Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Итак,нам достаточно доказать,что ]Дх+ 6) — Дх)] < М]6], (3) ~~(хз) — 1 (х~)] ~ (] ~(хз) — 1 (хз)] + ]((хз) — [(х1)] ~( < М]хз — хз] + М]хз — хз] = М(]хз — хз] + ]хз — хз]) = = М]хз — хз] показывает, что если на частях [хм хз], [хз, хз] отрезка [хз, хз] справед- ливо неравенство вида (3), то оно справедливо и на отрезке [хз, хз]. где М = зпр Щх+ 06)]] и функция 1 считается дифференцируемой а<в<з на всем отрезке [х,х+ и].
Простая, использующая только неравенство треугольника и свойства отрезка, выкладка в 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 91 [У(хо + Ьь) — У(хо)[ > М~Ьь[. (4) Если (3) доказать с заменой М на М + е, где е — любое положительное число, то при е -+ О все равно получится (3), поэтому (4) тоже можно заменить на [У(хв+ Ьь) — У(хв)[ > (М+ г)[Ьь[ (4') и теперь показать, что это несовместимо с дифференцируемостью )' в точке ха.
Действительно, в силу дифференцируемости ~Дхв + Ьь) — Дхв)[ = [,~ (хв)Ьв + о(Ьь)[ ~( ( [[у'(хв))) [Ья[+о([Ьь[) ( (М+ е)[Ьь[ при Ьь — + О. ~ Теорема о конечном приращении имеет следующее часто технически полезное Следствие. Если А е ь".(Х; х ), т. е. А есть линейное непрерывное отображение нормированного пространства Х в нормированное пространство х', а )': У вЂ” + У вЂ” отображение, удовлетворяющее условиям теоремы о конечном приращенищ то [у(х+ Ь) — у(х) — АЬ[ ( впр [[у'(4) — А[[ [Ь[.
4е)х,х-~-й~ ~ Для доказательства достаточно применить теорему о конечном приращении к отображению Значит, если оценка (3) неверна для отрезка [х, х + Ь), то последовательным делением его пополам можно получить последовательность стягивающихся к некоторой точке хв Е [х,х + Ь[ отрезков [аь, Ьь) С [х, х + Ь), на каждом из которых (3) нарушено. Поскольку хв е [ам Ьь), то, рассмотрев отрезки [аы хв), [хв, Ь|[, по тем же соображениям можно считать, что нашлась последовательность отрезков вида [хв, хе + Ьь) с С [х, х + Ь[, где Ьь -+ О при Ь -+ оо, на которых 92 ГЛ.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ единичного отрезка [О, Ц С [я в У, ибо О'(1) — г (О) = 1(х+ Ь) — 1(х) — АЬ, г" (О) = г"'(х+ ОЬ)Ь вЂ” АЬ при 0 < О < 1, [[.О" (О)[[ < [[1'(х+ ОЬ) — А[[ [Ь[, яир [[Р'(О)[[ < вар Ц'(~) — А[[ [Ь[. а О<В<1 (е[х,я+о[ Это замечание в равной степени относится и к доказанному только что следствию теоремы о конечном приращении. 2, Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении.
а. Непрерывно дифференцируемые отображения. Пусть 1:с[ — >У (5) — отображение открытого подмножества с[ нормированного пространства Х в нормированное пространство У. Если 1' дифференцируемо в каждой точке х Н 51, то, сопоставляя точке х отображение 1'(х) Е Е ь(Х; У), касательное к 1 в этой точке, мы получаем производное отображение 1': с[ — > ь(Х;У). (6) Поскольку пространство х',(Х; У) линейных непрерывных операторов из Х в У является, как нам известно, нормированным (нормой оператора) пространством, то можно говорить о непрерывности отображения (6). Определение. В том случае, когда производное отображение (6) непрерывно в У, отображение (5), в полном соответствии с прежней терминологией, будем называть непрерывно дифференцируемьиа.
Множество непрерывно дифференцируемых отображений типа (5) будем по-прежнему обозначать символом С[В Щ У) или, короче, С[В(с[), если из контекста ясно куда идет отображение. Замечание. Как видно из доказательства теоремы 1, в ее условиях нет нужды требовать, чтобы [' было дифференцируемо как отображение 1: У -+ У; достаточно, чтобы ограничение )' на отрезок [х, х + Ь) было непрерывным отображением этого отрезка, дифференцируемым в точках интервала )х, х + Ь[. 14. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 93 Итак, по определению ( е С~О(С,У) с=» ~' е С(У,С(Х;У)).
Посмотрим, что означает непрерывная дифференцируемость отображения в различных конкретных случаях. Пример 1. Рассмотрим знакомую ситуацию, когда Х = У = К, и, таким образом, )': У вЂ” » К есть вещественнозначная функция вещественного аргумента. Поскольку любое линейное отображение А Е Е С(К; К) сводится к умножению на некоторое число а Е К, т. е. АЬ = = аЬ, причем, очевидно, 9А5 = )а), то в любой точке х Е С для любого вектора Ь е ТК~ К получаем, что 1'(х)Ь = а(х)Ь, где а(х) — числовая производная функции у в точке х. Далее, так как (1'(х+ д) — Р(х))Ь = К(х+ 5)Ь вЂ” У (.)Ь = = а(х+ е)Ь вЂ” а(х)Ь = (а(х + 6) — а(х))Ь, (7) то '9,('(х+ б) — ~'(х)9 = (а(х + Б) — а(х)~ я, значит, непрерывная дифференцируемость отображения 1' в данном случае равносильна рассматривавшемуся ранее понятию непрерывно дяфференцируемой числовой функции (класса С1Ц (С, К) ).
Пример 2. Пусть на сей раз Х есть прямое произведение Х1 х х ... х Х нормированных пространств. Отображение (5) в этом случае есть фУнкциЯ 1(х) = Дхм...,х~а) от т пеРеменных х, е Х„ 1 = 1,..., т, со значениями в пространстве У. Если отображение 1 дифференцируемо в точке х Е С, то его дифференциал ф(х) в этой точке есть элемент пространства Е(Х~ х...
х Х,„= = Х;У). Действие ф(х) на вектор Ь = (Ь1,..., Ь,„), согласно формуле (15) из 9 3, представляется в виде гф(х)Ь = д11(х)Ь +... + д 1(х)Ь где д,у(х): Х, -+ У, 1 = 1,..., т, суть частные производные отображе- ния 1 в рассматриваемой точке х. ГЛ Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Далее, (д)'(х + б) — ф(х))Ь = ~~~ (д,Дх+ б) — д,Дх))6,.
(8) ю=1 Цд1)(х + б) дг((х)Цс(хек) < ЦсК(х + б) 4(х) Цс(х у) < < ~ Цд,У(х+ б) — д,Дх)Цс)хлг). (9) Таким образом, дифференцируемое отображение (5) в данном случае непрерывно днфференцируемо в 17, если и только если все его частные производные отображения непрерывны в У. В частности, если Х = И"' и У = К, мы вновь получаем уже знакомое понятие непрерывно днфференцируемой числовой функции т действительных переменных (функции класса СВ) (с7, К), где П С К™). Замечание. Стоит отметить, что в записи равенств (7) и (8) мы существенно пользовались каноническим отождествлением ТХя Х, позволившим сравнивать или отождествлять векторы, лежащие в различных касательных пространствах.
Покажем теперь, что для непрерывно дифференцируемых отображений имеет место л"тверждение 1. Если Х вЂ” выпуклый компакт в нормированном пространстве Х и )' Е СВ)(Х, У), где У вЂ” тоже нормированное пространство, то отображение 1: Х вЂ” + У удовлетворяет условию Лапшина на Х, т. е. существует настоянная М ) 0 такая, что для любых точек хм хз Е Х выполнено неравенство ) ) (хз) — ) (х1)) < М)хз х1~. (10) < По условию 1': Х -+ ь(Х; У) есть непрерывное отображение компакта Х в метрическое пространство х.(Х; У). Поскольку норма есть непрерывная функция на нормированном пространстве, взятом с его естественной метрикой, то отображение х ~-) Ц1'(х)Ц, как композиция непрерывных отображений, само есть непрерывное отображение Но в силу свойств стандартной нормы в прямом произведении норми- рованных пространств (см.
Ц1, п.2, пример 6) и определения нормы оператора получаем,что 14. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ компакта Х в К. По такое отображение обязано быть ограниченным. Пусть М вЂ” такая постоянная, что в любой точке х Е Х имеет место неравенство Ц'(х) [[ < М. Ввиду выпуклости Х вместе с любыми двумя точками х1 Е К, хз Е К компакт Х содержит и весь отрезок [хм хз]. Применяя к этому отрезку теорему о конечном приращении, немедленно получаем соотношение (10).
~ь Ъ'тверждение 2. В условиях утверждения 1 существует такая неотрицательная стремящаяся к нулю при б -+ +О функция ы(б), что имеет место соотношение Щх+ Ь) — 1(х) — 1'(х)Ь/ < ы(б)[Ь[, справедливое в любой точке х е К при [Ь[ < б, если х + Ь Е К. ~ В силу следствия теоремы о конечном приращении можно записать, что У(х+ ") — У(х) — У'(х)Ь! < впр [[У'(х+ оЬ) — ('(х) ~~ [Ь[ о<в<1 н, полагая й1лрек — И<6 получаем (11) ввиду равномерной непрерывности функции х ~-г ~'(х), непрерывной на компакте К.
> Ь. Достаточное условие дифференцируемости. Покажем теперь, как, располагая общей теоремой о конечном приращении, можно в общем виде получить достаточное условие дифференцируемости отображений в терминах частных производных. Теорема 2. Пусгпь У вЂ” окрестность точки х нормированного пространства Х = Х1 х ... х Х, являющегося прямым произведением нормированных пространств Х1 х ... х Х,„, и пусть 1: У -+ У— отображение У в нормированное пространство У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
