Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 25
Текст из файла (страница 25)
>х~~,уо1,...,уо) определитель др> дР> дуг - Зу= дР» дуг ду > матрицы Р' отличен от нуля, то найдутся окрестность с>' точки хо = у = (хо1,..., хо~) в К~, окрестность У точки уо = (уо,..., уо) в К" и отображение у: У -+ У, имеющее в данном случае координатное предста- 1 7. ОБщАя теОРемА О неяВнОЙ Функции 125 вление у1( 1 ха) (12) С Р'(х',..., х~, у1,...,у") = О, Р" (х',..., х~, у',..., у") = О равносильна функциональной зависимости 1: У вЂ” + Г, выраженной равенствами (12); 2') у» = 1'1(хе1,...,х~~), у" = ~" (х1 х™). 3') отображение (12) непрерывно в точке (ход,..., х™е, ус~,..., уе ).
Если же, сверх того, известно, что отображение (11) принадлежит классу гладкости СОО, то, как следует из приведенного выше утверждения, отображение (12) также будет принадлежать классу С("), разумеется, в соответствующей своей области определения. Формула (9) в рассматриваемом случае конкретизируется, превращаясь в матричное равенство дР' дР1 дат ''' др" д1 а1' дх ''' дх'~ д1" д~" дни ддч д1, в котором левая часть вычисляется в точке (х1,..., х~), а правая — в соответствующей точке (х1,...,х~,у1,..., у"), где у' = 1'(х1,...,х"'), 1= 1,...,п. Если и = 1, т.е.
когда решается относительно у уравнение Р(х~,...,х~,у) = О, матрица Р„' состоит из одного элемента --числа о (х1,...,х,у). В этом случае у = Д(х1,..., х™) и дх1' '' дх~з ду дх1''''' дх'а в уа(х1 .т) такие, что: 1') в пРеДелах окРестности У х Ъ' точки (х~о,...,хд, Уе~,...,Уе') Е е Е'д х К" система уравнений 126 ГЛ.
Х, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Формула (10) в атом случае также несколько упрощается, точнее, может быть переписана в следующем более симметричном виде: Если же и п = 1, и гп = 1, то у = )'(х) есть вещественнозначная функция одного числового аргумента, и формулы (13), (14) предельно упрощаются, превращаясь в знакомые числовые равенства У'(х) = — ф(х, у), (фь +Рв Уг)РР (Ро Рв Ую)РЯ для первых двух производных неявной функции, задаваемой уравнением Р(х, у) = О. Задачи и упражнения 1. а) Предположим, что наряду с указанной в теореме функцией у: У -~ У нашлась функция 1; Π— ~ У, определенная в некоторой окрестности О точки хо и удовлетворяющая условиям уа = у(ха) и Г(х, 1(х)) = 0 в О. Докажите, что если 1 непРеРывна в хш то в некотоРой окРестности точки ха фУнкЦии У и 1 совпадают.
Ь) Покажите, что без предположения о непрерывности у в ха утверждение а, вообще говоря, неверно. 2. Проанализируйте еще раз доказательство теоремы о неявной функции н дополнений к ней и покажите, что: а) Если з = Р(х,у) непрерывно дифференцируемая комплекснозначная функция комплексных переменных х, р, то определяемая уравнением Р*(х, у) = = 0 неявная функция у = 1(х) будет дифференцируемой по комплексному переменному х. Ь) В условиях теоремы пространство Х не обязано быть нормированным, а может быть любым топологическим пространством.
3. а) Выясните, симметрична ли форма ~а(х)(йы йя), заданная соотношением (10). Ь) Запишите в матричном виде формы (9) и (10) для случая числовых функций Е(х', хз, р) и Е(х, р~, рз). с) Покажите, что если К Э 1 ~-+ А(1) Е ь(К"; Н") есть бесконечно гладко зависящее от параметра 1 семейство невырожденных матриц А(1), то — =2А ( — А ~ — А — А, где А =А (1) с(аА ', ИА,'~ ~12А а (,а Йз е 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 127 — символ матрицы, обратной к матрице А = А(1). 4.
а) Покажите, что дополнение 1 к теореме является прямым следствием условий устойчивости неподвижной точки семейства сжимающих отображений, рассмотренных в 2 7 главы 1Х. Ь) Пусть (Аг.. Х вЂ” г Х) . -семейство сжимающих отображений полного нормированного пространства Х в себя, зависящих от параметра 1, который изменяется в области П нормированного пространства Т. Покажите, что если А~(х) = ~р(с,х) является функцией класса СОО(П х Х,Х), то неподвижная точка х(1) отображения Аг как функция 1 принадлежит классу СОЯ(П, Х).
5. а) Опираясь на теорему о неявной функции, докажите следуюпп ю теорему об обратном отображении. Пусть д: С + Х вЂ” отображение окрестности С точки до полного нормированного пространства У в нормированное пространство Х. Если отображение х = д(у) 1' дифференцируемо в С, 2' д'(д) непрерывно в до, 3' д'(уо) обратимый оператор, то найдутся окрестность У С У точки до в У и окрестность 77 С Х точки хо в Х такие, что д: У -+ 77 биективно, а обратное к нему отображение 7:  — ~ У непрерывно в 17 и дифференцируемо в хо, причем У'(хо) = (д'(доИ '.
Ь) Покажите, что если сверх приведенных в а) условий известно, что отображение д принадлежит классу СОВ(У„(7), то обратное отображение 7' принадлежит классу СЬО(77, У). с) Пусть 7': К" — г К" гладкое отображение, у которого в любой точке х Б К" матрица 7'(х) невырождена и удовлетворяет неравенству О(7') '(х) ~~ > > С > О с константой С, не зависящей от х. Покажите, что 7" — биективное отображение. й) Используя опыт решения задачи с), попробуйте дать некоторую оценку радиуса той шаровой окрестности 77 = В(хо, г) точки хо, в которой заведомо определено рассматриваемое в теореме об обратной функции отображение 7': 77 — г У.
6. а) Покажите, что если линейные отображения А Б ь(Х; У) и В Б Б ь(Х;К) таковы, что йегА С 1гегВ (1гег, как обычно, символ, обозначающий ядро оператора), то найдется такое линейное отображение Л Б ь(У; К), что В = Л А. Ь) Пусть Х и У- .нормированные пространства, а 7: Х вЂ” г К и д: Х вЂ” г -+ У вЂ” гладкие функции на Х со значениями в К и У соответственно.
Пусть э" — гладкая поверхность, задаваемая в Х уравнением д(х) = до. Покажите, что если хо Б 5--точка экстремума функции Дл, то любой вектор А, касательный к 5 в точке хо, одновременно удовлетворяет двум условиям: /'(хо)Ь = О и д'(хо) 6 = О. 128 ГЛ, Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ с) Докажите, что если хв е Я точка экстремума функции Дя, то у" (хв) = = Л д'(хв), где Л Е ь(У; К).
о) Покажите, как из предыдущего результата получается классический необходимый признак Лагранжа условного экстремума функции на гладкой поверхности в К". Т. Как известно, уравнение х" + сел" е+... + с„= 0 с комплексными коэффициентами имеет, вообще говоря, и различных комплексных корней. Покажите, что корни уравнения гладко зависят от его коэффициентов, по крайней мере, пока все корни различны. ГЛАВА Х1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 21. Интеграл Римана на гь-мерном промежутке 1.
Определение интеграла а. Промежуток в К" и его мера Определение 1. Множество 1 = (х Е К" | а, < х, < Ь„г = = 1,...,п1 называется промежутком или координатным пара елепипедом в Кп Если желают отметить, что промежуток определяется точками а = = (аг,...,а") и Ь = (Ьг,...,Ь"), то его часто обозначают символом 1, ь или, по аналогии с одномерным случаем, записывают в виде а < х < Ь. Определение 2.
Промежутку 1 = (х Е К" | а' < х' < Ь', г = = 1,..., п1 ставится в соответствие число |1|:= П (Ь' — а'), называемое объемом или мерой промежутка. Объем (меру) промежутка 1 обозначают также символами с(1) или д(1). Лемма 1. Мера промежутка е К" а) однородна, т. е, если Л1, ь ..= 1А ль, где Л > О, то |Л1,,ь| = Л" |1,,ь!; Ь) аддитиена, т. е. если промежутки 1,1г,...,1ь такоеы, что 1 = ь = Ц 1, и промежутки 1г,..., 1ь попарно не имеют общих енутренних г=г 1ЗО ГЛ.
Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ точек, то Щ = 2 )1,); ~ =-1 с) если промежуток 1 покрыт конечной системой промежутков 11,..., 1ю т. е. 1 с () 1„то (1( < 2 (1,!. Все эти утверждения легко вытекают из определений 1 и 2. Ь. Разбиение промежутка и база в множестве разбиений. Пусть задан промежуток 1 = (х Е К" ~ а' < х' < Ь', 1 = 1,..., п).
Разбиения координатных отрезков [а', 1г], 1 = 1,..., и, индуцируют разбиение промежутка 1 на более мелкие промежутки, получающиеся прямым произведением промежутков разбиения указанных координатных отрезков. Определение 3. Описанное представление промежутка 1 (в виде ь объединения 1 = О 11 более мелких промежутков 1 ) будем называть =1 разбиением промежутка 1 и обозначать символом Р.
Определение 4. Величина Л(Р):= п1ах п(1 ) (максимельного из 1(1Е(Л диаметров промежутков разбиения Р) называется параметром разбиения Р. Определение 5. Если в каждом промежутке 1 разбиения Р фиксирована некоторая точка ~ Е 1, то говорят, что имеется разбиение с отмеченными точками. Набор (~1,...,Я, как и прежде, будем обозначать одним символом с, а разбиение с отмеченными точками — символом (Р, с). В множестве Р = ((Р, ~)) разбиений с отмеченными точками промежутка 1 вводится база Л(Р) — 1 О, элементы Вл (о ) 0) которой, как и в одномерном случае, определяются соотношением Ве .= ((Р, с) е 'Р ~ Л(Р) < й).
То, что В = (Вя) — действительно база, следует из существования разбиений с параметром Л(Р), сколь угодно близким к нулю. с. Интегральная сумма и интеграл. Пусть 1 — 1 К- — веществен- нозначнаяН функция на промежутке 1, а Р = (11,..., 11,) — разбиение '10братите внимание на то, что в последующих определениях можно было бы считать, что значения 1 лежат в любом линейном нормированном пространстве. Например, зто могут быть пространство С комплексных чисел, пространства К~, С'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
