Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для определенности рассмотрим случай, когда ~(~>(х)Ь~ > б > О при )Ь~ = 1. Тогда — ~~~>(х) — + а(Ь) /Ь~~ > — б + а(Ь) /Ь!~, я, поскольку а(Ь) -+ О при Ь вЂ” + О, последний член неравенства положителен для всех достаточно близких к нулю векторов Ь ф О. Таким образом, для всех таких векторов Ь у(х+ Ь) — 1(х) > О, т.е. х — точка строгого локального минимума.
Аналогично проверяется достаточное условие строгого локального максимума. ° Замечание 1. Если пространство Х конечномерно, то единичная сфера Я(х,1) с центром в точке х Е Х, являясь ограниченным замкнутым множеством в Х, компактна. Тогда непрерывная функция 108 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Замечание 2. Как мы видели на примере функций У: К' -+ К, указанная в необходимых условиях экстремума полуопределенность формы ~~~~(х)Ь~ еще не является достаточным признаком экстремума. Замечание 3.
На практике при исследовании экстремумов дифференцируемых функций обычно пользуются только первым или первым и вторым дифференциалами. Если по смыслу исследуемой задачи единственность и характер экстремума очевидны, то при отыскании экстремума можно ограничиться первым дифференциалом, найдя ту точку х, где 1'(х) = О. 3. Некоторые примеры. Пример 1. Пусть |, е С(ц(Кз, К), а у е С<Ц([а, Ь], К). Иными словами (и1,из,из) ~-1 Ци1,из,из) — определенная в Кз непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция, а х ~-1 ~(х) — гладкая вещественнозначная функция, определенная на отрезке (а, 6] с К.
Рассмотрим функцию Р: С~ц((а,Ь],К) — 1 К, (2) задаваемую соотношением С~ ~((а,Ь],К) Э.1 ~-1 г'(у) = Х(х,у(х),у~(х))сЬ Н К. (3) Таким образом, (2) есть вещественноэначный функционал, определенный на множестве функций 1 Н С(ц((а, Ь], К). В физике и механике известны фундаментальные вариационные принципы, связанные с движением. Согласно этим принципам истин- (Ь-форма) ~~я~(х)Ь" = ди,, У(х)Ь" ... Ь'" имеет на Я(х,1) как максимальное значение, так и минимальное значение. Если зти значения разных знаков, то экстремума в точке х функция у не имеет. Если же эти значения одного знака,то,как было показано в теореме 2, экстремум есть. В последнем случае достаточное условие экстремума, очевидно, можно высказать в виде эквивалентного ему требования определенности (положительной или отрицательной) формы ~(~~(х)Ь~.
Именно в таком виде оно нам уже встречалось при рассмотрении вещественнозначных функций в К". зб. ФОРмУлА тейлОРА и исслеДОВАние экстРемУмОВ 109 Р1 . С<О((а, Ь1, 1к) -+ С((а, Ь1, 1к), задаваемого формулой Р1(у)(х) = Цх, Цх),7"'(х)), (5) и последующего отображения С([а,Ь),К) Э д + Рз(д) = д(х)дх Е 2. а (б) Отображение Рз в силу свойств интеграла, очевидно, линейное и непрерывное, таким образом, с его дифференцируемостью вопрос ясен. Покажем, что отображение Р1 тоже дифференцируемо, причем Р1(~)Ь(х) = дзА(х, ~(х), ~'(х))6(х) + дзй(х,,('(х), ~'(х))6'(х) (7) при 6 а С~О((а,Ь];К).
Действительно, в силу следствия из теоремы о конечном прираще- ные движения среди всех мыслимых выделяются тем, что они совершаются по траекториям, вдоль которых те или иные функционалы имеют экстремум. Вопросы, связанные с экстремумами функционалов,- центральные в теории оптимального управления. Таким образом, отыскание и исследование экстремумов функционалов является важной самостоятельной задачей, теории которой посвящен обширный раздел анализа — вариационное исчисление. Мы уже кое-что сделали для того, чтобы переход от анализа экстремумов числовых функций к отысканию и исследованию экстремумов функционалов был для читателя естественным.
Однако мы не будем углубляться в специальные вопросы вариационного исчисления и проиллюстрируем на примере функционала (3) лишь рассмотренные выше общие идеи дифференцирования в исследования локальных экстремумов. Покажем, что функционал (3) является дифференцируемым отображением и найдем его дифференциал.
Заметим, что функцию (3) можно рассматривать как композицию отображения ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 110 нии в нашем случае можно записать, что ~Ци1 + ~1 и2 + ~2 из + ~3) й(и1 и2 из) 3 — д,й(и~,и~,и~)>)'[< зпр [[(д1й(и+ВЬ) — д1Ци), О<3<1 д2й(и+ В>2) — д2й(и), дзЦи+ ОЬ) — дзЦи))[[ ° [>л[ < < 3 шах [д,й(и+Ои) — д,й(и)[ шах [1.'1'[, (8) *=>лл где и (и1 и2 из) и 11 (,л1 132 133) Если теперь вспомнить, что в С(1)([а, Ь], )к) норма ЩС1>1 функции у есть шах(]Дс, [у>]с) (где ]у [с есть максимум модуля функции на отрезке [а, Ь]), то> полагая и1 = х, и2 = Дх)> из = ~>(х)> 131 = О, 1л2 = Ь(х) и Ьз = Ь'(х), из неравенства (8), учитывая равномерную непрерывность функций д,й(и1,из,из), г = 1,2,3, на ограниченных подмножествах >аз> получаем п1ах [Цх, 1(х) + Ь(х), ~'(х) + Ь'(х)) — й(х, 1 (х), у>(х))— а(х(ь — д2й(х, ~(х),~'(х))Ь(х) — дзй(х, ~(х), ~'(х))Ь'(х)[ = = о([Ь] Л,1) при [Ь[,1>1 — + О.
Но это и означает, что имеет место равенство (7). В силу теоремы о дифференцировании композиции отображений теперь заключаем, что функционал (3) действительно дифференцируем и Р®Ь = (дзй(х, Дх), ~'(х))Ь(х) + дзй(х, ('(х), ~'(х))Ь'(х)) дх. (9) а Часто рассматривается ограничение функционала (3) на аффинное пространство тех функций (' Е С(1)([а, Ь], )к), которые на концах отрезка [а, Ь] принимают фиксированные значения ~(а) = А, 1(Ь) = В.
В этом случае функции Ь из касательного пространства ТС должны на кон- (1) цах отрезка [а, Ь] иметь нулевые значения. Учитывая это, равенство (9) интегрированием по частям в рассматриваемом случае, очевидно, мож- 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 111 но привести к виду Р~ЯЬ = (ОгЦх, 1(х), ~~(х)) — — дзй(х, ~(х), ~~(х))Ь(х) дх, (10) а дзЦх, ((х), ~~(х)) — — Ьз| (х, ~(х), ~~(х)) = О. Это частный вид уравнения, именуемого в вариационном исчислении уравнением Эйлера — Лаераижа.
Рассмотрим теперь конкретные примеры. Пример 2. Задача о кратчайшей. Среди кривых, лежащих в плоскости и соединяющих две фиксированные ее точки, найти ту кривую, которая имеет минимальную длину. Ответ в данном случае очевиден, и он скорее послужит контролем над следующими формальными выкладками. Будем считать, что в плоскости фиксирована декартова система координат, в которой указанными точками являются, например, точки (0,0) и (1, О). Мы ограничимся рассмотрением только тех кривых, которые являются графиками функций 1 и с1Ц((0, 1], к), принимающих на концах отрезка (О, 1) нулевые значения. Длина такой кривой 1 Г(У) = 1+ (У )~(х) д~ в (12) зависит от функции 1 и является функционалом рассмотренного в при- мере 1 типа. В данном случае функция Х, имеет вид разумеется, уже в предположении, что Ь и 1' принадлежат соответствующему классу С(~~.
В частности, если 1 — точка экстремума (зкстремаль) такого функционала, то, согласно теореме 2, Р'(1)Ь = 0 при любой функции Ь Е Е С(11([а, Ь), К) такой, что Ь(а) = Ь(Ь) = О. Отсюда и из (10) нетрудно заключить (см. задачу 3), что функция 1 должна удовлетворять урав- нению ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 112 поэтому необходимое условие экстремума (11) здесь сводится к урав- нению Г(х) *1ГЖс21 )) из которого следует, что на отрезке [О, 1) (13) = сопв1. /Г+ (у')2(х) Поскольку функция "— = нигде не постоянна, то (13) возможно чс лишь при условии, что ~'(х) = сопв1 на [а,б].
Таким образом, гладкая экстремаль нашей задачи должна быть линейной функцией, график которой проходит через точки (О, 0), (1, 0). Отсюда следует, что )'(х) г— е О, и мы приходим к отрезку прямой, соединяющему две заданные точки. Пример 3. Задача о кривой скорейшего спуска. Эта классическая, поставленная в 1696 г. Иоганном (первым) Бернулли, задача о брахистохроне состоит в отыскании формы желоба, вдоль которого материальная частица под действием силы тяжести за кратчайшее время переходит из заданной точки Ро в другую фиксированную точку Р1, расположенную на более низком уровне. Трением, разумеется, мы пренебрегаем.
Кроме того, будем считать, что тривиальный случай, когда обе точки находятся на одной вертикали, исключен из дальнейшего рассмотрения. В вертикальной плоскости, проходящей через точки Ро, Р1, введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка Рд была ее началом, ось абсцисс была направлена вертикально вниз, а точка Р1 имела положительные координаты (х1, у1), Форму желоба будем искать только среди графиков, заданных на отрезке [О, х1) гладких функций, удовлетворяющих условиям 1 (О) = О, у (х1) = у1.
Па исследовании этого отнюдь не бесспорного предположения мы пока не останавливаемся (см. задачу 4). Бсли частица начинала свое движение из точки Рв с нулевой скоростью, то закон изменения величины ее скорости в выбранной системе координат запишется в виде (14) 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 113 Вспоминая, что дифференциал длины дуги вычисляется по формуле и = /и*Я -ж'= А~-оз( )~ (15) найдем время Х1 7г(у) 1 / 1 + У ) (х) ~/2д,/ х (1б) 1 2 3) 1+(ц) и1 позтому необходимое условие зкстремума (11) в данном случае сводит- ся к уравнению и ~ )(х) " Ьяг=оРю) из которого следует, что 7'(х) ~А ~- ~УРИ (17) где с — отличная от нуля постоянная (точки не лежат на одной вертикали!). С учетом (15) уравнение (17) можно переписать в виде ду — = съ7х.
~Ь (18) Однако с геометрической точки зрения (Ь ду — = сов <р, — = з1п1о, (19) Ыз сЬ где ~р — угол между касательной к траектории и положительным направлением оси абсцисс. Сравнивая уравнение (18) со вторым из уравнений (19), находим 1 ° 2 х= — з1п р, с~ (20) движения вдоль траектории, заданной графиком функции у = 7'(х) на отрезке [О, х1). Для функционала (16) ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
