Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 114 По из (19) и (20) следует, что Йу Йу Йх Йх Й /зш гр'1 вш гр — = — — =13 р — =13р — ~ ~ =г Йгр Йх Йгр Йгр Йгр 1 сз ) сз откуда находим 2 у = — (2р — згп2р) + Ь. с~ (21) Полагая 2/св =: а и 2гр =: 1, запишем соотношения (20) и (21) в виде х = а(1 — соз1), у = а(1 — згп 1) + Ь. (22) Поскольку а ф О, то х = 0 лишь при 1 = 2Ьг, Ь е У. Иэ вида функций (22) следует, что без ограничения общности можно считать, что точке Ре = (0,0) отвечает значение 1 = 0 параметра 1. В этом случае Ь = О, и мы приходим к более простой форме х = а(1 — соз 1), у = а(1 — згп1) (23) параметрического задания искомой кривой.
Таким образом, брахистохроной является циклоида, имеющая в исходной точке Рз точку возврата с вертикальной касательной. Постоянная а, коэффициент гомотетии, должна быть подобрана так, чтобы кривая (23) прошла также через точку Р1. Такой выбор, как можно заметить, нарисовав кривую (23), вовсе не всегда является однозначньпи, и это свидетельствует о том, что необходимое условие экстремума (11), вообще говоря, не является достаточным.
Иэ физических соображений, однако, ясно, какому из возможных значений параметра а следует отдать предпочтение (что, впрочем, можно подтвердить и прямым вычислением) . Задачи и упражнения 1. Пусть 1': У вЂ” 1 У вЂ” отображение класса СЬО(У; У) открытого подмножества У нормированного пространства Х в нормированное пространство У. Пусть отрезок [х, х+ Ь) полностью содержится в У, и в точках интервала ]х, т, + Ь[ функция 1 имеет дифференциал (о + 1)-го порядка, причем [[У~" ьО(~)[~ ( М в любой точке С е)х,х+ Ь[. 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 116 а) Покажите, что функция д(1) = у(х + 1Ь) — (1(х) + 1~(х)(5Ь) +... + —,1("1(х)(5Ь)") определена на отрезке [О, 1! С 2, дифференцируема на интервале )О, 1[ и при любом 1 6)0, 1[ справедлива оценка Ь) Покажите, что [д(1) — д(0)! < ( — — ~~М[Ь! "4 ~. с) Докажите следующую формулу Тейлора: 41) Что можно сказать об отображении 1: С -+ У, если известно, что ,(~" 50(х) ив а О в С? 2.
а) Если п-линейный симметрический оператор А таков, что Ах" = 0 для любого вектора х Е Х, то А(хю..., х„) = О, т. е, оператор А равен нулю на любом наборе хю ..,, х„векторов из Х. Ь) Если отображение у; С -+ 1' имеет в точке х Е С п-й дифференциал 1(")(х) и удовлетворяет условию У(х+ Ь) = Те + Ь„Ь+...
+ —,Т,„Ь" + о(Ь) [Ь!", где Ь„5 = 0,1,..., п суть 5члинейные операторы, а о(Ь) -+ 0 при Ь -+ О, то Ь, = 1(0(х), 5 = О, 1,..., и. с) Покажите, что из наличия приведенного в предыдущей задаче разложения функции у', вообще говоря, еще не вытекает наличие и-го дифференциала уг41(х) (при п ) 1) у этой функции в точке х. б) Докажите, что отображение Е(Х; 1') Э А 4-+ А ~ Е С(Х; 1 ) в области своего определения является бесконечно диффсренцируемым, причем (А ')00(А)(ЬИ...,Ь„) = ( — 1)"А 165А 5Ьэ ...-А 5Ь„А 5.
3. а) Пусть 45 Е С([а, Ь), Е). Покажите, что если для любой функции Ь Е 6 С151([а, Ь], Е) такой, что Ь(а) = Ь(Ь) = О, выполняется условие ~р(х)Ь(х) дх = О, то ~о(х) = 0 на [а, Ь!. а Ь) Выведите уравнение (11) Эйлера — Лагранжа как необходимое условие экстремума функционала (3), ограниченного на множество функций у Е 6 СОО([а, Ь[, Ж), принимающих на концах отрезка [а, Ь! заданные значения. ГЛ, Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 116 4. Найдите форму у = 1'(х), а < х < Ь, меридиана той поверхности вращения (вокруг оси Ох), которая имеет наименьшую площадь среди всех поверхностей вращения с окружностями заданного радиуса т„гд в сечениях поверхности плоскостями х = а, х = Ь соответственно.
5. а) Функция Х в задаче о брахистохроне не удовлетворяет условиям примера 1, поэтому непосредственное применение результатов примера 1 было в данном случае неоправданным. Покажите, повторив с нужными видоизменениями вывод формулы (10), что она и уравнение (11) остаются в силе и в рассматриваемом случае. Ь) Изменится ли уравнение брахистохроны, если частица стартует из точки Рд с отличной от нуля начальной скоростью (движение происходит без трения в закрытой трубке)? с) Покажите, что если Р— произвольная точка брахистохроны, отвечающей паре точек Рд, Р~, то дуга этой брахистохроны от Рд до Р является брахистохроной пары Рд, Р. 6) Допущение о том,что брахистохрона, отвечающая паре точек Рд, Рм может быть записана в виде р = у(х), как выяснилось из окончательных формул (23), не всегда оправданно.
Покажите, используя результат задачи с), что вывод формул (23) можно провести и беэ подобного предположения о глобальном устройстве брахистохроны. е) Расположите точку Рд так, чтобы отвечающая паре Рд, Р1 брахистохрона в системе координат, которая была введена в примере 3, не могла быть записана в виде у = 1(х). 1) Расположите точку Р1 так, чтобы отвечающая паре Рд, Р~ брахистохрона в системе координат примера 3 имела вид у=у(х), причем у ~ С~о ((а, Ь), К). Таким образом, получится, что в этом случае интересующий нас функционал (16) имеет на множестве СРП([а, Ь), К) нижнюю грань, но не имеет минимума.
6) Покажите, что брахистохрона пары точек Рд, Р1 пространства является плоской кривой. 6. Удаление й(Рд, Р1) точки Рд пространства от точки Р1 в однородном гравитационном поле будем измерять временем движения материальной частицы по брахистохроне, отвечающей паре Рд, Рз. а) Найдите измеряемое в этом смысле удаление точки Рд от фиксированной вертикальной прямой.
Ь) Найдите асимптотику функции й(Рд, Рз), когда точка Р; поднимается по вертикали, приближаясь к уровню высоты точки Рд. с) Выясните, является ли функция с1(Рд, Р1 ) метрикой. 3 Т. Общая теорема о неявной функции В этом заключительном параграфе главы почти весь развитый в ней аппарат будет продемонстрирован в работе на примере исследо- з 7. ОБЩАЯ теОРемА О неЯВнОЙ ФУнкЦии 117 вания неявно заданной функции. Представление о содержании и месте теоремы о неявной функции в анализе и его приложениях читатель уже имеет из гл. Ъ'П1, поэтому мы не останавливаемся здесь на предваряющих формализм пояснениях существа дела. Отметим только, что на сей раз неявно заданная функция будет построена совсем иным методом, опирающимся на принцип сжимающих отображений.
Этот метод часто используется в анализе и весьма полезен ввиду его вычислительной эффективности. Теорема. Пусть Х, У, л — нормированные пространства (например, Н2, К", Н~), причем У вЂ” полное пространство; И' = ((х, у) Е Е Х х У ! )х — хо! < о Л (у — уо! < Я вЂ” окрестность точки (хо, уо) в произведении Х х У пространств Х, У. Если отображение Р: И" — + Е удовлетворяет условиям: Р(хо~ уо) = О' 2.
Р(х,у) непрерывно в точке (хо,уо); 3. Р'(х,у) определено в Ит и непрерььвно в (хо,уо); 4. Р,'(хо, уо) — обратимый1) оператор, то найдутся окрестность У = П(хо) точки хо в Х, окрестность У = У(уо) точки уо в У и отображение 1' П -т У такие, что: 1'. У х У с И'; 2'. (Р(х,у) = 0 в У х У) <=> (у = ~(х), где х Е У, а ~(х) Е У); 3'. уо = ~(хо); 4', 7" непрерывно в точке хо. По существу, теорема утверждает, что если линейное отображение Р,' обратимо в точке (условие 4), то в окрестности этой точки соотношение Р(х,у) = 0 равносильно функциональной зависимости у = 7'(х) (заключение 2').
~ 1' Для упрощения записи и, очевидно, беэ ограничения общности рассмотрения можно считать, что хо = О, уо = 0 и, следовательно, И =((х,у) ЕХнУ!(х!<оЛ(у)<)Ц. 2' Основную роль в доказательстве теоремы играет вспомогательное семейство отображений д.(у):= у — (Р, (0,0)) Р(х,у), ОТо есть В [р„'(хо,ьо] ' Е С(Я;У). ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ зависящих от параметра х Е Х, ~х) < а, и определенных на множестве (у Е У ( )у! < /Ц. Обсудим формулу (1). Прежде всего выясним, корректно ли определены отображения д и где лежат их значения.
При (х, д) Е И' определено отображение Р, значение Р(х, у) которого на паре (х, р) лежит в пространстве Я. Частное производное отображение Р„'(х, у) в любой точке (х, у) Е И1, как мы знаем, есть линейное непрерывное отображение пространства У в пространство Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
