Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Е(Х2,...,.С(Х„; У))... ) изоморфно пространству ь(ХП..., Х„; У) и-линейных операторов. Задачи и упражнения 1. а) Докажите, что если А: Х -+ У вЂ” линейный оператор, действующий из нормированного пространства Х в нормированное пространство У, и пространство Х конечномерно, то А — непрерывный оператор. Ь) Докажите для полилинейного оператора утверждение, аналогичное сформулированному в а). 2.
Два линейных нормированных пространства называются ь юяорфвыжц если существует такой изоморфизм между ними (как линейными векторнымв пространствами), который вместе с ему обратным является непрерывным линейным оператором. а) Покажите, что линейные нормированные пространства одинаковой конечной размерности изоморфны. Ь) Покажите, что для бесконечномерного случая утверждение а) уже, вообще говоря, не имеет места. с) В пространстве С((а, Ь], К) введите две нормы так, чтобы тождественное отображение С([а, Ь], К) на себя не было непрерывным отображением полученных нормированных пространств.
3. Покажите, что если полилинейный оператор непрерывен в некоторой точке, то он непрерывен всюду. 4. Пусть А: Е" -+ Е" — линейное преобразование евклидова п-мерного пространства, А*: Е" -+ Е" — сопряженное к нему преобразование. Покажите, что: ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 74 шах 1<«вя ~(а')з < ]]А[[ < «=1 п (а')з < ~(п]]А[[. «з=1 б. Пусть Р[х] — линейное пространство многочленов от переменной х с вещественными козффициентами. Норму вектора Р е Р[х] определим формулой ]Р] = ~Рз(х) дх о а) Ограничен ли в полученном пространстве оператор Вч Р[х] -+ Р[х] дифференцирования В(Р(х)):= Р'(х) 7 Ь) Найдите норму оператора Р: Р[х) -+ Р[х] умножения пах, действующего по закону Р(Р(х)):= х Р(х).
6. На примере операторов проектирования в Из покажите, что неравенство ][В А]) < ]]В][ ]]А][ может быть строгим. З 3. Дифференциал отображения 1. Отображение, дифференцируемое в точке. Определение 1. Пусть Х, У вЂ” нормированные пространства. Отображение у: Е + У множества Е с Х в У называется дифферен«4ируамым в точке х Е Е, внутренней для Е, если существует такое линейное непрерывное отображение Е(х): Х -+ У, что у(х+ Ь) — у(х) = Цх)Ь+ а(х; Ь), где о(х; Ь) = о(Ь) при Ь -+ О, х+ Ь Е Е4).
ОЗзпись «о(х; Ь) = о(Ь) при Ь + О, х+ Ь е Е«, разумеется, означает, что Лш ]а(х", Ь)]г )Ь[» = О. л-«О, «.«ее а) Все собственные значения оператора А А*: Е" -+ Е" неотрицательны. Ь) Если Л1 « ... Л„ †собственн значения оператора А . А", то )]А][ = = ~/Л„. с) Если оператор А имеет обратный А '; Е" -+ Е", то ]]А '][= ~л,' д) Если (а') — матрица преобразования А: Е" -+ Е" в некотором базисе, то справедливы оценки 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 75 Определение 2. Линейная относительно 6 функция Цх) е ь".(Х;У), удовлетворяющая соотношению (1), называется дифференциалом, касательным отображением или производной отображения 1:Š— ~У в точкех. Как и прежде, мы будем обозначать Цх) одним из символов ф(х), П1(х) или 1'(х).
Утверждение 1. Если отображение У: Š— + У дифференцируемо во внутренней точке х множества Е С Х, то его дифференциал Ь(х) в этой точке определен однозначно. < Итак, проверим единственность дифференциала. Пусть Е1(х) и 1 г(х) — линейные отображения, удовлетворяющие соотношению (1), т. е. 1(х+ 6) — 1(х) — Ц(х)6 = а1(х;6), э(х + 6) — э'(х) — Ьз(х)6 = ог(х; 6), (2) где сц(х; 6) = о(6) при Ь -+ О, х + 6 Е Е, 1 = 1, 2. Тогда, полагая Цх) = 1з(х) — Ц(х) и а(х; Ь) = оз(х; 6) — а1(х; 6), после вычитания второго из равенств (2) из первого, получим, что Цх)Ь = а(х;6).
Здесь Цх) — линейное относительно 6 отображение, а а(х; 6) = о(Ь) при Ь -+ О, х + Ь Е Е. Взяв вспомогательный числовой параметр А, можно теперь записать, что !Цх)6) = = ' !Ь/ -+ О при Л вЂ” > О. Щх)(АЬ)! !а(х; 16)! Мы видим, таким образом, что приведенное общее определение дифференцируемости отображения в точке почти дословно совпадает с уже знакомым нам из главы ЧШ, ~ 2 определением, где оно рассматривалось в случае Х = 2", У = 11в.
Поэтому без повторных пояснений мы позволим себе в дальнейшем употреблять такие введенные там понятия, как приращение функции, приращение аргумента, касательное пространство в точке, оставляя за ними соответствующие обозначения. Проверим, однако, в общем виде следующее ГЛ. Х. ДИФ<РЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 7в Таким образом, Цх)6 = 0 при любом 6 ф 0 (напомним, что х— внутренняя точка Е).
Поскольку Ь(х)0 = О, то мы показали, что при любом значении Ь имеет место равенство Ь1(х)6 = 1з(х)6. ~з Если Š— открытое подмножество в Х, а 1: Š— ~ У вЂ” отображение, диффсренцируемое в каждой точке х Н Е, т. е. дифферениируемое на Е, то в силу доказанной единственности дифференциала отображения в точке, на множестве Е возникает функция Е э х г+ Г'(х) Е з".(Х; У), обозначаемая 1', Š— ~ е.(Х; У), которую называют производной от 1 или производным отображением по отношению к исходному отображению 1: Š— ~ У.
Значение 1'(х) этой функции в индивидуальной точке х е Е есть линейное непрерывное отображение 1'(х) Е Е(Х; У), являющееся дифференциалом или производной функции 1 в данной конкретной точке х Н Е. Отметим, что ввиду высказанного в определении 1 требования непрерывности линейного отображения Е(х) из равенства (1) следует, что отображение, дифференцируемое в точке, необходимо является непрерывным в этой точке.
Обратное, конечно, неверно, что мы уже видели на примере числовых функций. Сделаем еще следующее важное Замечание. Если условие дифференцируемости отображения 1 в некоторой точке а записать в виде Дх) — Да) = Е(х) (х, — а) + а(а; х), где а(а; х) = о(х — а) при х — ~ а, то становится ясно, что определение 1 на самом деле относится к отображениям 1: А -+ В любых аффинных пространств (А, Х), (В, У), линейные пространства Х и У которых нормированы. Такие аффинные пространства, называемые аффинными нормированными пространставами, встречаются часто, поэтому сделанное замечание полезно иметь в виду при использовании дифференциального исчисления.
Все дальнейшее, если нет специальной оговорки, в равной степени относится как к линейным, так и к аффинным нормированным пространствам и лишь для упрощения записи мы используем символику векторных пространств. 13. ДИФФКРКНЦИАЛ ОТОБРАЖКНИЯ 77 2. Общие законы дифференцирования. Из определения 1 вытекают следующие общие свойства операции дифференцирования. В приводимых ниже формулировках Х, У, Я вЂ нормированн пространства, а П и У вЂ” открытые множества в Х и У соответственно. а. Линейность дифференцирования.
Если отображения Д: (7 — > У, г = 1,2, дифференцируемы е 1почке х Е 17, то их линейная комбинация (Л17"1 + Л25): о' — 1 У также дифференцируема е точке х, причем (Л1з1 + Л212) (х) = Л11[(х) + Л212(х). Таким образом, дифференциал линейной комбинации отображений есть соответствующая линейная комбинация дифференциалов этих отображений. Ь. Дифференцирование композиции отображений. Если отображение 7'; (7 -+ У дифференцируемо о точке х б с7 С Х, а отображение д: У -+ Я дифференцируемо в точке 1(х) = у Е У С У, то композиция д о 1" этих отображений дифференцируема о точке х, причем (9 О 7) (Х) = д (7(Х)) о,1 (Х), Таким образом, дифференциал композиции равен композиции дифференциалов.
с. Дифференцирование обратного отображения. Пусть 1: ь7 — + У вЂ” непрерывное в точке х Е 17 С Х отображение, имеюи1ее обратное З' 1: У вЂ” 1 Х, определенное е окрестности точки у = 7 (х) и непрерььеное в э1пой точке. Если отображение 7' дифференцируемо е точке х и еео касательное отображение 7"'(х) Е Е(Х;У) в этой точке имеет непрерывное обратное [~'(х)! 1 Е Е(У,Х), то отображение 7' 1 дифференцируемо е точке у = ~(х), причем ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 78 Таким образом, дифференциал обратного отображения есть линейное отображение, обратное к дифференциалу исходного отображения в соответствующей точке.
Доказательства утверждений а, Ь, с мы опускаем, поскольку они аналогичны тем доказательствам, которые были даны в гл. У111, 8 3 для случая Х = К"', У = Р'. 3. Некоторые примеры. Пример 1. Если 1: У -+ У вЂ” постоянное отображение окрестности У = 1) (х) С Х точки х, т. е. 1(У) = уе Е У, то 1'(х) = О Е ь(Х; У).
< Действительно, в этом случае, очевидно, )'(х + Ь) — 1(х) — ОЬ = уз — уе — О = О = о(Ь). ~ Пример 2. Если отображение )': Х -+ У есть линейное непрерывное отображение линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство У, то ~'(х) = 1 е ь(Х;У) в любой точке х е Х. < Действительно, ~(х + Ь) — ~(х) — )'Ь = ~х + ~Ь вЂ” 1х — ~Ь = О.
~ Заметим, что на самом-то деле здесь ~'(х) Е Е(ТХ~; ТУу< )), и Ь— вектор касательного пространства ТХ . Но в линейном пространстве определен перенос вектора в любую точку х Е Х, что позволяет нам отождествить касательное пространство ТХя с самим линейным пространством Х. (Аналогично в случае аффинного пространства (А, Х) пространство ТА, векторов, <приложенных< к точке а Е А, можно отождествить с векторным пространством Х данного аффинного пространства.) Следовательно, выбрав базис в Х, его можно разнести по всем касательным пространствам ТХ .
Это означает, что если, например, Х = К<", У = К" и отображение 1 Е ь(К<"; К") задается матрицей (а~), то в любой точке х Е К<а касательное к нему отображение 1'(х): ТК™ — < ТК" также будет задаваться той же матрицей. 1(х) у В частности, для линеиного отображения х <-< ах = у из К в К при х Е К и Ь Е ТР К получаем соответствующее отображение у/ ТР Э Ь <-+ аЬ Е ТР~( ). 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ С учетом сделанных оговорок результат примера 2 можно условно сформулировать так: отображение ~'.Х -+ У,производное от линейного отображения ~: Х + У линейных нормированных пространств, постоянно, причем 1'(х) = 1 в любой точке х Е Х. Пример 3. Из правила дифференцирования композиции отображений и результата примера 2 можно заключить, что если 1: с1 — ~ У— отображение окрестности У = У(х) С Х точки х Е Х, дифференцируемоевх, аАе ь(У;И), то (А о ~)'(х) = А о ('(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
