Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если в У отображение 1" имеет все частные производные отображения, то при условии их непрерывности в точке х отображение 1' дифферекцируемо в этой точке. ~ Для упрощения записи проведем доказательство в случае т = 2. Проверим непосредственно, что линейное относительно Ь = (ЬОЬз) ГЛ. Х, ДИФФЕРЕННИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 96 отображение 1)Ь = д11(Х)Ь1 + д21(х)Ь2 является полным дифференциалом 1' в точке х. Сделав элементарные преобразования 1(х+ Ь) — 1(х) — 1Ь = = У(х~ + Ьыхг+ Ьг) — ~(Х1) хг) — АУ(х)Ь1 — дгУ(х)Ь2 = = 1 (Х1 + Ь1) х2 + Ь2) — 1 (х1) х2 + Ь2) — д11 (Х1, х2)Ь1 + + 1 (х1) х2 + Ь2) — 1 (х1) хг) д21 (х1) х2)Ь2) по следствию из теоремы 1 получаем ~)(х1 + Ь1) х2+ Ь2) — 1 (х1) х2) д!2 (х1) х2)Ь1 дг2 (Х1) хг)Ьг~ < < вцр од1ДХ~ + В1Ь1) Хг+ Ьг) — д~~(х1) хг)9 )Ь1! + о<в~<1 + вцр ~~дгУ(хыхг+дгЬг) — дгУ( 1 хгП!1Ьг! (12) о<в,<1 Поскольку шах(/Ь|!, (Ь2Д < !Ь/, то из непрерывности частных производных д11, д21 в точке х = (хмхг), очевидно, следует, что правая часть неравенства (12) есть о(Ь) при Ь = (Ьг, Ьг) — ь О.
~ Следствие. Отображение 1" 11 — ь У открытого подмножества ь' нормированного пространства Х = Х| х... хХ в нормированное пространство У непрерывно дифферениирдемо тогда и только тогда, когда в 11 непрерывны все частные производные отображения 1'. < В примере 2 мы показали, что при условии дифференцируемости отображения 1: У -+ У его непрерывная дифференцируемость равносильна непрерывности его частных производных. Теперь же мы видим, что если частные производные непрерывны, то отображение 1 автоматически дифференцируемо) а следовательно (на основании примера 2), и непрерывно дифференцируемо. ~ Задачи и упражнения 1, Пусть 1: 1 — ~ У вЂ” непрерывное отображение отрезка 1 = (0,1) С К в нормированное пространство У, а д: 1 -+ Й вЂ” непрерывная вещественнозначная функция на 1.
Покажите, что если 1 и д дифференцирусмы в интервале )0,1[ и в точках этого интервала имеет место соотношение Щх) 9 < д'(1), то справедливо также неравенство,'1(1) — 1(0)) < д(1) — д(0). 15. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 97 2. а) Пусть у: 1 — ~ У вЂ” непрерывно дифференцируемое отображение отрезка 1 = [О, 1] с И в нормированное пространство У. Оно задает гладкий путь в У. Определите длину этого пути. Ь) Вспомните геометрический смысл нормы касательного отображения и оцените сверху длину пути, рассмотренного в а).
с) Дайте геометрическое истолкование теоремы о конечном приращении. 3. Пусть у: Р' — э У вЂ” непрерывное отображение окрестности Г точки а нормированного пространства Х в нормированное пространство У. Покажите, что если у дифференцируемо в Р 1а и ~'(х) имеет предел Р Б ь(Х; У) при х — э а, то отображение у дифференцируемо в точке а и у'(а) = 1. 4. а) Пусть 1? — открытое выпуклое подмножество нормированного пространства Х, а у: Р' -+ У вЂ” отображение П в нормированное пространство У. Покажите, что если у'(х) = 0 на 11, то отображение у постоянно.
Ь) Обобщите утверждение а) на случай произвольной области 1? (т. е.когда à — открытое и связное подмножество в Х). с) Частная производная Х гладкой функции у: .Р -+ 3, заданной в облаоу стн Р С йз плоскости переменных (х, у), тождественно равна нулю. Верно ли, что тогда У нс зависит от р в этой области? Для каких областей Р это верно? 2 5. Производные отображения высших порядков 1.
Определение и-го дифференциала. Пусть 11 — открытое множество в нормированном пространстве Х, а — отображение 1? в нормированное пространство У. Если отображение (1) дифференцируемо в о', то в 1? определено производное от 1 отображение у': 11 — > л.(Х;У). (2) Пространство .С(Х;У) =: У1 является нормированным пространством, по отношению к которому отображение (2) имеет вид (1), т.е. 1'.
11 — + У1 и можно поставить вопрос о его дифференцируемости. Если отображение (2) дифференцируемо,то его производное отображение (У')': Р -+,С(Х; У1) = х.(Х; х.(Х; ~) называют вторым производным отображением или етпорым дифференциалом от 1 и обозначают символом ул илиу(~).
И вообще принимается следующее индуктивное ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Определение 1. Пронзводным отображением порядка и Е И или п-м диф4еренннаяом отображения (1) в тонне х Н 11 называется отображение, касательное в этой точке к производному отображению порядка и — 1 от у. Если производное отображение порядка я Е М в точке х Е 11 обозначать символом у( )(х), то определение 1 означает, что ~("'(.):= Ф"-")'(.) Таким образом, если ~(а) (х) определено, то ~~"~(х) Е Е(Х; У„) = ь(Х;ь(Х;У„1)) =... ... = ~(Х;~(Х;...;~(Х;У))...). Следовательно, на основании утверждения 4 из З 2, дифференциал ого порядка у(")(х) отображения (1) в точке х можно интерпретировать как элемент пространства ь(Х,...,Х; У) н-линейных непрерыва Раэ ных операторов.
Отметим еще раз, что касательное отображение у'(х): ТХ -+ -+ ТУу( ) есть отображение касательных пространств, каждое из которых, благодаря аффинной или линейной структуре отображаемых пространств, мы отождествляли с соответствующим линейным пространством и говорили на этом основании, что ~'(х) е,С(Х; У). Именно это рассмотрение элементов 1~(х1) Н я.(ТХ „ТУу(аП), )~(хз) Е Е(ТХа„ТУу(,)) различных пространств как векторов одного и того же пространства А.(Х; У) лежит в основе определения высших дифференциалов отображения нормированных пространств. В случае аффинного или линейного пространства имеется естественная связь между векторами различных касательных пространств, соответствующих различным точкам исходного пространства.
Эта связь в конечном счете и позволяет в данном случае говорить как о непрерывной дифференцируемости отображения (1), так и о его высших дифференциалах. 2. Производная по вектору и вычисление значений и-го дифференциала. При конкретизации абстрактного определения 1 может быть удачно использовано понятие производной по вектору, которое для общего отображения (1) вводится так же, как это в свое время было сделано в случае Х = К, У = В.
15. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 99 7" (х + 1Ь) — 7'(х) ю~-+о если указанный предел в У существует. Непосредственно проверяется, что Ол~Х(~) = Л11АУ(~) и что если отображение ~ дифференцируемо в точке х Е П, то оно имеет в этой точке производную по любому вектору, причем ПьУ(х) = )'(х)Ь, (5) и,в силу линейности касательного отображения, И„„,+л,„,У( ) = Л,В„,У( ) + Л,.О„,У(х). (б) Из определения 2 видно также, что значение 0ь )'(х) производной отображения )': 11 -+ У по вектору есть элемент линейного пространства ТУу( ) У, и что если Т вЂ” линейное непрерывное отображение У в некоторое нормированное пространство И, то Пь(Ь о1)(х) = 7. о Па~(х).
(7) Попробуем теперь истолковать значение )(")(х)(ЬО...,Ь„) и-го дифференциала отображения 7' в точке х на наборе (Ьм...,Ь„) векторов Ь; б ТХ. Х, 1 = 1,..., и. Начнем с п = 1. В этом случае по формуле (5) ~'(х)(Ь) = ~'(х)Ь = ТЛА|(х). Рассмотрим теперь случай и=2. Поскольку )'(з) (х) = л.(Х; с.(Х; У)), то, фиксировав вектор Ь1 е Х, мы сопоставляем ему по закону Ь1 ~-+ )(~)(х)Ь1 линейный оператор (~(з~(х)Ь1) е л'.(Х;У), а вычислив затем значение этого оператора на векторе Ьз Е Х, мы получим элемент у(з) (х)(Ь, Ьр):= (у(91(х)Ь )Ьз е У (8) Определение 2.
Если Х и У вЂ” линейные нормированные пространства над полем К, то производной отображения (1) о точке х Е о' ао оектпору Ь Е ТХ Х назовем предел ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 100 пространства У. По 1"> >(х)6 = (1"')'(х)6 = Рл,1' (х), поэтому 1 (2) (х) (61, Ьз) = (Рь, ~>(х) ) Ьз (9) Ксли А б х.(Х; У), а 6 е Х, то спаривание А6 можно рассматривать не только как отображение Ь >-» АЬ из Х в У, но и как отображение А >-» АЬ из ь",(Х;У) в У, причем это последнее отображение, как и первое, является линейным.
Сравнив теперь соотношения (5), (7) и (9), можем записать, что (Р»>>,> (х) )62 Р>>> ( > '(х)62) = Рл> Р1>г,> (х) Таким образом, окончательно получаем (х)(61> Ьз) = Рл>Рлт1(х). Аналогично можно показать, что при любом и Н И имеет место соотношение ~(")(х)(61,...,6„):= (... ()('0(х)61)... 6„) = Рл>Рл,... РА„Дх), (10) причем дифференцирование по векторам выполняется последователь- но, начиная от дифференцирования по Ь„и кончая дифференцирова- нием по 61.
~ Основным элементом доказательства является проверка справедливости этого утверждения в случае и = 2. Пусть 61, Ьз — два произвольных фиксированных вектора пространства ТХ Х. Поскольку с> открыто в Х, при всех достаточно близких к нулю значениях 1 Е К определена следующая вспомогательная функция от 1: Гт(61, Ьз) = ((х+ 1(61 + Ьз)) — »т(х+ 161) — У(х+ 16г) +»т(х). 3. Симметричность дифференциалов высшего порядка.
В связи с формулой (10), уже вполне пригодной для вычислений, естественно возникает вопрос о том, в какой мере результат вычислений зависит от указанного порядка дифференцирования. 'Утверждение. Если для отаобразсения (1) 4орма 11")(х) в тпочне х определена, тпо она симмстпрична отпноситпсльно любой пары своих аргументное. 25. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 101 Рассмотрим еще одну вспомогательную функцию 9(о) = 1(х+2(61+ )) — 1(х+1о), заведомо определенную для векторов о, коллинеарных вектору 62 и таких, что (о! < (62!. Заметим, что г1(61, 62) = 9(62) 9(О). Заметим также, что коль скоро функция 1: 11 — ~ У в точке х Е П имеет второй дифференциал 1'л (х), она обязана быть дифференцируема по крайней мере в некоторой окрестности точки х. Мы будем считать, что параметр 1 настолько мал, что аргументы в правой части определяющего функцию г1(61, 62) равенства лежат в указанной окрестности точки х.
Воспользуемся этими замечаниями и следствием теоремы о конечном приращении в следующих выкладках: Я(61)62) — 2 2 (х)(61,62)) = = ~д(62) — д(О) — ~'Ув(. )(6„6,) ~ < с епр Цд (0262) ~,1 (х)61О ~62~ = О<В,<1 епр о( 1'(х + Х(61 + 0262)) — 2 '(х + 20262))Х вЂ” ~~~я(х)61 Й )62!.
0<Во<1 По определению производного отображения можно записать, что 1'(х+ ~(61 + дгбг)) = Пх) + Ул(х)(~(61 + 026г)) + о(~) 1 (х + 10262) = У (х) + 1 (х)(10262) + о(1) при $ — 1 О. Учитывая это, предыдущую выкладку можно продолжить и после арифметических упрощений получить, что (Й~(61,62) — 2,1 (х)(61,62)~ = о(2 ) при 2 -+ О. Но зто равенство означает, что Р1(61, бг) 1-+О ГЛ.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 102 Поскольку очевидно Г1(Ь1, Ь2) = Рс(Ь2, Ь1), то отсюда уже следует, что 1 "(х)(Ь1>Ь2) = 1'"(х)(Ь2,Ь1). Завершить доказательство утверждения теперь можно по индукции дословно так же, как это было сделано при доказательстве независимости значения смешанных частных производных от порядка выполнения дифференцирования. ° Итак, показано, что и-й дифференциал отображения (1) в точке х Е 11 есть и-линейный симметрический оператор ~~"~(х) б С(ТХ. )...,ТХ~;ТУу( )),С(Х,...,Х;1'), значение которого на наборе (Ь1,..., Ь„) векторов Ь, Е ТХ Х, г = = 1,...,и, может быть вычислено по формуле (10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
