 Ьв) + + А(ЬЦ..., Ь„) — А(хы..., х„). Поскольку норма в Х = Х1 х ... х Х„удовлетворяет неравенствам ~хг~х, ~ ~1х!х ~ ~~~~ ~х1!х,~ а норма 8А8 оператора А конечна и (Аф,...,(„)( < ()А)) ф) х ... х )(„~, можно заключить, что А(х + Ь) — А(х) = А(х1+ Ьн..., х„+ Ь„) — А(х|,..., х~) = = А(Ь1, хг, °, хв) + ° ° .
+ А(х1, ° °, хв — н Ьп) + о(х~ Ь)> где о(х; Ь) = о(Ь) при Ь -~ О. По оператор Цх)Ь = А(Ьпхз,...,х„) +... + А(хы...,х„п Ь„) есть линейный по Ь = (Ьы..., Ь„) непрерывный (в силу непрерывно- сти А) оператор. я 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 81 Таким образом, установлено,что А'(х)Ь = А'(хы...,х„)(61,...,6„) = = А(пм хг,..., х««) +...
+ А(хм. х««-1 Ь««) или, короче, НА(х1,...,х„) = А(Ихыхз,...,х„)+... + А(хд,...,х„1,<Ь„). в В частности, если: а) х1 ... х„— произведение и-числовых переменных, то И(х1 ....х ) =йх1 хг ... х„+...+х1 ... х 1 Их Ь) (х1, хз) — скалярное произведение в Ез, то «((хм х2) = (аахм хз) + (х1, дх2); с) [хм хз] — векторное произведение в Ез, то Ы[х1«хя] = [йх1,хз] + [х1, Ихз]; Й) (х1, хз, хз) — смешанное произведение в Ез, то д(хм хз, хз) Их1«хз«хз) + (х1, ох2, хз) + (х1«х2, охз); е) с1е$(х1,..., х„) — определитель матрицы, составленной из координат п векторов хы..., х„п-мерного линейного пространства Х с фиксированным в Х базисом, то И(бе$(х1,...,х„)) = ЙеЦЙхыхз,...,х„) +...
+ с1еЦхм...,х„1,йх„). Пример 6. Пусть У вЂ” подмножество Е(Х;У), состоящее из тех линейных непрерывных операторов А: Х вЂ” ~ У, которые имеют непрерывные обратные операторы А 1: У вЂ” «Х (принадлежащие С(У;Х)). Рассмотрим отображение У э А «-~ А ' е,С(У; Х), состоящее в том, что каждому оператору А 6 У ставится в соответ- ствие обратный к нему оператор А " Е,с,(У; Х). ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ вг Доказываемое ниже утверждение 2 позволяет ответить на вопрос о дифференцируемости этого отображения. Утвергкдеиие 2. Если Х вЂ” полное пространство и А е П, то при любом Ь б Е(Х;1 ) таком, что ((Л)) < ((А 1)) 1, оператор А+ 6 также принадлежит П и справедливо соотношение (А+6) 1 = А г — А 16А ~+оЯ при й-+ О.
(3) и Поскольку (А+ 5)-' = (А(Е+ А-'5))-' =- (Е+ А-') )-'А-", (4) то достаточно найти оператор (Е + А 1Ь) 1, обратный к оператору (Е + А 1п) Е х".(Х; Х), где Š— тождественное (единичное) отображение ех пространства Х на себя. Пусть Ь:= — А 16. Учитывая сделанное к утверждению 2 из 22 дополнение, можно заметить, что (Щ < ((А г~) ))Ч, поэтому в силу сделанных относительно оператора Й предположений можно считать, что)Щ <о<1. Проверим теперь, что (Е ~)-1 Е+„3+~2+ +,ли+ (5) где ряд, стоящий справа, есть ряд, составленный из линейных операторов Ь" = (Ь о...
о сХ) е с.(Х; Х). Ввиду полноты Х (в силу утверждения 3 из 22) линейное нормированное пространство Е(Х;Х) является полным. Тогда сходимость указанного ряда, составленного из векторов этого пространства, немедленно вытекает из того, что агав(( < ~Щ" < д", и того, что ряд ~; ов сходится, если (д! < 1. в=в Непосредственная проверка (Е+Ь+Ь'+...)(Е-Ь) = (Е+~+~г+ ) (д+ вг+дз+ ) Е ,1)(Е+ ~+ ~г+ (Е+~+~г+ ) (~+,~г+ ~з+ 13.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ показывает, что мы действительно нашли (е — 7з) Стоит отметить, что свобода выполнения арифметических операций над рядами (перестановки членов!) в данном случае гарантируется абсолютной сходимостью (сходимостью по норме) рассматриваемых рядов. Сопоставляя соотношения (4) и (5), заключаем, что при !!Ь!! < < !!А '!! (А+Ь) ' = А ' — А 'ЬА '+ (А 'Ь)2А ' —... ... + ( — 1)"(А 1Ь)"А 1+... (6) Поскольку ~( — А-'Ь)"А-' < , ''!!А-'Ь|!"!!А-'!! < а=2 74=2 < ~~А-'~~'~~М' К:.- = ~!' '~~'~~Ч', — Д 1— то из (6), в частности, следует равенство (3). ~ Ва4вращаясь теперь к примеру 6, можно сказать, что в случае полного пространства У рассматриваемое отображение А ~-~ А 1 заведомо дифференцируемо, причем 4(А)Ь = д(А ')Ь = — А 'ЬА '.
В частности, зто означает, что если А — квадратная невырожденная матрица и А 1---обратная к ней матрица, то при возмущении матрицы А с помощью матрицы Ь с близкими к нулю злементами матрицу (А+ Ь) 1, обратную к возмущенной матрице А + Ь, можно в первом приближении находить по следующей формуле: (А+Ь) ' = А ' — А 'ЬА '. Более точные формулы, очевидно, можно получить, исходя нз равенства (6). Пример 7.
Пусть Х вЂ” полное линейное нормированное пространство. Важное отображение ехр: 4".(Х; Х) — +,с(Х; Х) 4-4574 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 84 определяется следующим образом: 1 ехрА:= Е+ — А+ — Аэ+... + — А" +..., 1! 2! п1 (7) если А е с,(Х; Х). Стоящий в (7) ряд сходится, так как Е(Х; Х) — полное пространство и 8 †,А")) ( л †у †, а числовой ряд ~; а-„-у- сходится. Нетрудно проверить,что ехр(А+ 6) = ехрА+1(А)6+ о(Ь) при Л-+ оо, (8) где Х(А)6 = а+ —,(АЬ+ ЬА) + —,(А~6+ АЬА+ ЬА ) +... ...
+ — (А"-'А+ А"-'М+... + АЬА"-э + ЬА"-') + .. 1 и.' и ~щА) 8 < ехр 8А9 = е9'Ч, т.е. 7(А) е .С(Е(Х; Х); Е(Х; Х)). Таким образом, отображение ь",(Х;Х) Э А ~-+ ехрА б 4,(Х;Х) дифференцируемо при любом значении А. Заметим, что если операторы А и Ь коммутируют, т.е. Ай = ЬА, то, как видно из выражения для 7,(А) й, в этом случае ЦА) 6 = (ехр А)Ь. В частности, для Х = К или Х = С вместо (8) вновь получаем ехр(А+ 6) = ехрА+ (ехрА)6+о(й) при Ь -+ О. (9) Пример 8. Попробуем дать математическое описание мгновенной скорости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой о (волчок). Рассмотрим в точке о ортонормэльный репер ~емеэ,ез), жестко связанный с телом.
Ясно, что положение тела вполне характеризуется положением такого орторепера, а тройка (еы еэ, еэ) мгновенных скоростей движения векторов репера, очевидно, вполне характеризует мгновенную скорость вращения тела. Положение самого репера (е1, еэ, еэ) в момент $ можно задать ортогональной матрицей (а,'), 4, 1 = 1, 2, 3, составленной из координат векторов ен еэ, еэ относительно некоторого неподвижного ортонормированного репера пространства. Таким образом, движению волчка отвечает отображение $ — ~ 0($) ЗЗ ЛИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ из К (ось времени) в группу ВО(3) специальных ортогональных матриц третьего порядка.
Следовательно, скорость вращения тела, которую мы договорились описывать тройкой (е1, ез, ез), задается матрицей 0(з) =: (ь1~)(8) = (а )(з) — производной от матрицы 0(з) = (с1~)(8) по времени. Поскольку 0($) — ортогональная матрица, то в любой момент з выполнено соотношение (10) где 0*(з) — транспонированная по отношению к 0(З) матрица, а Е— единичная матрица.
Заметим, что произведение А В матриц есть билинейная функция от А и В, а производная от транспонированной матрицы, очевидно, равна матрице, транспонированной по отношению к производной исходной матрицы. Дифференцируя равенство (10) с учетом сказанного, находим, что О(8)0*(8) + 0(з)0*(1) = 0 или 0(з) = — 0(1)0*(8)0(з), поскольку 0*(1)0(з) = Е. В частности, если считать, что в момент з репер (е1, ез, ез) совпадает с репером пространства, то 0(з) =- Е и из (11) получается, что 0(з) = — О*($), (12) т.е. матрица 0(з) =: Й(1) = (ь1~) координат векторов (е1,ез,ез) в ба- зисе (е1, ез, ез) оказывается кососимметрической: „1 2 3 1 0 — ь1з ь12 й(З) = ь1' ь12 ыз = ь1з 0 — ы1 ь11 ь12 ЮЗ з з з ы1 О Таким образом, мгновенная скорость волчка на самом-то деле характеризуется тремя независимыми параметрами, что в наших рассуждениях проистекало из соотношения (10) и что с физической точки зрения естественно, поскольку положение репера (е1, ез, ез), а значит, и самого тела, описывается тремя независимыми параметрами (в механике зто, например, углы Эйлера).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
