Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 24
Текст из файла (страница 24)
По условию 4 отображение Р„'(0,0): У -+ Я имеет непрерывное обратное отображение (Р„'(О, 0)) 1: Я вЂ” ~ У. Значит, композиция (Р„'(0,0)) 1 Р(х,д) действительно определена и ее значения лежат в пространстве У. Итак, при любом х из а-окрестности Вх(0, а):= (х Е Х ~ )х~ < а) точки 0 Е Х д есть отображение д: Ву(О,В) — ~ У В-окрестности Ву(О, ~3):= (д Е У ! (р) < Я точки 0 Е У в пространство У. Связь отображений (1) с задачей разрешения относительно переменной у уравнения Р(х, д) = 0 состоит, очевидно, в том, что точка д, является неподвижной точкой отображения д тогда и только тогда, когда Р(х,ух) = О.
Зафиксируем зто важное наблюдение: (2) Таким образом, отыскание и исследование неявно заданной функции у = д = 1(х) сводится к отысканию неподвижных точек отображений (1) и исследованию их зависимости от параметра х. 3' Покажем, что существует положительное число у < ппп(о,13) такое, что при любом х Е Х, удовлетворяющем условию ~х~ < у < а, отображение д: Ву(О, у) — + У шара Ву(0, у):= (р Е У ) )у( < у < Я в У является сжимающим отображением с коэффициентом сжатия, не превосходящим, например, числа 1/2.
Действительно,при любом фиксированном х Е Вл(О,с~) отображение д: Ву(0,~3) — + У дифференцируемо, что следует из условия 3 и теоремы о дифференцировании композиции отображений, причем д'.(р) = еу — (Р„'(0,0)) . (Р„'(х,у)) = = (Р„'(0,0)) 1(Р„'(0,0) — Р„'(х,у)). (3) ~ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 119 В силу непрерывности Р„'(х, д) в точке (0,0) (условие 3) найдется такая окрестность ((х,д) Е Х х у ) )х( < Т < а Л (у( < Т < В) точки (О, 0) Е Х к 1, в которой Цд' (у)Ц < Ц(Р„'(0,0)) 1Ц ЦР„'(0,0) — Р,',(х,д)Ц < —. (4) 1 Здесь мы пользуемся тем, что (Р„'(О, 0)) 1 Е А".(Е; У), т.
е. тем, что Ц(Р„'(0,0)) 'Ц < Всюду дальше будем считать, что ~х( < у и ~у( < у, поэтому имеет место оценка (4). Таким образом, при любом х Е Вг(0, у) и любых ум уз Е ВУ(0, у) по теореме о конечном приращении мы действительно получаем теперь, что 1 /д.(у1) — д (дз)! < япр Цд'(С)Ц /у1 — уз! < — /д1 — дз/. (5) 4е)ю,уз[ 4' Для того, чтобы утверждать существование неподвижной точки у отображения д, нам надо иметь такое полное метрическое пространство, которое при этом отображении переходит в себя (быть может, и не на себя), Проверим, что для любого числа е, удовлетворяющего условиям 0 < е < у, найдется такое число б = б(е) из интервала )О, у(, что при любом х е Е Вх(0, б) отобРажение дя пРеобРазУет замкнУтый шаР Ву(0, с) в себя, т.
е. д (Вг(0, е)) С Ву(0, е). Действительно, сначала по е подберем число д Е]0,.~( так, чтобы при (х! < б иметь /д, (0)/ = /(Р„'(0,0)) 1 Р(х,О)! < Щ(0,0)) ~Ц !Р(х,О)) < — е. (6) Это можно сделать благодаря условиям 1 и 2, в силу которых Р(О, 0) = 0 и Р(х, д) непрерывно в точке (О, 0). Если теперь |х! < д(е) < у и )у( < с < у, то из (5) и (6) получаем 1 1 /д (д)/ < !д (у) — д (0)/ + !д,(0)/ < -!д! + -е < с, и, значит, при ф < е(с) д (В, (О, е)) С Ву(0, с).
120 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Как замкнутое подмножество полного метрического пространства У замкнутый шар Ву(0, е) сам является полным метрическим пространством. 5' Сопоставляя соотношения (5) и (7), на основании принципа неподвижной точки (см. гл. 1Х, 37) теперь можно утверждать, что при каждом х б В,(0,6(е)) =: У найдется единственная точка р = у =: 7" (х) Е Ву(0, е) =: У, которая является неподвижной точкой отображения дь: Ву(0, е) -+ Ву(0, е). В силу основного соотношения (2) отсюда следует, что так построенная функция 1: У -+ У уже обладает свойством 2', а значит, и свойством 3', поскольку Р(0, 0) = 0 по условию 1. Свойство 1' окрестностей В' и У следует из того, что по построению (7 х У С Вх(0, а) х Ву(0, ~В) = И~.
Наконец, непрерывность функции у = 7'(х) в точке х = О, т.е. свойство 4', следует из 2' и того, что, как было показано в п.4' доказательства, для любого числа е > 0 (е < у) найдется такое число Ю(е) > 0 (6(е) < у), что при любом х Е Вх(О,б(е)) выполнено дь(Ву(0, е)) С Ву(0, е), т. е. единственная неподвижная точка р = 1(х) отображения д,: Ву(О,е) -+ Ву(0, е) при ф < б(е) удовлетворяет условию 0'(х)! < е. И Мы доказали теорему существования неявной функции. Сделаем теперь ряд дополнений о свойствах этой функции, порождаемых свойствами исходной функции Р. Дополнение 1 (о непрерывности неявной функции).
Если в дополнение к условиям 2, 3 теоремы известно, что отображения Р: 1У вЂ” ~ Я и Р„' непрерывны не только в точке (хо,до), но и в некоторой ее окрестности, то найденная функция у: У вЂ” + У будет непрерывна не только в точке хо б (7, но и в некоторой ее окрестности. ~ Из условий 3 и 4 теоремы на основании свойств отображения х,(У;Я) Э А + А ' Н х,(Я;У) (см.
пример 6 из 23) заключаем, что в каждой точке (х, у) некоторой окрестности точки (хе,уо) оператор ~„'(х, у) Е ь(У'; Я) является обратимым. Таким образом, при наличии сделанного дополнительного предположения о непрерывности Р все точки (х,у) вида (х,у(х)) из некоторой окрестности точки (хо,ув) удовлетворяют условиям 1 — 4, которым раньше удовлетворяла только точка (хо,дв) О 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 121 Повторив построение неявной функции в окрестности любой из этих точек (х, 1г), мы получили бы функцию у =,1 (х) непрерывную в х и в силу 2' совпадающую с функцией у = 1 (х) в некоторой окрестности точки х.
Но это и означает, что функция 1 непрерывна в х. ~ Дополнение 2 (о дифференцируемости неявной функции), Если в дополнение к условиям тпеоремы известно, что в окрестностпи тг" точки (хшуо) суигествует также частная производная Р(х,у), непрерывная в точке (хо, уо), то функция у = У(х) дифферениируема в тпочке хо, причем ,т (хо) = (Рв(хо)УО)) ' (Ря(хо1уо)) (8) < Проверим непосредственно, что линейный оператор Ь е Е(Х; У), стоящий в правой части формулы (8), действительно является дифференциалом функции у = 1(х) в точке хо. Как и прежде, для упрощения записи будем считать, что хо = 0 и ув = О, поэтому у(0) = О. Проведем сначала предварительный подсчет !1(х) — )'(0) — л х! = !Дх) — л'х! = = $у(х) + ((Рв(0,0)) (Рх(О,О))х! = = /(Рр(0,0)) (Р'(0,0)х+ Рг (0,0)у(х))! = = !(Р„'(О, 0)) 1(Р(х, 1".(х)) — Р(0, 0) — Р'(О, 0)х — Р„'(О, 0)~(х))! < < !!(Р„'(0,0)Г'!! !(Р(х, У(х)) — Р(0,0) — Р.'(0,0)х — РО(0,0)У(х))! < < !!(Рв(0,0)) !! .
сг(х, г(х))(!х! + !у(х)!), где о(х, у) — + 0 при (х, у) -+ (О, 0). Эти соотношения написаны с учетом того, что Р(х,1(х)) =— О, и того,что непрерывность частных производных отображений Р', Р„' в точке (0,0) обеспечивает дифференцируемость функции Р(х,у) в этой точке. Положим для удобства записи а:= !!л )! и Ь:= !!(Р„'(О, 0) Учитывая, что !1'(х)! = !,г'(х) — г х + Йх! < ! 1'(х) — ьх! + !г х! < !1(х) — йх! + а!х), проведенную выше предварительную выкладку можно продолжить и получить,что ! г'(х) — ьх! < Ьо(х, 1" (х))((а + 1)!х! + !1(х) — Ьх!), 122 ГЛ, Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ или )Дх) — Ьх) ( а(х, )'(х))(х!. (а + 1)Ь Ввиду непрерывности )' в точке х = 0 и того, что у(0) = О, при х — ~ 0 также у (х) -+ О, поэтому а(х, у(х)) -+ 0 при х -+ О.
Значит, из последнего неравенства следует, что )~(х) — 1(0) — Ьх! = (~(х) — бх! = о()х() при х + О. в. Дополнение 3 (о непрерывной диффереицируемости неявной фуякции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности И' точки (хв, уо) существуют и непрерывны частные производные отображения Р', Р„', то в некоторой окрестности точки хо функция у = з (х) непрерывно дифференцируема и ее производное отображение вычисляется по формуле у'(х) = — (Р„'(х, у (х))) (Р (х, у(х))). (9) ~ То, что в индивидуальной точке х, в которой оператор Р„'(х, у'(х)) обратим, производное отображение у'(х) существует и выражается в виде (9), иам уже известно из формулы (8). Остается проверить, что при сделанных предположениях функция ,)'(х) непрерывна в некоторой окрестности точки х = хо.
Билинейная функция (А, В) ~+ А  — произведение линейных операторов А,  — является непрерывной функцией. Оператор В = — Р'(х, у(х)) непрерывно зависит от х как композиция непрерывных функций х > (х, у(х)) > — Р (х, у(х)). То же самое можно сказать о линейном операторе А 1 = Р„'(х, )'(х)). Остается вспомнить (см. пример б из 9 3), что отображение А 1 + А также непрерывно в области своего определения. Таким образом, задаваемая формулой (9) функция у'(х) непрерывна в некоторой окрестности точки х = хв как композиция непрерывных функций. > Теперь мы можем подвести итог и сформулировать следующее общее 'Утверждение.
Если в дополнение к условиям теоремы о неявной функции известно, что функция Р принадлежит классу СОО(И~,Я), 17. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 123 тв определяемая уравнением Р(х,у) = 0 неявная 4ункцпя у = 1(х) яринадлежит классу С(") Я, У) в некоторой окрестности П точки хв. ~ При Ь = 0 и Ь = 1 утверждение уже доказано.
Общий случай может теперь быть получен по индукции из формулы (9), если заметить, что отображение с.(У;л) 3 А 1 А 1 Н С(л;У) (бесконечно) дяфференцируемо и что при дифференцировании равенства (9) правая часть всегда содержит производные от ) на один порядок более низкие, чем левая часть. Таким образом, последовательное дифференцирование равенства (9) возможно столько раз, каков порядок гладкости функции Р. ~ В частности, если 1'(х) 61 — — — (Р„'(х, Дх))) " ° (Р (х, 1 (х)))61, то (х)(61, Ьг) = — с((Рв(х, Дх))) 62Ря(х, ~(х))61— (Рв(х У(х))Г14Р (х У(х))61)62 = (Рц(х, )'(х))) 'с(Р„'(х, ~(х))62(Р„'(х, Дх))) 1Р,'(х, )(х))61— — (Ря(х,1(х))) ((Р„(х, 1(х)) + Рея(х, )(х)) )' (х))61)62 = (Ря(х~У(х))) ИРвх(х,1(х)) + Р„"„(х,1(х))1"(х))62) к х (Р„'(х, Ях))) 'Рх(х, )(х))61 — (Р„'(х,~(х))) 1 х х ((Р",(х, ~(х)) + Р"„(х, ~(х))~'(х))61)62.
В менее подробной, но более обозримой записи зто означает, что 1 "(х)(61,62) = (Рв) '(((Ря', + Р„"„~')Ьг)(Ря) 'Р'Ь,— — ((Р.. + ~„И61)62) (10) Так можно было бы в принципе получить выражение для производной любого порядка от неявной функции, однако, как видно уже вз формулы (10), зти выражения в общем случае слишком громоздки, чтобы быть удобными в употреблении. Посмотрим теперь, как конкретизируются полученные результаты в важнейшем частном случае, когда Х = Кт, У = К", Я = К". ГЛ. Х.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 124 В этом случае отображение х = Р(х, у) имеет координатное представление Р1(х1,..., х>о, у,..., у"), и Рп(, 1 .>>> 1») Частные производные отображения Р' Е х".(К»>; К"), Р,', Е х.(К."; К") задаются матрицами дР> дР> (ъ Р> дР» дхг ''' дх вычисленными в соответствующей точке (х, у). Непрерывность Р' и Р„', как нам известно, равносильна непрерывности всех элементов указанных матриц. Обратимость линейного преобразования Р„'(хо, уо) Е х".(К»; К") равносильна невырожденности матрицы, задающей это преобразование. Таким образом, в рассматриваемом случае теорема о неявной функции утверждает, что если 1) Р (хо> хо™ уо уо) = о Р (хо .. о™ уо уо) =о' 2) Р'(х,...,х,у,...,у"), г = 1,...,и, — функции, непрерывные в 3) все частные производные ~~ (х1,...,х™, у1,...,у"), г = 1,...,и, 1 = 1,..., и, определены в окрестности точки (хо1,..., х>о», уо1,..., Уо) и непрерывны в самой этой точке; 4) в точке (х~1,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
