Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Это полный аналог пространств К" и Са. 2. Норма в линейном пространстве. Теперь дадим основное Определение 1. Пусть Х вЂ” линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел. Функция ~) !): Х -+ 11, ставящая каждому вектору х е Х в соответствие действительное число ((х2, называется нормой в линейном г 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО пространстве Х, если она удовлетворяет следующим трем условиям: а) !!х!! = 0 с=> х = 0 (невырожденность); Ь) !!Лх!! = !Л!!!х!! (однородность); с) !!хд + хг!! < !!хд!! + !!хг!! (неравенство треугольника).
Определение 3. Значение нормы на векторе называется нормой этого вектора. Норма вектора всегда неотрнцательна и, как видно из а), равна пулю только для нулевого вектора. < Действительно, для любого х Е Х в силу с) и с учетом а) и Ь) получаем 0 = !!О!! = !!х + ( — х)!! < !!х!! + !! — х!! = !!х!! + ! — 1!!!х!! = 2!!х!!. ~ Из с) и принципа индукции следует общее неравенство !!хд +... + х„!! < !!хд !! +... + !!х„!!, а с учетом Ь) нз с) легко вывести также полезное неравенство !!!хд!! — !!хг!!(~ (!!хд — хг!!.
(2) Любое линейное нормированное пространство имеет естественную метрику дд(хд хг) = !!хд — хг!!. (3) То, что так определенная функция дд(хд,хг) удовлетворяет аксиомам метрики, непосредственно следует из свойств нормы. Благодаря наличию в Х линейной структуры метрика д в Х обладает двумя дополнительными специфическими свойствами: Н(хд + х,хг+ х) = //(хд + х) — (хг + х)/! = !!хд — хг/! = д8(хд,хг), т. е. метрика инвариантна относительно переносов, и а(Лхд, Лхг) = //Лхд — Лхг/! = !!Л(хд — хг)/! = /Л! !!хд — хг!! = /Л!д((хд,хг), т. е, она однородна.
Определение 2. Линейное пространство с определенной на нем нормой называется линейным нормированным пространством. ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 54 Пример 5. Если для вектора х = (х',...,х") Е К" при р > 1 положить (4) 2=1 то, как следует из неравенства Минковского, мы получим норму в И". Пространство Ев, наделенное этой нормой, будем обозначать символом г14';. Можно проверить, что )Щрг < бхбр„если 1 < р1 < рз, (5) и что ~Щр -+ щахЦх ),...,(х"Ц (6) при р + +ос.
Таким образом, естественно положить '6Щ,в:= тахтах ~,..., )х" Ц. (7) Тогда из (4) и (5) следует, что ((х~~вв < ~~х((р ( ~~х~~1 ( п~(х))вг при р > 1. (8) Из этого неравенства, как, впрочем, и из самого определения (4) ноРмы бх~(р, видно, что 1~,' ЯвлЯетсЯ полным ноРмиРованным пРостранством. Пример 6. Предыдущий пример полезно обобщить следующим образом. Если Х = Х1 х...
х Х„есть прямое произведение нормированных пространств, то в Х можно ввести норму вектора х = (х1,..., х„), положив г=1 где бхг'6 есть норма вектора х; Е Х; в пространстве Х;. Естественно, неравенства (8) и в этом случае остаются в силе. Определение 4. Если линейное нормированное пространство является полным как метрическое пространство относительно естественной метрики (3), то оно называется полным нормированным пространством или банаховым пространством. 11. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 55 В дальнейшем, когда рассматривается прямое произведение нормированных пространств, всегда, если нет специальных оговорок, предполагается, что в нем норма определена в соответствии с формулой [9) [включая случай р = +со).
Пример Т. Пусть р > 1. Обозначим через 1р множество таких последовательностей х = [л~,...,х",...) действительных или комплексных чисел, что ряд ~, [х" [" сходится, и для х б 1„положим »»=1 [10) Используя неравенство Минковского, легко видеть, что 1р является линейным нормированным пространством относительно стандартных линейных операций и нормы [10). Это бесконечномерное пространство, по отношению к которому ]к,", является линейным подпространством конечной размерности. Для нормы [10) справедливы все неравенства [8), кроме последнего.
Нетрудно проверить, что 1Р является банаховым пространством. Пример 8. В линейном пространстве С[а,Ь) числовых функций, непрерывных на отрезке [а, Ь[, чаще всего рассматривается следующая норма: [[Д:= 1пах Ях)]. [11) зе]а,Ь] Проверку аксиом нормы мы оставляем читателю. Заметим, что зта норма порождает уже знакомую нам метрику [см. гл. 1Х, 5 б) на С(а, Ь[ и нам известно, что возникающее при зтом метрическое пространство полно. Таким образом, линейное пространство С[а, Ь[ с нормой [11) является банаховым.
Пример 9. В С[а, Ь] можно ввести и иную норму [12) которая сводится к [11) при р » +со. Легко видеть [см., например, гл. 1Х, 5 б), что при 1 < р < +со пространство С[а, Ь) с нормой [12) не является полным. 56 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3. Скалярное произведение в векторном пространстве. Важный класс нормированных пространств составляют пространства со скалярным произведением.
Они являются прямым обобщением евклидовых пространств. Напомним Определение 5. Говорят, что в линейном (над полем комплекс- ных чисел) пространстве Х задана эрмитова форма, если задано ото- бражение (, ): Х х Х вЂ” > С, обладающее свойствами: а) (Х1, Х2) = (Х21Х1), Ь) (Лх1,х2) = Л(хмх2), С) (Х1 + Х2, ХЗ) = (Х1) ХЗ) + (Х2> ХЗ), где х1, х2, хз — векторы из Х, а Л Е С. Из а), Ь), с) следует, например, что (х1, ЛХ2) = (Лх2, х1) = Л(х2, х1) = Л (Х2, х1) = Л(Х1, Х2); (Х1,х2+хз) = (Х2+ хз,х1) = (хз,х1) + (хз,х1) = (х1,х2) + (Х1,хз)> (х,х) = (х,х), т.е.
(х,х) --действительное число. Зрмитова форма называется положительно~, если с1) (х,х) > О, и невырожденной если е) (х,х) =О ~=ь х=О. Если Х вЂ” линейное пространство над полем вещественных чисел, то, разумеется, надо рассматривать вещественнозначную форму (х1,х2). В этом случае вместо а) можно записать просто (х1,х2) = = (х2, х1), что означает симметричность формы относительно векторов-аргументов, х1, х2.
Примером такой формы может служить знакомое из аналитической геометрии скалярное произведение векторов трехмерного евклидова пространства. В связи с этой аналогией принято Определение 6. Невырожденную положительную эрмитову форму в линейном пространстве называют скалярным произведением в этом пространстве. Пример 10. В К" скалярное произведение векторов х 11. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 57 = (х1,..., х"), у = (у1,..., у") можно определить, положив (х, у):= ~> х'у', г=1 а в С" — положив Пример 11. В Ь1 скалярное произведение векторов х, у можно определить, полагая (х, у):= ~~1 х'у'. ~=1 Написанный здесь ряд сходится абсолютно, поскольку 2 ~ )х'17'! < ~~1 )х')~ + ~~1 1У')~. з=1 г=1 Пример 12.
В С(а, Ь) скалярное произведение можно определить формулой (у, д):= (у д)(х) Нх. а Из свойств интеграла легко следует, что все требования к скалярному произведению в этом случае выполнены. Для скалярного произведения справедливо следующее важное неравенство Каши — Буняковского: ((х,у)/ < (х,х) . (у,у), где равенство реализуется тогда и только тогда, когда векторы х и у квиипеариы. < Действительно, пусть а = (х,х), Ь = (х,у) и с = (у,у). Но условию а > О и с > О. Если с > О, то из О < (х+ Лу,х+ Лу) = а+ ЬЛ+ ЬЛ+ сЛЛ 58 ГЛ. Х.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ при Л = -- получим Ь ЬЬ ЬЬ ЬЬ О<а — — — — +— с с с или 0 < ас — ЬЪ = ас — (Ь)~, что совпадает с (16). Аналогично рассматривается случай а ) О. Если же а = с = О, то, подставляя в (17) Л = — Ь, получим 0 < < — ЬЬ вЂ” ЬЬ = — 2(Ь|2, т.е. Ь = О, и неравенство (16) опять справедливо. Если х и у не коллинеарны, то 0 < (х+ Лу, х + Лу) и, следовательно, неравенство (16) в этом случае строгое.
Если же х и у коллинеарны, в атом случае оно, как легко проверить, переходит в равенство, В Линейное пространство со скалярным произведением обладает естественной нормой (18) и метрикой И(х, Р):= ))х — РЬ. Используя неравенство Коши — Буняковского, проверим, что если (х,у) — невырожденная положительная эрмитова форма, то формула (18) действительно определяет норму. В самом деле, ~~х6 = ~/(х, х) = 0 ~=> х = О, поскольку форма (х, у) невырожденная.
Далее Проверим, наконец, неравенство треугольника бх+1А < бх6+ ))У6. Нам,таким образом, следует показать,что г 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 59 или после возведения в квадрат и упрощений, что Но (х, у) + (у, х) = (х, у) + (х, у) = 2Не(х, у) < 2!(х, у) /, и доказываемое неравенство теперь непосредственно следует из нера- венства Коши — Буняковского (16).
~ Отметим в заключение, что линейные пространства со скалярным произведением в конечномерном случае называют обычно евилидовыми или эрмитовыми, когда полем констант является К или С соответственно. Если же линейное нормированное пространство бесконечной размерности, то его называют гильбертовым, если оно полно, и предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем. Задачи и упражнения 1. а) Покажите, что если в линейном пространстве Х задана метрика В(хмхл), трансляционно инвариантная и однородная, то Х можно нормировать, положив ЙхЙ = П(0, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
